Практикум МолФ
.pdf
Лабораторна робота № 4.
Спостереження броунівського руху і визначення числа Авогадро
Вступ. Одним із прямих підтверджень існування теплового хаотичного руху молекул речовини є так званий броунівський рух. Він був відкритий в 1927 році англійським ботаніком Робертом Броуном при спостереженні за допомогою мікроскопа завислих частинок квіткового пилку в воді. Броунівський рух – це неупорядкований рух окремих завислих частинок. Його можна спостерігати, наприклад, в деякій суспензії.
Рис. 1
На рис.1, взятому з роботи Жана Перрена (1870-1942), точками відмічені послідовні положення однієї і тієї ж частинки через кожні 30 секунд. Цей рисунок дає дуже наближене уявлення про рух частинок, тому що в дійсності величина і напрямок швидкості змінюється ~1014 раз в секунду.
Послідовне пояснення броунівського руху дали Альберт Ейнштейн (1879-1955) і Маріан Смолуховський (1872-1917) на основі молекулярнокінетичної теорії. За цією теорією молекули газу або рідини знаходяться в постійному хаотичному (тепловому) русі, причому швидкості окремих молекул відрізняються як за величиною, так і за напрямом. Броунівський рух викликається поштовхами при зіткненні молекул рідини з завислою
частинкою. Напрямок і величина рівнодійної сили ударів молекул змінюється з великою частотою, внаслідок чого відбувається зміна напряму руху броунівської частинки. Відносно великі частинки під дією поштовхів набувають невеликих прискорень, тому їх швидкість практично не змінюється, і частинка лишається нерухомою. Внаслідок цього вдається спостерігати броунівський рух лише досить дрібних частинок.
Теоретичні відомості.
Незважаючи на випадковий характер величини і напрямку сили, що діє на броунівську частинку, хаотичний броунівський рух підлягає певній закономірності, що виражається законом Ейнштейна: середнє значення квадрату зміщення броунівської частинки пропорційне часові, за який відбувається це зміщення.
Одержимо цю залежність. Розглянемо проекцію зміщення частинки на довільний напрямок x. Рівняння руху частинки по цьому напрямку має вигляд:
m |
d2x |
= F |
+ F , |
(1) |
|
||||
|
dt2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
де m – маса частинки, F1 – проекція на вісь x випадкової сумарної сили ударів молекул, що перебувають в тепловому русі, F2 – проекція на цей же напрямок сили опору середовища, зумовленої в‘язкістю рідиини. За законом Стокса:
F |
=−6π rη |
dx |
, |
|
|||
2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
де η – коефіцієнт в`язкості рідини, r – радіус частинки. Знак “–” означає, що сила F2 спрямована проти руху частинки.
Потрібно звернути увагу на те, що сила F2, як і сила F1, обумовлена ударами молекул. Однак, в першому випадку, ці удари зв‘язані з направленим рухом молекули (або частинки відносно молекули), а в другому
– з хаотичним.
Введемо позначення a=6π rη і підставимо значення F2 в (1):
m |
d2x |
= F −a |
dx |
. |
|
|
|||
|
dt2 |
1 |
dt |
|
|
|
|
Помножимо рівність (2) на x:
|
mx |
d2x |
= F x −ax |
dx |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dt2 |
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
||
Враховуючи тотожності: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 )− |
dx 2 |
|||||||
|
|
d 2 x |
|
1 |
|
d 2 |
||||||||||
x |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
2 |
2 |
|
dt |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||
(2)
(3)
(4)
та |
|
|
|
dx |
|
1 |
|
d |
|
(x2 ), |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
наведемо (3) у вигляді: |
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
m d2 |
|
2 |
|
dx |
1 |
|
d |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
(x |
|
)− m |
|
|
= F1x − |
|
a |
|
(x |
|
) |
|||||
2 |
|
dt2 |
|
|
2 |
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(5)
(6)
Сила F1 змінюється хаотично як за величиною, так і за напрямком, тому запишемо рівняння руху частинки через середні характеристики цього
|
2 |
dx 2 |
|||
руху: < x |
|
> , < |
|
|
> , < F1x > . |
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
Відповідні середні значення, які характеризують рух даної частинки, можна знайти, якщо n разів (n – велике) виміряти відповідні величини однієї і тієї ж частинки через рівні інтервали часу.
При усередненні (6) врахуємо, що <F1>=0 і <x>=0, тому що знаки проекції сили (також зміщення) в довільний момент часу рівноймовірні. Враховуючи також, що F1 та x – незалежні величини, одержимо: <F1x>=0.1
В результаті розглянутого усереднення вираз (6) матиме такий
вигляд:
m dl |
− m |
dx 2 |
al |
, |
(7) |
||
2 dt |
|
|
= − |
2 |
|||
|
|
dt |
|
|
|
||
l = d |
x2 . |
dt |
|
Другий доданок рівняння (7) дорівняює подвоєному значенню середньої кінетичної енергії, що припадає на один ступінь вільності
броунівської частинки, тобто |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
2 |
= |
RT |
, |
(8) |
|||
m |
|
N |
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
де T – абсолютна температура середовища, R – універсальна газова стала, |
||||||||||
N – число Авогадро. |
|
|
|
|
|
|
||||
Підставляємо (8) в (7) і отримаємо: |
|
|
|
|
||||||
|
m |
|
dl |
− |
RT |
=− |
al |
, |
(9) |
|
|
|
|
N |
|
||||||
|
2 dt |
|
2 |
|
|
|||||
або
1 Із рівностей <F1>=0 і <x>=0 ще не випливає, що <F1x>=0, однак, якщо при цьому F1 і x – незалежні випадкові величини, то <F1x>=0.
|
dl |
=− |
a |
dt . |
(10) |
|
l − |
2RT |
m |
||||
|
|
|
||||
aN |
|
|
|
|
Інтегруємо рівняння (10), маємо:
|
2RT |
|
|
a |
|
|
|
l − |
|
=Cexp |
− |
|
t , |
(11) |
|
aN |
m |
||||||
|
|
|
|
|
де С – стала інтегрування.
Для досить великого інтервалу часу ( t >> ma ) з (11) видно, що:
|
l = |
2RT |
, |
|
або |
aN |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d |
x2 = |
|
2RT . |
|
dt |
|
|
6π rη N |
|
Останнє рівняння при інтегруванні (враховуємо, що при дає вираз для середнього значення квадрата зміщення частинки ( ми також скористались тим, що при t=0 <x2>=0)
x2 = |
RT |
t , |
|
3π rη N |
|
звідки
(12)
t=0 <x2>=0),
броунівської
(13)
N = |
RTt |
. |
(14) |
||
3π rη |
x2 |
||||
|
|
|
|||
Таким чином, знаючи радіус броунівської частинки r, а також середнє значення квадрата зміщення за відповідний інтервал часу t, за формулою (14) можна обчислити число Авогадро.
Опис методу.
В даній роботі для спостереження броунівських частинок і визначення числа Авогадро використовують суспензію гуаші у воді.
Предметне скло з препаратом кладуть на столик мікроскопа перед об`єктивом. Вибирають для досліду частинку середніх розмірів. Пряму, перпендикулярну до рисок шкали мікроскопа, вважають за вісь x, фіксують початкову координату частинки і вмикають секундомір. Слідкують за рухом частинки, через певний час визначають проекцію зміщення частинки по осі x. Довго спостерігати за однією частинкою незручно, бо вона виходить з поля
зору, тому подібні спостереження проводять над різними, але однаковими за величиною частинками і за однакове значення часу, і знаходять <x2>.
Порядок виконання роботи.
1.На старанно протерте предметне скло наносять краплю суспензії і накривають покривним склом.
2.Предметне скло з препаратом кладуть на столик мікроскопа і освітлюють його освітлювачем за допомогою дзеркала мікроскопа. Фокусують об`єктив мікроскопа так, щоб в окулярі було чітко видно броунівські частинки.
3.Вибирають для досліду частинку середніх розмірів Слідкуючи за рухом частинки, через кожні 30 визначають проекцію зміщення частинки по осі x.
4.Для визначення діаметра частинки оцінюють, яку долю поділки шкали
займає частинка. Ціна поділки шкали окуляра при об`єктиві 40Х і окулярі 15Х дорівнює 3,2 10-4 см.
5.Температура препарата дорівнює кімнатній.
6.Коефіцієнт внутрішнього тертя рідини знаходять з таблиць.
7.За формулою (14) тепер можна визначити число Авогадро.
8.Оцінюють похибки вимірювання числа Авогадро.
Література:
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.ІІ. Термодинамика и молекулярная физика.- М.: Наука,1990.-592с.
2.Методичні рекомендації до оцінки похибок вимірювання фізичних величин для студентів фізичного факультету.- К.:РВЦ “ Київський університет”, 1997. - 24 с.
РОБОТА №5
ВИМІРЮВАННЯ КОЕФІЦІЄНТА ПОВЕРХНЕВОГО НАТЯГУ РІДИНИ
Вступ. Якщо капіляр занурити в рідину, рідина підніметься або опуститься в капілярі на деяку висоту над рівнем рідини в посудині. Це явище пояснюється тим, що тиск під поверхнею рідини залежить від форми поверхні. В капілярних трубках внаслідок взаємодії молекул рідини з молекулами речовини капіляра поверхня рідини викривлюється. Залежність тиску під поверхнею рідини, від форми її поверхні описується формулою Лапласа:
Р=Р0 ± α ( |
1 |
|
+ |
1 |
) , |
(1) |
R1 |
|
|
||||
|
|
|
R 2 |
|
||
де Р - тиск під викривленою поверхнею, P0 - тиск під плоскою поверхнею, α |
||||||
- коефіцієнт поверхневого натягу рідини, R1 таR2 |
- головні радіуси кривизни |
|||||
поверхні рідини. |
|
|
|
|
|
|
Теоретичні відомості. |
В |
капілярній |
трубці R1=R2=R , тобто |
|||
поверхня рідини має сферичну форму. В цьому випадку формула Лапласа мав вигляд;
Р=Р0 ± |
2α |
. |
(2) |
|
|||
|
R |
|
|
Знак "+" має місце при опуклій поверхні рідини, знак "-" - при увігнутій. Отже, для змочуючих рідин тиск під увігнутим меніском у трубці буде менший, ніж
під плоскою поверхнею рідини в широкій посудині на величину 2Rα , а при
незмочуванні, навпаки, буде більший на цю ж величину. Цим і пояснюється, що рідина в капілярних трубках при змочуванні піднімається, а при незмочуванні опускається. Очевидно, що умовою рівноваги рідини в капілярі є вираз:
2α |
= ρ gh , |
(3) |
|
R |
|||
|
|
де ρ - густина рідини, g – прискорення вільного падіння, h - висота підняття
рідини в капілярній трубці відносно рівня рідини в широкій посудині, R - радіус сферичної поверхні рідини в капілярі. При повному змочуванні стінок капіляра рідиною R дорівнює радіусу капіляра.
Якщо збільшити зовнішній тиск над поверхнею змочуючої рідини в капілярі, можна досягти того, що рівні рідини в широкій посудині і в капілярі зрівняються. Нехай для цього зовнішній тиск потрібно збільшити на величину
р. Очевидно, при цьому р= 2Rα . Вимірявши цей додатковий тиск р, можна визначити коефіцієнт поверхневого натягу досліджуваної рідини α .
Опис методу. Прилад, зображений нп рисунку, складається з капіляра А, з’єднаного за допомогою гумової трубки з манометром С і з широкою скляною трубкою D, яка опущена в посудину з водою. Опускаючи і піднімаючи трубку D, можна змінювати тиск в системі .
Досліджувану рідину наливають в посудину В і опускають в неї капіляр. Рідина в капілярі підніметьоя на деяку висоту. Повільно опускаючи трубку D за допомогою гвинта Е, збільшують тиск в системі і доводять рівень рідини в капілярі до рівня рідини в посудині В. Цей надлишковий в порівнянні з атмосферним тиск р вимірюється за різницею рівнів рідини в манометрі (h1) і дорівнює
очевидно, тискові, обумовленому викривленням поверхні рідини в капілярі.
Таким чином |
2α |
= ρ 1gh1 , де ρ 1 |
- густина рідини в манометрі, а звідси |
|
|
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α = |
ρ 1gh1R |
. |
/4/ |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
Радіус капіляра R визначають за допомогою мікроскопа МИР-12. Для цього капіляр в тримачі встановлюють на столику мікроскопа і освітлюють його, добиваючись чіткого зображення торця капіляра. Вимірюють діаметр отвору капіляра.
Порядок виконання роботи.
1.Визначити за формулою (4) коефіцієнт поверхневого натягу води, спирту та кількох розчинів цих рідин відомої концентрації, користуючись двома капілярами різних діаметрів.
2. Побудувати графік |
концентраційної |
залежності коефіцієнта |
поверхневого натягу |
системи спирт-вода. |
|
3.Визначити за цим графіком концентрацію невідомого розчину.
4.Оцінити похибку вимірювання коефіцієнта поверхневого натягу та концентрації невідомого розчину.
Література :
1.Савельев Д.В., Курс общей физики (том II: Термодинамика и молекулярная физика). М.; Наука, 1990, с. 448-455.
РОБОТА №6
ВИВЧЕННЯ ЗАЛЕЖНОСТІ КОЕФІЦІЄНТА ПОВЕРХНЕВОГО НАТЯГУ РІДИНИ ВІД ТЕМПЕРАТУРИ
Вступ. У даній роботі досліджується температурна залежність коефіцієнта поверхневого натягу водного розчину спирту від температури за методом Ребіндера.
Теоретичні відомості. Прилад Ребіндера (рис.1) складається з наповненого водою аспіратора А, з'єднаного за допомогою гумових трубок з U- подібним манометром М і верхнім повітряним простором посудини В, в яку наливається невелика кількість досліджуваної рідини. В посудину В впаяна скляна трубка С з вузьким кінцем, що дотикається до поверхні рідини. Якщо відкрити кран аспіратора, з нього почне витікати вода і над поверхнею досліджуваної рідини в посудині В виникне деяке розрідження. Манометр М вимірює різницю між атмосферним тиском і тиском, який виникає над поверхнею рідини в В. Ця різниця тисків ∆ р приводить до виникнення на нижньому вузькому кінці трубки С повітряної бульбашки. При збільшенні ∆ р ця бульбашка поступово збільшується, причому її радіус, як видно з рис.2, спочатку зменшується. Різниця тисків ∆ р , що зростає, зрівноважується тиском, обумовленим поверхневим натягом викривленої поверхні рідини на отворі С за відомою формулою:
|
∆ р=2α/ R |
(1) |
де R |
радіус бульбашки, а α |
коефіцієнт поверхневого натягу рідини. |
Зменшення радіуса бульбашки відбувається доти, доки він не стане рівним радіусу отвора трубки R0 . Подальше зменшення радіуса бульбашки неможливе. Тому максимальний тиск, обумовлений поверхневим натягом:
∆ рmax=2α/ R0 |
(2) |
При дальшому витіканні води з аспіратора тиск в системі ще зменшується і відрізняється від атмосферного тиску більше ніж на величину ∆ рmax. При цьому радіус бульбашки зростає, 2α/ R стає меншим ніж ∆ р, бульбашка проривається, повітря з трубки через рідину попадає в посудину В, і тиск в ній зростає. Вода з аспіратора продовжує витікати, утворюється різниця тисків ∆ р, на кінці трубки С виникає нова бульбашка, і весь процес повторюється.
Вимірювання коефіцієнта поверхневого натягу проводиться на основі формули (2). Через те, що отвір трубки не є точно коловим, R0 краще розглядати як параметр приладу, що підлягає експериментальному визначенню. Тоді з (2):
α=A∆ рmax |
(3) |
Для визначення А треба провести дослід з рідиною, поверхневий натяг якої α 0 відомий, наприклад, з дистильованою водою. Очевидно, що
А =α 0/∆ р0 , |
(4) |
де ∆ р0 максимальна різниця тисків, визначена по манометру для еталонної рідини. Визначивши сталу приладу А, за (3) знаходять коефіцієнт поверхневого натягу досліджуваної рідини.
Опис методу.
Завдання 1. Ознайомившись з приладом, наливають в посудину В потрібну кількість дистильованої води. Відкривають кран аспіратора настільки, щоб зміна тиску проходила досить повільно щоб можна було легко визначити положення рівнів рідини в манометрі в момент відривання бульбашки. За різницею рівнів в манометрі визначають ∆ р0. Одночасно визначають температуру води в склянці, в якій знаходиться посудина В. З таблиць знаходять коефіцієнт поверхневого натягу води при даній температурі. За цими даними з (4) визначають сталу приладу А. Виливають воду з посудини В і наповнюють її розчином спирту в воді певної концентрації. Для того, щоб не змінити концентрації розчину при перезаповненні приладу, рекомендується перед заповненням приладу
промити посудину В і трубку С цим розчином.
Проводять вимірювання так само, як із дистильованою Рис. 1 водою, і за різницею рівнів рідини в манометрі в момент відривання бульбашки
визначають ∆ рmax. За (3) розраховують коефіцієнт поверхневого натягу α розчину даної концентрації. Подібні виміри проводять для кількох розчинів відомої концентрації і по одержаним даним будують графік залежності коефіцієнта поверхневого натягу розчинів від їх концентрації. Далі вимірюють коефіцієнт поверхневого натягу розчину невідомої концентрації і за графіком визначають концентрацію цього розчину.