ЭкзЗадания
.pdfпеременныхнесколькихменной.переоднойеренцированиееренциалДиДиI.1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Найти.чЗ |
|
|
|
|
|
ункции: |
|
|
|
|
|
|
|
π |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
à) y = xди вункциитоеренциалx = 2; |
á) y = arctg sin x в точкиеx = |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
Евклидово |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
Внутренняяn-мерноеиграниòî÷êпрострнаяточкианствомножества.Окрестность. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(0;замкнутренней0) |
|
|
|
|
множества:для(граничной) |
|
|||||||||||||||
4 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
открытым?xмножества,[−1; 1]}?замкнутым?компакт. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Ограниченное,а)Является{0 < xоткрытоели+ yданное< 1} ìíîæ{yество= 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1}. |
|
||||||
З5. рачик. а)Изобразитьункции{0 < x +двухобластьy <ïåð1};менныхопределенияб) {y =. 0, x ункции:[−1; 1]}; |
â) {x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
y2 |
z = x + 1 ограниченной внóтри круга |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ò ÷êå.− | |
| − | |
|
| |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
||||||||||||
|
|
z = |
ln |
x2 + 2x + y2 |
; |
á) z = 1 |
x |
|
|
y |
; â) z |
= |
x2 |
+ y2 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
p |
− |
|
− |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||
в пеpеменных двух точк ункции В Являетс л ч . Пpеде 6. З |
|
|
|
|
пределы. Повторные |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
à) |
(0; 0) |
ункции: для пределов вторных î п значения найти |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
z = |
x2 − y2 |
á); |
z = |
x2 − y |
|
; â) z = y + x cos 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
.мачТНепрерыеоре.Ç87 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
непрерывнойточке. yункции. |
|
|
|
||||||||||||
Вейерштрностьxÿ +лиункцииассy ункцияа обдвухограничпеpеменныхнностиx + x + y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З9. Частныеч . xНайти+пpоизвод(y частные− 1) < .1произво.дные ункции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
z = eX(sin y + x cos y); |
á) z = |
y(y − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
З0 Дич. а)Найтиеpенциpуеди мостьеренциалункцииункции:двух пеpеменныхпроизводныхточке.2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ç1póå21.мостьюТПроизводнаяеоремач . мы,zункциисвязыдполаг= произвоx ающиеая,точкдвухчтоднойчастныепеpесуществованиеменных(2; 1)ñëî; á)æíîézпроизво.= y(xчастныхункции+äíûåy2 ) в отточкдвух(1; аргументов2). ñ äè åpåíöè. |
- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
найти |
|
|
|
производные fU′ |
|
fV′ |
|
|
|
|
|
z = f (u, v) |
|||||||||||||
|
à) |
ñòíû,å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ункцииункции: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
z = fïî(xy,íàyïð);авлениюб) z = f. (x2 −1y2, xy). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) z = x(yx + y2) |
|
|
(0; 0) |
|
|
|
|
(1; 2) |
. |
|||||||
З14. pадиентч . Дляz = |
− |
y |
|
|
|
(0;градиента1) по направлениюпроизводнойк точкпоенаправлению(2; 2). |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связьточк.виíêöèуточки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
+ y |
всего: |
|
|
|
|
|
|
|
-(убырастетункциякотором |
||||||
|
а)вает) быстрее(x0; y0) найти направление, |
||||||||||||||||
|
á f (x, y) = xy |
|
точке |
(1; 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
òî÷ê |
(0; 1). |
|
|
|
|
|
Н явнаяВыразитьf (x,ункцияy) =ÿâíî(.x − yóíêö) + (xþ− 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) заданную неявно уравнением |
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ункциидля |
|
|
З16 Тчеорема. yПроверить,− 2yсуществ+ 2xâûï= 0.ваниилняютснеявнойли условияункциитеоремы. |
|
||||||||||||||||
|
уравнениемнеявнозаданной |
|
|
|
|
|
y = f (x), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 + 3xy + 2 = 0 в окрестности точки |
||||||
7 |
Теорема(Найтипpоизводные.−1; 1)дичастныеточкеренцируемости неявной ункции. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
производныеуравнениемчастные |
|
|
|
-çà, |
||||||||
|
неявно |
(1; −2) |
3 |
|
|
2 |
|
z = f (x, y) |
|||||||||
)ч . ЧастныеЗ18. |
|
|
|
п высшихоизводныепоpядковz 2−-го4xzпор. +ядка:y = 4. |
|
|
|
|
|||||||||
|
z = x sin(x + y2); |
á) |
z = |
x − y |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
190 ÔÄîстаточноермулаазлоТейлоpажитьусловиеподляормуавенстваункцииле Тейлорадвухсмешанныхx +Стационарныепеpеy2-гоменныхпорядкпpоизводных.окрестности. |
точки |
||||||||||||||||
|
ункцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2; 0) |
|
21. НеобходимоеНайти всеусловиеzточки= xyэкстре+ xстремума+ 2. . ункции |
точки. |
|
|
||||||||||||||
|
ивести пример ункции двух переменных,2 |
дляточкоторой2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = (x |
− y) |
|
|
|
2 |
fX′ (0, 0) =óü,0 = fY′ (0, 0) |
|
|
|
|
(0; 0) |
|
|
|
|
|
||||||
|
Провери Достаточное |
|
..экстремумапеременныхдвухявляетснеункцииявляется,листремуманоточксловие |
||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
(−1; 0) точкой экстремума для ункции |
||||||
3 |
Ó ë âíûéz = 3экстреx âñå+ yточкимум.− 3yэкстремума.− x |
ункции |
|
|
|
|
|
||||||||||
экусловиеходимоеНайти..чНеоб.4Зменных2 |
|
|
|
|
|
|
|
X+Y |
|
|
2 |
||||||
|
словного экстремумаz = e |
|
приункциисловиидвухx + yпере= 0-. |
||||||||||||||
25. Первообразная ункцииII. Интегральное. Неопределенный2 исчислениеинтеграл.z = 2x + y при словии xy = 2. |
|
á) |
y = |x − 1| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x < 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
.точкуалачерезинтегрдящийпрохнеопредесвойстваыхтеграл:èíòпростейшихоснов |
(1; 0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
З26. Четыреч . а)Найтиy = (0, |
− |
|
ïðè |
|
|x| |
1, |
|
|
ленного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| ≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а)Таблица27 |
Z |
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
.аловб)интегр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 2)ãðàë:;dx |
Z |
sin(πx) cos x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
; |
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
.ормулы)(интегрированиятодаграл:åминтНайтиа)основных |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
÷ .ÒðèÇ28. |
Z |
|
√x2 |
− 2x |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
Z √6x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 dx; |
á) Z |
cos x ln sin x dx; |
|
|
|
|
|
Z |
x dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xeX |
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ã) |
|
|
|
|
(2x + 3)5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
æ)Z |
|
|
dx; |
ä) Z |
e√X dx; |
å) Z |
|
sin √x dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дробь.Элементарная. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
.дробьПравильнаяз).;ункцияинтеграл:йтильная |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
З29. ационч . а)Нà Z |
|
e |
|
|
|
|
cos x dx |
Z |
|
|
px |
|
+ 1 dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
; |
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
дробей.элементарныхсуммунаарных:дробиэлементсуммуправильнойнадробьазложенияжитьразлоа)ч .Алгоритм |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ç30. |
Z |
|
4x |
|
|
|
+ 4x + 5 |
|
|
|
Z x |
|
− 2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 + 2x |
; |
|
|
á) |
|
|
4x2 |
; |
|
â) |
|
|
|
x3 + x2 − 5x − 1 |
; |
ã) |
|
2x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
+ 3 |
|
|||||
З31. Биноч .миальныйа)Свести(x + 1)(к интегралудиx + еренциалx + 1)от рациональной. Подстановкиx − 1 ункции:Эйлера(x − 1) |
|
|
|
|
|
x |
+ 4x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
УниверсZ |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(2 + 3x)x2 dx; |
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√1 + x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
x + 1 dx; |
|
ã) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
32. |
нахождениядляпеременнойзаменаальная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
p |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
x + |
√x |
|
− x |
+ 1 |
|
Z |
R(sin x, cos x) dx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл:Найтиа)З ч . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
á) |
Z |
|
|
|
dx |
; |
|
â) |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ã) |
|
sin x + cos x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
интегральныйсинус,альный.интегр |
||||||||||||||||||||||||
|
.д).лы;аЛапласинтегрункциям,¾Неберущиеся¿ |
3Примеры: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
логари33. |
Z |
sin |
|
|
x cos |
x dx |
|
|
|
|
|
Z cos |
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à) |
|
eX |
Z |
sin x2 |
|
Z |
sin √ |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
dx |
2 |
X2 |
|
|||||||||||||||||||||
36Ç45. Интегр Z |
x dx |
x |
|
dx |
x |
x e− |
|
dx |
|||||||||||||||||||
.г)ленный;алаегрОпреде.èíòüмоств)ленного;грируеопредеа)Èíòå.б)свойств;суммаястьинтеграл:наишеальНайтч .Основные |
..интеграл |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2,2 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0,3 |
[x] dx; |
á) |
|
2 |
p |
|x| |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
.(произведениязначение:интегрирования(оценить)дляприближенносреднемоНайтиа)ч .Т.еоремаций)З |
-ункдвух |
||||||||||||||||||||||||||
|
2π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
sin x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
Z1 |
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З37. Интегрч . Пострал îèòпеременнымьdxãðà; èê 16− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
á) |
Лейбница.-НьютонаФормулапределом..кцииуверхним |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
à) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
f (x) = Z1 |
(1 − t2) dtинтервалеотрезк |
|
[−2; 0]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ç3интегр98. Ôîð÷àëåìóë. а)Найти.ытрзаменыапецийf (x)приближ= lnпередляt dtенноменнойнаприб(оценить)лиженногоинтегрированияинтеграл:(0; вычисe). ленияпо частямопредел-говопредеинтегрленноала.м |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
sin x |
|
Z1 |
|
|
2X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ç4теграла10. ОпредеФормуч..а)Найтилениела Ñèìплощадьпсонаdx 4− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
á); |
-инвычисленияенноголиниями:.приближигурыдляограниченной.линейнойигуры,(парабол)криво |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З42. Длинач . а)Найтидугиy = кривой(приближx2 + 2.x)e−ííîX |
(оценить)осью Ox; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
||||||||||
длинуб)y =дóãè, çàäаннойпрямойункцией:y = x + 2. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(5 − x) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
.наивой |
å |
|
|
|
||||||||
З43. Формуч . Вычислитьлаy =äëÿx навычислениядлинуотрезкдугиx кривойдлины[−1; 3]; |
á)äóãèy =êxð |
[0, 5; 2, 5]. |
|||||||||||||||||||||||||
|
отрезк |
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
√ |
|
|
|
íà |
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
[0; 4] |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
x |
|
|
|
|
|
|
à) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходимость: |
Oy |
||||||||
З45. Несобственныеч . Вычислитьy = x , xинтегралалы[0; 2]несобственных; б)или(дваy =утипа)2xановить, x . [1; 3]åãî. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
; |
á) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
; |
â) |
|
|
+∞ |
|
|
− |
|
|
; |
ã) |
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
Z |
|
dx |
|
|
|
|
Z |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|||||||||||
46 |
Теоремаа)Исслеx + 1 |
|
|
|
|
|
|
√x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
4x + 5 |
|
|
|
x2 |
|
dx |
||||||||||||||||
|
. грала: алов инте интегр енного несобств мость õîäè äëÿ ñ òü äîâà сравнения |
|
X |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
eX |
|
|
|
|
|
|
+∞2 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dx |
ã); |
+∞ |
|
2 |
|||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|||
З47. Чисчловой. а)Найтиряäñó. ììódxЧастичные; б)ряда, последовсуммыIII..ательноdxСходимость;ядыв) вычисляяряд |
а.его частичныеe−X dx.суммы: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(−2)N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
; |
|
á) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ç498. НеобходимоеОстатокч . а)Исследоватьрядаус.ловиеС свойстваязьх сходимостидимостьрядовяда:N+1 ряда. и его остатка. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N=1 |
|
n(n |
+ 2) |
|
|
|
|
N=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
.ÿäà: |
|
|
N. |
|
|
|
|
|
расходится. |
|
|
|
|||||||||||||
З50. Арич. метическиеа)Исследоватьсходимостидимость∞ ; ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
N=1 |
|
√2N |
+ n |
|
|
N=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
X |
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
1 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
á) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
N=1 |
n2 |
|
2N |
|
|
N=1 |
n2 |
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ряд льных нический ложите по гарм что Доказать, Критерий |
|
. . рядов |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З52. Теореч . маа)Исследоватьсравнениядимостидлях димостьложитеряда:льных рядовn . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
á) |
|
∞ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
√ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
льные а) . ризнаки реде ч Ï . 3 4 5 Ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
признаких 2 х димостьсходимостКоширяда:è КошиДаламбераи Даламбер. а. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N=1 |
|
|
n |
|
|
n + 1 |
|
|
N=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 2 + (−1)N . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
N |
2 ; á) |
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
â) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
N=1 |
n + 1 |
|
|
|
|
N=1 √2N 5+ n |
|
|
|
N=1 |
2N |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
à) |
∞ |
1 ; á) |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
P |
X |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З56. Форчмула. жСенияпомощьюСтирлингаn орму. лы Стирлинга найти приближенно значение выра- |
|||||||||||||||||
|
N=1 |
|
|
N=2 n ln |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(2Nn!)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
абсолютнойхдлядимостьn = 326ðÿäà. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
nN |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!e |
|
|
||
обИсследовать а) Теорема 57. |
абсолютнуюхдимостих димостьрядаNðÿäà:. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N=1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
∞ n(0, 9)N sin n; |
|
∞ (−1) |
N(N−1) |
|
||||||||||||
|
á) |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
||
З58. Тчеорема. а)ИсследоватьЛейбницасходимостьдля знакряда:n + √ |
n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
N=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда.очередующегося |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
N=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
(−1)N ln n ; |
á) |
∞ (−1)N2 + 1 . |
|
|
|||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
N=2 |
|
|
|
|
|
N=2 |
|
|
|
|
|
|
|
6