Системы эконометрических уравнений Практическое занятие 1

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений:

- система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как фунуция одного и того же набора факторов х:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

- система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде факторах в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

- система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.

Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х.

Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты а и b при переменных – структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех

предопределенных переменных системы – приведенная форма модели:

где δ – коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:

D + 1 = Н – уравнение идентифицируемо;

D + 1 < Н – уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > И – уравнение сверхидентифицируемо,

где Н – число эндогенных переменных в уравнении,

D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Задачи для самоконтроля

Задача 1

Определить вид системы уравнений. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

Задача 2

Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.

Если: а) все параметры системы отличны от нуля;

б) a₂ и b₁₂ равны нулю.

Задача 3

Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.

Если: а) все параметры системы отличны от нуля;

б) a₃ и b₃₂ равны нулю.

Практическое занятие 2

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:

- косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

- двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

- трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК).

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов. Он заключается в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

- путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Например, требуется найти структурные параметры модели

при условии, что полученная приведенная форма модели описывается уравнениями

Проверим идентифицируемость уравнений. В модели имеется две эндогенные переменные y₁, y₂ и две экзогенные переменные x₁, x₂. В первое уравнение входят две эндогенные переменные у₁, у₂ и одна экзогенная переменная x₂. Следовательно, H = 2, D = 1 и H = D + 1, и первое уравнение – идентифицируемо. Идентифицируемость второго уравнения доказывается аналогично. Для нахождения структурных коэффициентов можно применить косвенный МНК, т. е. получить их с помощью преобразования приведенных уравнений.

Для этого из 2-го уравнения приведенной формы выразим переменную x₂ = x₁ – y₂ и подставим в 1-е уравнение приведенной формы модели

y₁ = 2x₁ + 4(x₁ – y₂) или y₁ = -4y₂ + 6x₁.

Сравнивая это уравнение с 1-м уравнением структурной формы y₁ = b₁₂y₂ + a₁₁x₁, определим значения структурных параметров

b₁₂ = -4; a₁₁ = 6.

Далее из первого уравнения приведенной формы выразим переменную x₁ = 0,5y₁ – 2x₂ и подставим во 2-е уравнение приведенной формы модели

y₂ = (0,5y₁ – 2x₂) – x₂ или y₂ = 0,5y₁ – 3x₂.

Сравнивая последнее уравнение с 2-м структурной формы y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂, получим

b₂₁ = 0,5; a₂₂ = -3.

Таким образом, структурная форма модели определяется уравнениями: