Содержание теоретического материала и ссылки на литературу

№ задачи	Содержание (темы)	Литература
	Функционал. Приращение функционала. Вариация функционала. Экстремумы функционала, необходимое условие экстремума. Экстремали функционала. Уравнение Эйлера для функционала вида	[1], гл. 7, §1-2; [2], гл. II, §3.1, 3.3, 3.6, 4; №71, 72, 75-78; [3], гл.X, № 1281-1285, 1289-1298; [4], гл. 16, №3.1-3.8
	Система управления и ее математическая модель. Оптимальное управление. Гамильтониан. Принцип максимума Понтрягина. Каноническая система уравнений задачи оптимального управления	[5], часть III, гл. 9.1.1-9.1.2, №9.1, 9.3, 9.4

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к выполнению контрольной

1. Элементы вариационного исчисления

1.1. Функционалы в линейном нормированном пространстве

Линейным пространством Е называется множество элементов

{x, y, z,….}, в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие 8 свойствам:

1. x + y = y + x ;

2. (x + y) + z = x + (y + z) ;

3. λ (x) = (λ) x , гдеλ,  – числа;

4. (λ + ) x = λx + x , гдеλ,  – числа;

5. λ (x + y) = λx + λу , гдеλ – число;

6. 1·x = x ;

7. существует нулевой элемент O + x = x ;

8. для существует противоположный элемент.

Примеры линейных пространств:

• координатное пространство Rⁿ с элементами – n-мерными векторами либо точками;

• пространство матриц размерности ;

• Cⁿ[a; b] – пространство функций, непрерывных на промежутке [a; b] вместе со своими производными .

В линейном пространстве вводится понятие нормы элемента.

Нормой элемента называется число, обозначаемоеи удовлетворяющее трем условиям:

1. 0 и = 0 тогда и только тогда, когдау = О;

2. , где λ – число;

3. , где λ – число.

Пример. В пространстве C[a; b] (пространство функций, непрерывных на промежутке [a; b]) норма элемента у может быть введена следующим образом:

.

Если каждой функции из некоторого линейного нормированного пространства функций У ставится в соответствие число, то говорят, что на множестве У задан функционал I [y (x)].

Примеры функционалов.

• –функционал, заданный на пространстве функций, имеющих непрерывные производные на промежутке [a; b], т.е. на C¹[a; b];

•–функционал, заданный на пространстве функций, интегрируемых на промежутке [0; 1].

Рассмотрим пространство C[a; b] – множество функций (кривых), непрерывных на промежутке [a; b], и функционал I [y (x)], определенный на этом пространстве.

ε-окрестностью кривой C[a; b] называется совокупность кривых C[a; b], таких что

.

Разность называетсявариацией аргумента функционала. Вариация  y (x) есть функция от x и тоже принадлежит функциональному пространству C[a; b].

Приращением функционала называется разность I = I [y(x)] – I [y₀(x)], где y₀(x) – фиксированная функция, а y (x) – произвольная функция из пространства C[a; b].

Используя вариацию  y (x), можно представить приращение функционала в виде .

Линейным функционалом называется функционал I [y (x)], удовлетворяющий следующим условиям:

1. I [λ y (x)] = λ I [y (x)], где λ – число;

2. I [y₁(x) + y₂(x)] = I [y₁(x)] + I [y₂(x)].

Вариацией функционала называется главная часть его приращения, линейная относительно  y (x).

Если приращение функционала можно представить в виде

,

где – линейный функционал относительно  y (x), и функционал при, то I [y] = – вариация функционалаI [y (x)].