- •Глава 1. Действительные функции одного переменного
- •1.1. Основные понятия и определения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Некоторые типы функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная функция
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 1:
- •Глава 2. Предел функции
- •2.1. Предел функции. Основные понятия
- •2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Второй замечательный предел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 2:
- •Глава 3. Непрерывность функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 3:
- •Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций
- •Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедливо равенство;.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.5. Дифференциал
- •Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .
- •Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала, то естьи он обозначаетсяили.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.8. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 4:
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производных
- •5.1. Возрастание и убывание функций
- •5.2. Точки экстремума функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.4. Асимптоты графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.5 Общая схема исследования функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 5:
2.4. Второй замечательный предел
Второй замечательный предел раскрывает неопределенность :. Более обще, этот предел можно записать в виде, где- б.м. при.
Пусть дает неопределенность вида. Так как, тогде- б.м. при. Тогда===.
Пример. Вычислить .
=.
Рассмотрим .прии.
Бесконечно малые величины ине являются эквивалентными и следовательно=.
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы.
50.. 51.. 52.. 53.. 54.. 55.. 56.. 57.. 58.. 59..
Ответы к задачам главы 2:
1. 3/4. 2. 0. 3. –2/5. 4. . 5. . 6. 0. 7.-1. 8. 0. 9. 1/4. 10. 1/4. 11. 3. 12. 2/3. 13. m/n. 14. 1/2, если ; -, если . 15., если; , если . 16.. 17. 0. 18. 2. 19.. 20. 0. 21.. 22. 2/3. 23. 3/4. 24. . 25. –1. 26. 1/2. 27. . 28. –3/2. 29. 1. 30. . 31. 2. 32. –2. 33. . 34. 1. 35. 3/2. 36. . 37. . 38. 1/2. 39. эквивалентная б.м. 40. 1. 41. 2/3. 42. 2. 43. a) ; ,б) . 44. а); б). 45. а)б). 46.a) ; б) . 47. а); б). 48. а), б). 49. а)б). 50. 1. 51.. 52.. 53. 0, если; , если . 54.. 55.a. 56. 1. 57. 1/e. 58. e.
Глава 3. Непрерывность функции
Число A называется пределом функции в точкесправа (слева) и пишут , если для любогосуществует числотакое, что из условияследует. Будем также предел справа (слева) обозначать.
Пусть т. из области определения функции. Функцияназывается непрерывной в т., если выполняется одно из следующих трех условий:
1); 2);
3).
Эти условия равносильные.
Все основные элементарные функции непрерывны на своей естественной области определения.
Сумма, разность, произведение, частное и композиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Функция называется непрерывной на множествеE , если она непрерывна в каждой точке данного множества.
Типы разрывов функции в точке. а) Пусть существуют конечные пределы и, причем=, но не равны, либоне определена. Тогданазывается точкойустранимого разрыва функции.
б) Пусть исуществуют, конечны, но не равны между собой. Тогда в т.у функции разрыв типаскачок. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Во всех остальных случаях точка есть точка разрывавторого рода, т.е. если хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию .
Точками возможного разрыва являются и. Вычислим односторонние пределы.
; .
Следовательно, в т. у функции разрыв устранимый, так как,
; .
Тогда и.
В точке имеет разрыв второго рода.
Задачи для самостоятельного решения
Найти точки разрыва функции, определить их характер и построить схематично график функции в окрестности точек разрыва.
1.. 2.и. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8..
9. Функция не определена в точке. Можно ли так доопределить функциюв точке, чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.
10. Исследовать характер разрыва функции в точке. Можно ли так доопределитьпри, чтобы функция стала непрерывной при?
Исследовать на непрерывность функции. Сделать чертеж графика.
11. 12.13.
14.