Динамика вращательного движения

ФОРМУЛЫ

Равномерное движение по окружности:

; ; ;

; ; S=φR;

;

_;

,

здесь ν – частота (количество оборотов за 1 секунду), N – количество оборотов, t – время вращения, T – период обращения (время одного полного оборота), υ – скорость движения по окружности, R – радиус окружности, ω – циклическая частота или угловая скорость вращения, φ – угол поворота, a_τ – тангенциальное ускорение; a_цс (a_n) – центростремительное ускорение или нормальное ускорение, ε – угловое ускорение.

Кинематическое уравнение равномерного вращения (ω=const):

,

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const):

,

здесь φ₀ – начальное угловое перемещение, ω₀ – начальная угловая скорость.

Момент инерции относительно оси вращения материальной точки:

,

здесь m – масса материальной точки, r – расстояние от оси вращения до материальной точки;

Момент инерции относительно оси вращения системы материальных точек:

,

здесь m_i – масса i-й элементарной точки, r_i – расстояние от материальной точки до оси вращения;

Момент инерции относительно оси вращения твердого тела:

,

здесь ρ – плотность тела;

Момент инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Однородный тонкий стержень массой m и длиной ℓ, ось проходит перпендикулярно стержню через центр стержня, через его край, соответственно:

Тонкое кольцо, обруч, труба массой m и радиусом R, ось проходит перпендикулярно плоскости тела через центр:

,

Круглый однородный диск массой m и радиусом R, ось проходит перпендикулярно плоскости диска через центр:

,

Однородный шар массой m и радиусом R, ось проходит через центр шара:

,

Однородная сфера массой m и радиусом R, ось проходит через центр сферы:

;

Для плоских фигур:

,

здесь Iz – момент инерции плоской фигуры относительно оси Oz, перпендикулярной плоскости; Ix и Iy – момент инерции той же фигуры относительно осей Ox и Oy, лежащих в плоскости;

Теорема Штейнера:

,

здесь I – момент инерции тела относительно произвольной оси, I₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси, ℓ – расстояние между осями, m – масса тела;

Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения:

,

здесь r – радиусвектор, направленный от оси вращения к точке приложения силы F, ℓ – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, α – угол между радиусвектором и силой;

Момент импульса вращающегося тела относительно оси:

;

Закон сохранения момента импульса

;

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

;

Работа момента силы, действующего на вращающееся тело:

,

здесь φ – угол поворота тела;

Кинетическая энергия вращающегося тела:

,

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости:

.

01.03.01. Момент инерции.

Уровень 1.

Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см. Полученный ответ умножьте на 1000. [12]

Два маленьких шарика массой m=10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной ℓ=20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс. Полученный ответ умножьте на 10⁴. [2]

Д ва шара массами m и 2m (m=10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной ℓ=40 см так, как это указано на рис. 3.7а, б. Определить моменты инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь. Полученный ответ умножьте на 10⁴. [36] [24]

Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ=30 см и массой m=100 г Относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) (2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Полученный ответ умножьте на 10⁵.

[300]

[75]

[100]

Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R=20 см и массой m=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. Полученный ответ умножьте на 1000, и округлите до целого значения. [2]

Найти момент инерции J плоской однородной прямоугольной пластины массой m=600 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина a другой стороны равна 40 см. Полученный ответ умножьте на 1000. [32]

Уровень 2.

Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ=30 см и массой m=100 г Относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Полученный ответ умножьте на 10⁵. [100]

Три маленьких шарика массой m=10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a=20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь. Полученный ответ умножьте на 10⁴. [4] [2]

Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на a=20 см от одного из его концов. Полученный ответ умножьте на 1000. [4]

Д ва однородных тонких стержня: АВ длиной ℓ₁=40 см и массой m₁=900 г и CD длиной ℓ₂=30 см и массой m₂=400 г скреплены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси OOʹ, проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD. Полученный ответ умножьте на 1000. [112]

Определить момент инерции J кольца массой m=200 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу. Полученный ответ умножьте на 1000. [3]

Диаметр диска d=20 см, масса m=800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Полученный ответ умножьте на 1000. [6]

Определить момент инерции J тонной плоской пластины со сторонами a=10 см и b=20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью σ=1,2 кг/м². Полученный ответ умножьте на 1000. [200]

Уровень 3.

Д ва однородных тонких стержня: АВ длиной ℓ₁=40 см и массой m₁=900 г и CD длиной ℓ₂=30 см и массой m₂=400 г скреплены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси OOʹ, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости чертежа. Полученный ответ умножьте на 1000. [115]

(3) 1. Момент инерции.

О пределить моменты инерции J_x, J_y, J_z трехатомных молекул типа AB₂ относительно осей x, у, z (рис. 3.8), проходящих через центр инерции C молекулы (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние AB обозначено d, валентный угол α. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) Н₂О (d=0,097 нм, α=104º30'); 2) SO₂ (d=0,145 нм, α=124º). m(O)=26,552·10^-27 кг, m(H)=1,673·10^-27 кг, m(S)=53,220·10^-27 кг. Полученный ответ умножьте на 10⁵⁰, и округлите до целого значения.

1) (3) [1048] [1047]

(2) [1968] [1969]

(4) [3016] [3017]

2) (3) [12081] [12080]

(2) [83765] [83764]

(4) [95844] [95845]

Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами a=12 см и b=16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью τ=0,1 кг/м. Полученный ответ умножьте на 10⁶. [144]

О пределить момент инерции J проволочного равностороннего треугольника со стороной a=10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3. 10б). Масса m треугольника равна 12 г и равномерно распределена по длине, проволоки. Полученный ответ умножьте на 10⁵. [5] [2]

Н а концах тонкого однородного стержня длиной ℓ и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определить момент инерции J такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку O, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев x=0(2), ℓ/3, ℓ/2, 2ℓ/3, ℓ (см. рис. 3.11). При расчетах принять ℓ=1 м, m=3 кг. Шарики рассматривать как материальные точки. [9] [4] [3] [3] [6]

В однородном диске массой m=18 кг и радиусом r=30 см вырезано круглое, отверстие диаметром d=20 см, центр которого находится на расстоянии ℓ=15 см от оси диска (рис. 3.12). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр. Полученный ответ умножьте на 1000. [755]

Уровень 4.

Уровень 5. Интегрирование.