Положительный конус и его свойства.

Определение. К≠{0} называется упорядоченным кольцом, если существует непустое подмножество Р≠элементов кольца, называемое положительным конусом, удовлетворяющим условиям (аксиомам положительного конуса):

(1) ;

(2) ;

(3) .

Теорема 7. Если К – упорядоченное кольцо с положительным конусом Р, то бинарное отношение <, определенное на К по правилу , является строгим линейным порядком.

Доказательство.

Отношение - антирефлексивно(?)

(?)

Предположим, что , что противоречит аксиоме (1) положительного конуса, следовательно, предположение неверно.

Отношение - антисимметрично(?)

a<bb<ab=a (?)

a<bb<ab–a,a–bP, что противоречит аксиоме (1) положительного конуса. Таким образом, посылка импликации всегда ложна, следовательно, импликация истинна.

Отношение - транзитивно(?)

a<bb<сa<с (?)

a<bb<сb–a,с–bPa<c.

Отношение - линейно(?)

a<bb<aa=b (?)

Пусть a, bK , b – a K. По аксиоме (3) положительного конуса возможен один из трех случаев:

1. b – a =0, a=b,

2. b – a P, a<b,

3. -(b – a)=a – bP, b<a.

что и требовалось доказать.

Свойства отношения :

выполняется:

Доказательство.

что и требовалось доказать.

Теорема 8. Отношение ≤, определенное на упорядоченном кольце К с положительным конусом Р следующим образом: , является линейным порядком.

(доказательство самостоятельно).

Упорядоченность кольца целых чисел.

Теорема 9. Кольцо целых чисел является упорядоченным кольцом с положительным конусомN.

Доказательство.

Множество N является непустым подмножеством целых чисел, удовлетворяющих всем аксиомам положительного конуса.

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Отношение < на множестве , определенное по правилу, является строгим линейным порядком и выше указанным удовлетворяет свойствам 1.-6.

Следствие 2. Отношение на множестве, определенное по правилу, является линейным порядком.

Три формы метода математической индукции для целых чисел.

Теорема 10 (І форма): Если утверждение о целых числах верно для целого числаи из верности утверждениядля произвольного целого числа, большего, следует верность утверждения для числа, то утверждение верно для каждого целого числа, большего или равного.

.

Доказательство.

Проведем методом от противного. Предположим, что . Рассмотрим множество.ограничено снизу числом., т.к.. Тогда, потеореме 13, имеет наименьший элемент. Покажем, что, где. Предположим, что, причем(так как иначе). Тогда, но это противоречит тому, что- наименьший в. Согласно индуктивному предположению. Последнее противоречит условию. Значит, предположение неверно, и.

что и требовалось доказать.

Теорема 11 (ІІ форма): Если утверждение о целых числах верно целого числаи для произвольного целого числа, большего, из верности утверждениядля всех целых чиселтаких, что, следует верность утверждения для числа, то утверждение верно для каждого целого числа, большего или равного.

.

Доказательство.

Проведем методом от противного. Предположим, что . Рассмотрим множество.ограничено снизу числом., т.к.. Тогда, потеореме 13, имеет наименьший элемент. Покажем, что, где. Предположим, что, причем(так как иначе), следовательно,. Тогда, но это противоречит тому, что- наименьший в. Согласно индуктивному предположению. Последнее противоречит условию. Значит, предположение неверно, и.

что и требовалось доказать.

Теорема 12 (ІІІ форма). Если утверждение о целых числах верно для каждого целого числа некоторого непустого неограниченного сверху подмножества множества целых чисел и из верности утверждениядля произвольного целого числаследует верность утверждения для числа, то утверждение верно для каждого целого числа.

.

Доказательство.

Проведем методом от противного. Предположим, что . Рассмотрим множество.ограничено сверху любым элементом из., т.к.. Тогда, потеореме 14, имеет наибольший элемент, причем. Рассмотрим элемент., т.к. в противном случае,не будет наибольшим в. Согласно индуктивному предположению, но это противоречит условию. Таким образом, предположение неверно, и.

что и требовалось доказать.