Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

РАЗДЕЛ IV

Статистические методы изучения взаимосвязей явлений и процессов

ГЛАВА 13 Ковариация и корреляция

13.1.

Краткие сведения из теории статистики

В экономических исследованиях одной из важных задач явля­ ется анализ зависимостей между изучаемыми переменными. За­ висимость между переменными может быть либо функциональной,

либо стохастической {вероятностной). Для оценки тесноты и на­ правления связи между изучаемыми переменными при их стохас­ тической зависимости пользуются показателями ковариации и

корреляции.

Ковариацией cov(x, у) случайных величин ^ и У называют сред­ нее произведений отклонений каждой пары значений величин Xw KB исследуемых массивах данных:

1 Д

cov(x,y) = (x, -х)(у, -у)==-1(х, -х)(у^ -у).

л 1=1

Ковариация есть характеристика системы случайных величин, описывающая помимо рассеивания величин А" и К еще и линей­ ную связь между ними. Доказано [ 1 ], что для независимых случай­ ных величин Jf и К их ковариация равна нулю, а для зависимых случайных величин она отличается от нуля (хотя и не обязатель­ но). Поэтому ненулевое значение ковариации означает зависи­ мость случайных величин. Однако обращение в нуль ковариации не гарантирует независимости, бывают зависимые случайные ве-

250

личины, ковариация которых равна нулю. Из формулы определе­ ния ковариации видно, что ковариация характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин >¥или Умало отличается от своего ма­ тематического ожидания (почти не случайна), то показатель кова­ риации будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связа­ ны величины Хи У. Так что обращение в нуль ковариации вели­ чин Zn Кявляется не достаточным условием для их независимос­ ти, а только необходимым.

Использование ковариации в качестве меры связи признаков не совсем удобно, так как показатель ковариации не нормирован и при переходе к другим единицам измерения (например, от мет­ ров к километрам) меняет значение. Поэтому в статистическом анализе показатель ковариации сам по себе используется редко; он фигурирует обычно как промежуточный элемент расчета ли­ нейного коэффициента корреляции г^:

соу/(х,у)

^ху

a^Gy

В 1889 г. Ф. Голтон* высказал мысль о коэффициенте, который мог бы измерить тесноту связи между двумя коррелируемыми признаками. В начале 90-х гг. ХЕХ в. Пирсон, Эджворт и Велдон получили формулу линейного коэффициента корреляции

^ху

Линейный коэффициент корреляции характеризует степень тес­ ноты не всякой, а только линейной зависимости. При нелиней-

*(Galton Francis) Голтон Фрэнсис (1822-1911) - английский психолог и антрополог. В математике Голтон разработал методы статистической обра­ ботки результатов исследований (в частности, метод исчисления корреляций между переменными); ввел коэффициент корреляции; создал так называе­ мую биометрическую школу.

251

ной зависимости между явлениями линейный коэффициент кор­ реляции теряет смысл, и для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение, известное также под названием «индекс корреляции» [9, 12].

Линейная вероятностная зависимость случайных величин за­ ключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выраженной, т. е. более или менее приближаться к функциональной. Если случайные величины Jfи /связаны точ­

вольной вероятностной зависимостью, линейный коэффициент корреляции принимает значение в пределах-1 < г^ < 1, тогда ка­ чественная оценка тесноты связи величин X^л. Уможет быть выяв­ лена на основе шкалы Чеддока (табл. 13.1).

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул расчета линейного коэффициента корре­ ляции:

(13.1)

ПЧ^Оу

252

Приведенные формулы в определенных случаях имеют неко­ торые преимущества друг перед другом. Например, при неболь­ ших значениях п{п< 30) обычно употребляются формулы (13.2) и (13.3).

Необходимо обратить внимание, что формулы (13.1) - (13.3) справедливы для нахождения генерального коэффициента корре­ ляции. Чтобы рассчитать выборочный коэффициент корреляции, необходимо в этих формулах генеральные средние заменить на выборочные средние, а генеральные стандартные отклонения - на выборочные стандартные отклонения.

13.2.

Справочная информация по технологии работы

Режим работы «Ковариация» служит для расчета генеральной ковариации на основе выборочных данных.

Режим работы «Корреляция» предназначен для расчета гене­ рального и выборочного коэффициентов корреляции соответствен­ но на основе генеральных и выборочных данных.

В диалоговых окнах данных режимов (рис. 13.1 и 13.2) зада­ ются параметры, аналогичные параметрам, задаваемым в диало­ говом окне Ранг и персентиль {см. рис. 5.1).

Пример 13,1. Показатели уровня образования, уровня пре­ ступности, а также отношение числа безработных к числу вакан­ сий в некоторых центральных областях России в 1995 г. (по дан­ ным Госкомстата РФ) приведены в табл. 13.2, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel.

253

2S4

По выборочным данным, представленным в табл. 13.2, требу­ ется установить наличие взаимосвязи между указанными показа­ телями в центральном регионе России.

вакансий

Примечания: 1. Уровень образования рассчитывался как численность лиц

свысшим и средним специальным образованием на 1000 жителей области.

2.Уровень преступности рассчитывался как число совершенных пре­ ступлений на 100 тыс. жителей области.

255

Для решения задачи используем режимы работы «Ковариация» и «Корреляция». Значения параметров, установленных в од­ ноименных диалоговых окнах, представлены на рис. 13.3 и 13.4, а рассчитанные в данных режимах показатели - в табл. 13.3 и 13.4.

256

Корреляция

гП^аметры а?1Вода—

РВьтодной интервал Нсжый рабо^1и лист:

Нс»ая р^очая книга

1^ЖЖ^^Ж^>1М^^:

Рис. 13.4

Таблица 13.4

щщ^^fc:^,;^. •i:.<^J,:M '^^^^^ШшшшШ

257

Как видно из табл. 13.3 и 13.4, между парами всех исследуе­ мых показателей существуют стохастические связи. Причем ха­ рактер всех выявленных связей различен и состоит в следующем:

•связь «уровень образования» — «отношение числа безработ­ ных к числу вакансий» является слабой и обратной (г^у = -0,26),

т.е. с повышением уровня образования отношение числа безра­ ботных к числу вакансий уменьшается;

•связь «уровень образования» — «уровень преступности» является заметной и обратной (г^у — -0,66), т. е. с повышением уровня образования уровень преступности уменьшается;

•связь «отношение числа безработных к числу вакансий» - «уровень преступности» является слабой и прямой (г^^ = 0,24),

т.е. с увеличением отношения числа безработных к числу ва­ кансий увеличивается и уровень преступности.

13.3.

Статистические функции, связанные с режимами «Ковариация» и

«Корреляция»

Функция КОВАР

См. также КОРРЕЛ, ФИШЕР, ФИШЕРОБР

Синтаксис:

КОВАР (массив!; массив2)

Результат:

Рассчитывает значение ковариации, между двумя массивами данных.

уфгументы:

•массив!: первый массив данных;

•массив2\ второй массив данных.

Замечания:

•аргументы должны быть числами или массивами, содержа­ щими числа;

•если аргумент, который является массивом, содержит текс­ товые, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются, однако ячейки с нулевыми значениями учитыва­ ются;

258

•если аргументы массив! и массив2 имеют различное количе­ ство точек данных, то функция КОВАР помещает в ячейку значе­ ние ошибки #Н/Д;

•если аргумент Afflccwe 7 либо Afflccwe2 пуст, то функция КОВАР помещает в ячейку значение ошибки #ДЕЛ/0!.

Математико-статистическая интерпретация:

См, подразд. 13Л.

Примечание. В отличие от режима «Коварнация» функция КОВАР рас­ считывает значение ковариации в предположении, что массивы данных об­ разуют генеральные совокупности.

• В примере 13.1 {см, табл. 13.3) функция КОВАР совместно с функцией СЧЕТ используется для расчета показателей ковариации. Например, значение в ячейке С22 рассчитывается по формуле

=КОВАР(С5:С18;С5:С18)*СЧЕТ(С5:С18)/(СЧЕТ(С5:С18)-1),

а значение в ячейке С23 — по формуле

=KOBAP(C5:C18;D5:D18)*C4ET(C5:C18)/(C4ET(C5:C18)-l).

Функция КОРРЕЛ

См. также ПИРСОН, КОВАР, ФИШЕР, ФИШЕРОБР

Синтаксис:

КОРРЕЛ (массив 1; массив2)

Результат:

Рассчитывает линейный коэффициент корреляции между массивами данных.

Аргументы:

•массив!: первый массив данных;

•массив!: второй массив данных.

Замечания:

•аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа;

•если аргумент, который является массивом, содержит текс­ товые, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми значениями учитыва­ ются;

259