Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1 Дан функционал . Найти экстремали функционала, удовлетворяющие граничным условиямy(0) = –1, y(π) = 0.

Решение. Запишем уравнение Эйлера = 0 для данного функционала.

Для подынтегральной функции получаем частные производные:

.

Тогда уравнение Эйлера имеет вид: или– простейшее дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение получаем двукратным интегрированием:

.

Определим произвольные постоянные С₁, С₂ из граничных условий

Отсюда получаем С₁ = 1/π, С₂ = –1, следовательно, экстремалью функционала является функция .

Ответ. .

Задача 2. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений и граничными условиямиx₁(0) = 0, x₂(0) = 3, x₁(3) = 2, x₂(3) = –1, где t – время (t[0;3]), – фазовый вектор (траектория объекта), u(t) – функция управления объектом.

Требуется найти оптимальное управление объектом u*(t) и соответствующую ему оптимальную траекторию , если задан критерий качества управления:

Решение.

1. Введем вспомогательный вектор , где– неизвестные функции, и построим гамильтониан данной задачи:

=

,

где функции – это правые части дифференциальных уравнений а– подынтегральная функция критерия качества управления .

По условию задачи

Отсюда получаем =.

2. Находим максимум гамильтониана по управлению: ,– критическая точка. Вторая производная , следовательно, придостигается максимум гамильтониана по управлению.

3. Составим каноническую систему дифференциальных уравнений, подставив в формулу (8) и частные производные гамильтониана, и решим эту систему. Каноническая система имеет вид:

Общее решение системы находим последовательным интегрированием:

.

Найдем частное решение системы, удовлетворяющее граничным условиям x₁(0) = 0, x₂(0) = 3, x₁(3) = 2, x₂(3) = –1.

Из первых двух условий получаем:

Подставив эти значения в другие два условия получаем:

Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем , затем

Подставив найденные значения констант, получим оптимальную траекторию и оптимальное управление:

Ответы: оптимальная траектория , где; оптимальное управление

Рекомендуемая литература

1. Карташев А. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский.– М.: Наука, 1986.– 288 с.

2. Краснов М. Л. Вариационное исчисление. / М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев.– М.: Наука, 1973.–192 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

4. Сборник задач по математике для втузов: специальные курсы. (Ч. 3). Под ред. А. В. Ефимова. / Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В. Н. Земсков и др.– М.: Наука, 1984.– 608 с.

5. Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский.– М.: Высш. шк., 2003.– 583 с.