- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
Определение. Кватернион называется чисто мнимым, если его действительная часть равна нулю.
Если - чисто мнимый кватернион, то.
правая тройка:
- правоориентированный ортонормированный базис
Умножение чисто мнимых кватернионов:
, где , причем,,. Докажем эту формулу:
.
Следствие. Произведение чисто мнимых кватернионов является чисто мнимым т.т.т. когда соответствующие им вектора взаимно перпендикулярны.
Доказательство.
Если , тоявляется чисто мнимым кватернионом т.т.т. когда, а последнее выполняется т.т.т., к..
что и требовалось доказать.
Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
Определение. Алгеброй А над полем К или К-алгеброй называется линейное пространство А над полем К, в котором определена бинарная операция умножения векторов, удовлетворяющая следующим аксиомам:
Определение. Алгебра А над полем К называется ассоциативной, если
Определение. Алгебра А над полем К называется коммутативной, если
Определение. Алгебра А над полем К называется алгеброй с делением, если
разрешимы уравнения и
Определение. Рангом алгеброй А над полем К называется размерность линейного пространства А над полем К в случае его конечномерности.
Примеры:
1. - алгебра квадратных матрицn-ого порядка над полем К, где .
2. - алгебра над полемR, где .
3. - алгебра над полем, где.
Определение. Алгебры А и В над полем К называются изоморфными, если существует биективное отображение ,удовлетворяющее условиям:
Пример. Алгебра квадратных матриц n-ого порядка над полем К и линейное пространство линейных операторов n-мерного линейного пространства над полем К (каждому оператору можно поставить в соответствие его матрицу в некотором фиксированном базисе).
Теорема Фробениуса.
Теорема Фробениуса. Единственными с точностью до изоморфизма конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем действительных чисел являются алгебры .
Доказательство.
Пусть - конечномерная ассоциативная алгебра с делением над полем действительных чисел и. Возможны случаи:
1. . Тогда.
2. . Тогда в алгебреесть хотя бы один элемент, который не является действительным числом. Обозначим этот элемент через. Всуществует неприводимый многочлен, корнем которого является. Поскольку наивысшая степень неприводимого многочлена с действительными коэффициентами над полнм действительных чисел равна 2 и элемент, а, значит, не может быть корнем ни непостоянного многочлена, ни многочлена первой степени, то.
Пусть . Так как, то. Выделим полный квадрат в левой части. Получим. Поскольку многочленнеприводим, то.
Рассмотрим число , причем,. Тогда в алгебресистемаявляется линейно независимой, а, значит,в случае.
3. . Тогда в алгебренайдется еще один элементтакой, что системалинейно независима и- корень подходящего неприводимого многочленавторой степени. Аналогично пункту 2 формируется элемент, который также удовлетворяет условиями.
Поскольку системалинейно независима.
Рассмотрим пару элементов и. Оба элемента не принадлежат полю действительных чисел, а, значит, является корнями неприводимых над полем действительных чисел многочленов с действительными коэффициентамиисоответственно. Тогда
Заменив ина -1 и сложив уравнения системы, получим
.
Поскольку система линейно независима, тои. Возвращаясь к исходному соотношению, получим.
Введем число . Рассмотрим число
Зная, что , введем число. Посколькусистемалинейно независима. Вычислим. Таким образом получается, что нашлась линейно независимая систематакая, чтои.
Обозначим через . Покажем, что системалинейно независима. Поскольку ранее установлена линейная независимость, то остается показать, чтолинейно не выражается через. Предположим, что, где.
, так как . Тогда
, где . Последнее противоречит линейной независимости элементов, следовательно,линейно не выражается черези системалинейно независима.
Нетрудно проверяется, что элементы относительно умножения образуют следующую таблицу:
Например, .
Таким образом, в случае.
4. . Тогда существует элемент.
Предположим, что линейно не выражается через, т.е.- линейно независима. Пусть.
Найдем произведение
. Умножим последнее равенство на . Получим, где, что противоречит линейной независимости системы. Следовательно, системалинейно зависима.
Таким образом, не может быть больше 4, а, значит, размерности всех конечномерных алгебр над полем действительных чисел совпадают с одним из чисел 1, 2, 4.
что и требовалось доказать.