- •Глава 1. Действительные функции одного переменного
- •1.1. Основные понятия и определения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Некоторые типы функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная функция
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 1:
- •Глава 2. Предел функции
- •2.1. Предел функции. Основные понятия
- •2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Второй замечательный предел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 2:
- •Глава 3. Непрерывность функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 3:
- •Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций
- •Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедливо равенство;.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.5. Дифференциал
- •Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .
- •Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала, то естьи он обозначаетсяили.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.8. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 4:
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производных
- •5.1. Возрастание и убывание функций
- •5.2. Точки экстремума функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.4. Асимптоты графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.5 Общая схема исследования функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 5:
5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.
Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a, b), если касательная расположена выше (ниже) графика функции.
Теорема 1. Пусть дважды дифференцируема на (a, b), тогдавыпуклая (вогнутая) на (a, b).
Точка называется точкой перегиба графика функции, если слева от этой точки график функции выпуклый (вогнутый), а справа – вогнутый (выпуклый).
Теорема 2 (необходимое условие перегиба). Пусть - точка перегиба графика функции. Тогда илиилине существует.
Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть дважды дифференцируема в некоторой окрестности т.и либосуществует и конечна, либоне существует именяет знак при переходе через т.. Тогда- точка перегиба графика функции.
Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
Область определения D(y)=R. Вычислим вторую производную.
.
.
Точки возможного перегиба :, т.к.ине существует и. Проверим смену знака:
- - + знак .
-6 0
Следовательно, точка перегиба графика одна – (0,0). Функция выпукла на интервале и вогнута на.
Задачи для самостоятельного решения
22. Показать, что график функции везде выпуклый.
23. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то эта функция не может иметь более одного экстремума.
Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости для следующих функций.
24. . 25.26..
27. . 28.. 29..
30. .
5.4. Асимптоты графика функции
Пусть существует такая прямая, что расстояние до нее от точки графика функциистремится к нулю пристремящемся к бесконечности. Тогда прямая называетсяасимптотой графика функций. Прямая называетсявертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов: илиравен бесконечности.
Если существуют конечные пределы и, то прямаяестьнаклонная асимптота графика функции . Пределы могут не существовать или быть бесконечными прии существовать при(левая наклонная асимптота).
Если функция может быть представлена в виде, где- бесконечно малая при, тоесть наклонная асимптота.
Пример. Найти асимптоты графика функции .
Найдем область определения функции: ,
, ( применить правило Лопиталя)=. Следовательно- вертикальная асимптота, ане является асимптотой. Проверим наличие наклонной асимптоты.,(, применим правило Лопиталя)=. Следовательно- наклонная асимптота.
Задачи для самостоятельного решения
Найти асимптоты графиков следующих функций:
31. . 32.. 33.. 34..
35. . 36.. 37.. 38..
5.5 Общая схема исследования функций.
Для построения графика функции нужно провести исследование по следующей схеме:
Область определения функции .
Четность, нечетность, периодичность. Точки пересечения графика с осями координат.
Нахождение точек из области определения, в которых либо , либоне существует.
Нахождение точек из области определения, в которых либо , либоне существует.
Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости графика по сводной таблице.
Асимптоты.
Построение графика.
Пример. Провести полное исследование функции и построить график.
В соответствие со схемой имеем:
.
Функция общего вида. График проходит через точку (0,0).
. Точки возможного экстремума имеют абсциссы .
. Точка возможного перегиба имеет абсциссу x =0.
Результаты сводим в таблицу
x |
|
–3 |
(–3, –1) |
(–1, 0) |
0 | |
|
+ |
0 |
– |
+ |
0 |
+ |
|
– |
|
– |
- |
0 |
+ |
y |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
лок. max |
|
|
перегиб |
|
. Следовательно - вертикальная асимптота. Выделим целую часть.и так как- бесконечно малая при, то- наклонная асимптота.
Рисунок .