Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

Теоретические уровни у^ определяются с использованием так называемой адекватной математической функции, которая наи­ лучшим образом отображает основную тенденцию временного ряда. Подбор адекватной функции осуществляется методом наи­ меньших квадратов (см. подразд. 14.1), при котором минимизиру­ ется сумма квадратов отклонений между эмпирическими у^ и тео­ ретическими У; уровнями ряда:

Для оценки точности трендовой модели используют коэффи­ циент детерминации

Трендовая модель адекватна изучаемому процессу и отражает тенденцию его развития во времени при значениях Р^, близких к L Важнейшей проблемой, требующей своего решения при при­ менении метода аналитического выравнивания, является подбор математической функции, по которой рассчитываются теорети­ ческие уровни ряда. Если выбранный тип математической функ­ ции адекватен основной тенденции развития изучаемого процес­ са, то синтезированная трендовая модель может иметь полезное применение при изучении сезонных колебаний, прогнозирова­

нии и др.

Для обоснованного применения метода аналитического вы­ равнивания в анализе временных рядов важно понимание сущно-

320

сти развития социально-экономических явлений во времени, зна­ ние их отличительных признаков.

В практике статистического изучения временных рядов разли­ чают следующие основные типы развития явлений во времени:

1) равномерное развитие — развитие с постоянным абсолют­ ным приростом уровней временного ряда. Основная тенденция развития описывается линейным типом тренда:

у^а^ + a^t,

где aQ — постоянная составляющая;

а^ — коэффициент, характеризующий скорость (темп) развития изучаемого процесса и направление его развития (при а^ > О уровни динамики равномерно возрастают, при Cj < О — рав­ номерно снижаются).

2) равноускоренное (равнозамедленное) развитие — развитие при постоянном увеличении (замедлении) темпа прироста уровней временного ряда. Основная тенденция развития описывается по­ линомом второй степени:

i^ = Go + ^1^ + ^2^,

где ^2 ^ коэффициент, характеризующий постоянное изменение скорости (темпа) развития (при аз > О происходит ускорение развития, при а2<0 — замедление развития);

3) развитие с переменным ускорением (замедлением) — развитие при переменном увеличении (замедлении) темпа прироста уров­ ней временного ряда. Основная тенденция описывается полино­ мом третьей степени:

где аз — коэффициент, характеризующий изменение ускорения раз­ вития (при аз > О ускорение возрастает, при аз < О — замед­ ляется);

4) развитие с замедлением роста в конце периода — развитие, при котором прирост в конечных уровнях временного ряда стре-

321

мится к нулю. Основная тенденция описывается логарифмичес­ кой функцией

р= До + ^iln/;

5)развитие по экспоненте — развитие, характеризующееся ста­ бильным темпом роста (снижения). Основная тенденция описы­ вается показательной (в частном случае экспоненциальной) функцией

где а^ — коэффициент, характеризующий интенсивность развития.

6) развитие по степенной функции — развитие с постоянным от­ носительным приростом уровней временного ряда. Основная тенденция развития описывается степенной функцией

y^a^fK

Отметим, что пользоваться трендовыми моделями для кратко­ срочных и среднесрочных прогнозов следует только при выполне­ нии следующих условий:

•период времени, за который изучается прогнозируемый про­ цесс, должен бытьдостаточным для выявления закономерностей;

•трендовая модель в анализируемый период должна разви­ ваться эволюционно;

•процесс, описываемый временным рядом, должен обладать определенной инерционностью, т. е. дая наступления большого изменения в поведении процесса необходимо значительное время;

•автокорреляционная функция временного ряда и его оста­ точного ряда должна быть быстро затухающей, т. е. влияние более поздней информации должно сильнее отражаться на прогнозиру­ емой оценке, чем влияние более ранней информации.

16.2.

Справочная информация по технологии работы

В Microsoft Excel трендовые модели строятся на основе диафамм, представляющих уровни динамики. Для эмпирического

322

временного ряда может быть построена диаграмма одного из сле­ дующих типов: гистофамма; линейчатая диафамма; фафик; то­ чечная диафамма; диафамма с областями.

Ч^ормат линии тренда

Вид; Inn I Пар< lanetptot

f^ttio^we s\m^ Tp^fit^riJCfKcH^

"^Эftn(йё«lи^ra:^^AQ • б Ш Ш э ^ е е среднее '-

1

•ОК..: Отненд

Рис. 16.1

Для построения линии тренда необходимо вьщелить времен­ ной ряд и выбрать в контекстном меню (вызывается щелчком правой клавиши мыши) команду Добавить линию тренда. Будет вызвано диалоговое окно Линия тренда, содержащее вкладку Тип (рис. 16.1), на которой задается тип тренда;

1)линейный;

2)логарифмический;

3)полиномиальный (от 2-й до 6-й степени включительно);

4)степенной;

5)экспоненциальный,

6)скользящее среднее (с указанием периода сглаживания от 2 до 15).

323

Формат линии тренда

|gfi^5eaHw аппроксимирующей (сглаженная кр^твой

|й--'-

f гПрогноэ-

ег^редна: ]

>ЗралАЩ:>:К

11^, прресечениб:|^им^: с осьюYs точке: i:f" гкжазья5йть ^абнение НА mi^im^

> не ди«т5амну вели'чи!^ достоаермости «пгроко«вц|«1fR^2V

.Отмена

Рис. 16.2

Вкладка Параметры (рис. 16.2) предназначена для задания па­ раметров тренда:

1. Имя тренда - имя линии тренда, располагается в легенде диафаммы; возможны следующие варианты задания имени тренда:

•автоматическое — Microsoft Excel именует линию тренда, ос­ новываясь на выбранном типе тренда и ряде динамики, с которым она ассоциирована, например, Линейный (Ряд 1);

•другое — вводится уникальное имя тренда, максимальная длина составляет 256 символов.

2.Прогноз вперед на — количество периодов, на которое линия тренда проектируется в будущее, т. е. в направлении от оси 7(поле не доступно в режиме скользящего среднего).

3.Прогноз назад на — количество периодов, на которое линия тренда проектируется в прошлое, т. е. в направлении к оси К (по­ ле не доступно в режиме скользящего среднего).

324

4.Пересечение кривой с осью Ye точке - точка, в которой линия тренда пересекает ось У (поле не доступно в режиме скользящего среднего).

5.Показывать уравнение на диаграмме — на диаграмме будет показано уравнение линии тренда.

6.Поместить на диаграмму величину достоверности аппрокси­ мации (R^2) — на диаграмме будет показано значение коэффици­ ента детерминации.

Наряду с линией тренда на графике временного ряда могут быть также изображены планки погрешностей.

Планки погрешностей используются во многих инженерных и статистических задачах для того, чтобы показать возможную по­ грешность значений эмпирического ряда (диапазон отклонений «плюс-минус» или в одну из сторон). В диаграммах планка погреш­ ности изображается относительно значений эмпирического ряда.

Дополнить планками погрешностей ряды данных можно толь­ ко для гистограмм, линейчатых диаграмм, графиков, диаграмм с областями и точечных диаграмм. 7-планки погрешностей отобра­ жаются вдоль оси значений 7 (точечные диафаммы могут выво­ дить также Х-планки пофешностей вдоль оси Л).

При изменении значений элементов ряда данных автоматиче­ ски вычисляются новые величины пофешностей и соответствую­ щим образом изменяются их планки.

Для вставки планок пофешностей следует выделить ряд дан­ ных и в контекстном меню выбрать команду Формат радов дан­ ных. Будет вызвано диалоговое окно Формат рада данных, содер­ жащее вкладку Y-погрешности (рис. 16.3), которая обеспечивает выбор типа планок и варианта их расчета в зависимости от вида пофешности:

•фиксированное значение - за величину ошибки принимается заданное постоянное значение пофешностей;

•относительное значение — для каждой точки данных вычис­ ляется отклонение на заданный процент;

•стандартное отклонение — вычисляется стандартное откло­ нение, которое затем умножается на заданное число (коэффици­ ент кратности);

•стандартная погрешность — постоянная для всех элементов данных величина ошибки;

•пользовательская - вводится произвольный массив значений отклонений в положительную и/или отрицательную сторону (можно ввести ссылки на блок ячеек).

325

Планки погрешности можно также форматировать. Для этого их следует вьщелить и выполнить команду контекстного меню

Формат полос погрешностей.

Пример 16.1. Требуется по данным о розничном товарообороте региона (табл. 16Л) построить трендовую модель товарооборота [8].

Разнохарактерность изменений темпов роста (104,0 > 101,1 < < 107,7 > 102,7) и значительная колеблемость цепных абсолютных приростов (от 0,19 до 1,33) затрудняют определение типа динами­ ки объема розничного товарооборота.

Для решения поставленной задачи, прежде всего в порядке первого приближения, намечаются типы функций, которые могут отобразить имеющиеся во временном ряду изменения. В помощь

326

1985 1986 1987 1988 1989

Год

Рис. 16.4

этому исходные данные, приведенные в табл. 16.1, изображаются графически с помощью мастера диафамм (рис. 16.4).

327

По характеру размещения уровней анализируемого времен­ ного ряда можно сделать предположение о возможном аналити­ ческом выравнивании изучаемого ряда типовой математической функцией. Это может быть и линейная функция, и показатель­ ная, и полином 2-го порядка, и ряд других функций. Разноха­ рактерность темпов роста и значительная колеблемость цепных абсолютных приростов наталкивают на мысль, что развитие изу­ чаемого процесса происходит с переменным ускорением, т. е. его основная тенденция описывается полиномом 3-го порядка:

Однако данная гипотеза требует количественного подтвержде­ ния, для чего необходимо осуществить перебор решений по наме­ ченным типам математических функций.

Для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда ис­ пользуем инструмент «Подбор линии тренда» из мастера диаграмм Microsoft Excel. Результаты подбора уравнения приведены в табл. 16.2, а график наиболее подходящей линии тренда — на рис. 16.5.

Примечание. При подборе уравнения не рассматривались полиномы вы­ ше 3-го порядка.

Принимая во внимание физическую сущность изучаемого процесса и результаты проведенного аналитического выравнива­ ния (см, табл. 16.2), в качестве математической модели тренда вы­ бираем полином 3-го порядка.

328

19.5 т

Рис. 16.5

ГЛАВА 17 Анализ Фурье

17.1.

Краткие сведения из теории статистики

Как упоминалось в главе 16, при анализе экономических вре­ менных рядов наиболее часто в качестве трендовых моделей ис­ пользуются полиномы различных степеней, экспоненты, логис­ тические кривые, кривые Гомперца и ряд других функций. Тем не менее моделирование временных рядов с помощью перечислен­ ных функций не всегда дает удовлетворительные результаты, так как во временных рядах содержатся заметные периодические ко­ лебания вокруг общей тенденции или наблюдается автокорреля-

329