1.2 Серветка і килим Серпінського

Ще один приклад простого самоподібного фрактала --- серветка Серпінського (рис. 1.2.1), придумана польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Сам термін «серветка» належить Мандельброту. У способі побудови, наступному нижче, ми починаємо з деякої області і послідовно викидаємо внутрішні підобласті. Пізніше ми розглянемо й інші способи, зокрема з використанням L-систем, а також на основі ітерованих функцій.

Рис 1.2.1. Серветка Серпінського

Нехай початкова множина S0 --- рівносторонній трикутник разом з областю, яку він замикає. Розіб'ємо S0 на чотири менші трикутні області, з'єднавши відрізками середини сторін вихідного трикутника. Видалимо маленьку центральну трикутну область. Назвемо залишкову безліч S1 (рис. 1.2.2). Потім повторимо процес для кожного з трьох, що залишилися маленьких трикутників і отримаємо наступне наближення S2. Продовжуючи таким чином, отримаємо послідовність вкладених множин Sn, чий перетин утворює серветка S.

Рис. 1.2.2. Побудова серветки Серпінського

Очевидно, що сумарна площа частин, викинутих при побудові, в точності дорівнює площі вихідного трикутника. На першому кроці ми викинули ¼ частину площі. На наступному кроці ми викинули три трикутника, причому площа кожного дорівнює ¼ 2 площі початкового. Міркуючи таким чином, ми переконуємося, що повна частка викинутої площі склала:

1/4 + 3_*(1/4²) + 3²_*(1/4³) + … + 3^n-1_*(1/4ⁿ) + ….

Ця сума дорівнює 1. Отже, ми можемо стверджувати, що заликова безліч S, тобто серветка, має площу міри нуль. Це виділяє безліч S в розряд « досконалої», в тому сенсі, що вона розбиває своє доповнення на нескінченне число трикутних областей, володіючи при цьому нульовий завтовшки. Килим Серпінського вважається ще однією моделлю фрактала. Будується він таким чином: береться квадрат, ділиться на дев'ять квадратів, вирізається центральний квадрат. Потім з кожним з восьми залишкових квадратів проробляється подібна процедура. І так до нескінченності. У результаті замість цілого квадрата ми отримуємо килим зі своєрідним симетричним малюнком. Вперше дану модель запропонував математик Серпінський, на честь якого він і отримав свою назву. Приклад килима Серпінського можна побачити на рис. 1.2.3.

Рис. 1.2.3. Побудова килима Серпінського

РОЗДІЛ ІІ. L-системи

Поняття L -систем, тісно пов'язане з самоподібними фракталами, з'явилося тільки в 1968 році завдяки Арістріду Лінденмайеру. Спочатку L -системи були введені при вивченні формальних мов, а також використовувалися в біологічних моделях селекції. З їх допомогою можна будувати багато відомих самоподібних фракталів, як сніжинка Коха і серветка Серпінського. Деякі інші класичні побудови, наприклад криві Пеано (роботи Пеано, Гільберта, Серпінського ), також укладаються в цю схему. І звичайно, L -системи відкривають шлях до нескінченного різномаїття нових фракталів, що і послужило причиною їх широкого застосування в комп'ютерній графіці для побудови фрактальних дерев і рослин. Розглянуті в цій роботі L -системи обмежуються випадком детермінованих L -систем і графікою на площині. Для графічної реалізації L -систем використовується так звана Тертл - графіка ( turtle - черепаха ). При цьому точка ( черепашка ) рухається по екрану дискретними кроками, прокреслюючи свій слід, але при необхідності може переміщуватися без малювання. У нашому розпорядженні є три параметри ( x, y, a ), де ( x, y ) --- координати черепашки, a --- напрямок, в якому вона дивиться. Черепашка навчена інтерпретувати і виконувати послідовність команд, що задаються кодовим словом, літери якого читаються зліва направо. Кодове слово являє собою результат роботи L- системи і може включати наступні літери:

F	переміститися вперед на один крок, прорисовуючи слід.
[	Зберегти позицію
]	Відновити позицію
+	Збільшити кут a на величину q
-	Зменшити кут a на величину q

Розмір кроку і величина збільшення по куту q задаються заздалегідь і залишаються незмінними для всіх переміщень черепашки. Якщо початкове напрямок руху а ( кут, що відраховується від позитивного напрямку осі Х ) не зазначено, то вважаємо а рівним нулю. Кілька прикладів ілюструють застосування команд розгалуження (позначаються ], [ ) і допоміжних змінних (позначаються X, Y, і т.д.). Команди розгалуження використовуються для побудови дерев рослин, а допоміжні змінні помітно полегшують побудову деяких L -систем. Формально, детермінована L -система складається з алфавіту, слова ініціалізації, званого аксіомою або ініціатором, і набору правил, що вказують, як слід перетворювати слово при переході від рівня до рівня (від ітерації до ітерації ). Наприклад, можна замінювати букву F за допомогою правила F > F -F ++ F- F, що відповідає L- системі для сніжинки Коха, розглянутої нижче. Символи +, -, ], [ не оновлюються, а просто залишаються на тих місцях, де вони зустрілися. Оновлення букв в даному слові передбачається одночасним, тобто букви слова одного рівня оновлюються раніше будь-якої літери наступного рівня. L -система, відповідна сніжинці Коха (рис. 1.1.1), задається наступним чином: p = 60 * Аксіома : F + + F + + F Твірне правило: F- > F -F + + FF Графічне подання аксіоми F + + F + + F --- рівносторонній трикутник. Черепашка робить один крок вперед, потім кут а збільшується на 2 /3 і черепашка робить ще один крок. На першому кроці кожна буква F у слові - ініціатора F + + F + + F замінюється на F -F + + F-F : (F -F + + F -F ) + ( F -F + + F -F ) + ( F -F + + F -F ) і т.д. Ось ще деякі фрактали, побудовані з використанням L -системи:

Рис. 2.1. Дракон Хартера-Хатвея

і його L-система: p = 90 * Аксіома: FX Твірні правила: X-> X + YF + Y->-FX-Y

Рис 2.2. Рослина після 8 ітерацій

p = 11*

Аксіома:--------C

Твірні правилa: C->N[--C]N[++C]N+C

N->NNF

P->C

РОЗДІЛ ІІІ. Практичне застосування фракталів

Фрактали знаходять все більше і більше застосування в науці. Основна причина цього полягає в тому, що вони описують реальний світ іноді навіть краще, ніж традиційна фізика або математика. Ось кілька прикладів:

КОМП'ЮТЕРНІ СИСТЕМИ

Найбільш корисним використанням фракталів в комп'ютерній науці є фрактальное стиснення даних. В основі цього виду стиснення лежить той факт, що реальний світ добре описується фрактальною геометрією. При цьому, картинки стискаються набагато краще, ніж це робиться звичайними методами (такими як jpeg або gif ). Інша перевага фрактального стиснення в тому, що при збільшенні картинки, не спостерігається ефекту пікселізації ( збільшення розмірів точок до розмірів, що спотворюють зображення). При фрактальному ж стисненні, після збільшення, картинка часто виглядає навіть краще, ніж до нього.

ФІЗИКА РІДИН І ВОГНЮ

1. Вивчення турбулентності в потоках дуже добре підлаштовується під фрактали. Турбулентні потоки хаотичні і тому їх складно точно змоделювати. І тут допомагає перехід до фракталів, що сильно полегшує роботу інженерам і фізикам, дозволяючи їм краще зрозуміти динаміку складних потоків.

2. За допомогою фракталів також можна змоделювати язики полум'я.

ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЇ

Для передачі даних на відстані використовуються антени, що мають фрактальні форми, що сильно зменшує їх розміри і вагу.

ФІЗИКА ПОВЕРХОНЬ

Фрактали використовуються для опису кривизни поверхонь. Нерівна поверхня характеризується комбінацією з двох різних фракталів.

БІОЛОГІЯ

Моделювання хаотичних процесів, зокрема при описі моделей популяцій.