01.06. Механические колебания.

01.06.01. Кинематика гармонических колебаний

Уровень 1.

Уравнение колебаний точки имеет вид x=Acos(ω(t + τ)), где ω=π с^–1, τ=0,2 с. Определить период T и начальную фазу φ (в градусах) колебаний.

[2]

[36]

Определить период T, частоту ν и начальную фазу φ (в градусах) колебаний, заданных уравнением x=Asin(ω(t + τ)), где ω=2,5π с^–1, τ=0,4с.

Полученный ответ умножьте на 1000. [800]

Полученный ответ умножьте на 100. [125]

[180]

Точка совершает колебания по закону x=Acos(ωt + φ), где A=4 см. Определить начальную фазу φ (в градусах), если: l) x(0)=2 см и dx(0)/dt < 0; 2) x(0)=–2√2 см и dx(0)/dt < 0; 3) x(0)=2 см и dx(0)/dt > 0; 4) x(0)=–2√3 см и dx(0)/dt > 0. Построить векторную диаграмму для момента t=0. [60]

[135]

[300]

[210]

Точка совершает колебания по закону x=Asin(ωt + φ), где A=4 см. Определить начальную фазу φ (в градусах), если: l) x(0)=2 см и dx(0)/dt < 0; 2) x(0)=2√3 см и dx(0)/dt > 0; 3) x(0)=–2√2 см и dx(0)/dt < 0; 4) x(0)=–2√3 см и dx(0)/dt > 0. Построить векторную диаграмму для момента t=0.

[150]

[60]

[225]

[300]

Определить максимальные значения скорости (dx/dt)_max и ускорения (dx²/d²t)_max точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A=3 см и циклической частотой ω=π/2 с^–1. π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10 и округлите до целого значения.

[47] [48]

[74] [73]

Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение x_max точки равно 10 см, наибольшая скорость (dx/dt)_max=20 см/с. Найти циклическую частоту ω колебаний и максимальное ускорение (dx²/d²t)_max точки (в см/с²).

[2]

[40]

Максимальная скорость (dx/dt)_max точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение (dx²/d²t)_max=100 см/с². Найти угловую частоту ω колебаний, и амплитуду A (в см).

[10]

[1]

Уровень 2.

Колебания точки происходят по закону x=Acos(ωt + φ). В некоторый момент времени смещение x точки равно 5 см, ее скорость dx/dt=20 см/с и ускорение dx²/d²t=–80 см/с². Найти период колебаний T (π=3,14, ответ умножьте на 100). [157]

Уровень 3.

Точка совершает колебания по закону x=Acos(ωt), A=3 см, ω=2 с^–1. Определить ускорение |dx²/d²t| точки в момент времени, когда ее скорость dx/dt=8 см/с. Ответ запишите в см. [12]

Точка совершает колебания по закону x=Asin(ωt). В некоторый момент времени смещение x₁ точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение x₂ стало равным 8 см. Найти амплитуду A колебаний. Полученный ответ запишите в мм и округлите до целого значения. [83] [84]

Колебания точки происходят по закону x=Acos(ωt + φ). В некоторый момент времени смещение x точки равно 5 см, ее скорость dx/dt=20 см/с и ускорение dx²/d²t=–80 см/с². Найти амплитуду A (√2=1,4, ответ запишите в см) [7] и фазу (ωt + φ) (в градусах) в рассматриваемый момент времени [45].

Максимальная скорость (dx/dt)_max точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение (dx²/d²t)_max=100 см/с². Найти период T (π=3,14, полученный ответ умножьте на 10³) [628].

Уровень 4.

Колебания точки происходят по закону x=Acos(ωt + φ). В некоторый момент времени смещение x точки равно 5 см, ее скорость dx/dt=20 см/с и ускорение dx²/d²t=–80 см/с². Найти угловую частоту ω в рассматриваемый момент времени. [2]

01.06.02. Сложение колебаний

Уровень 1.

Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A₁=10 см и A₂=6 см складываются в одно колебание с амплитудой A=14 см. Найти разность фаз Δφ складываемых колебаний (в градусах). [60]

Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз Δφ складываемых колебаний(в градусах). [120] [240]

Уровень 2.

Определить амплитуду A (√2=1,4, в мм) и начальную фазу φ (в градусах) результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления и периода x₁=A₁sin(ωt), и x₂=A₂sin(ω(t + τ)), где A₁=A₂ =1 см; ω=π с^–1, τ=0,5 с.

[14]

[45]

Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: x₁=A₁sin(ωt), и x₂=A₂cos(ωt), где A₁=1 см; A₂=2 см; ω=1 с^–1. Определить амплитуду A (√5=2,2, в мм) результирующего колебания и начальную фазу φ (в градусах, ответ округлите до целого значения). Найти уравнение этого движения.

[22]

[27] [26]

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T₁=T₂=1,5 с и амплитудами A₁=A₂=2 см. Начальные фазы колебаний φ₁=π/2 и φ₂=π/3. Определить амплитуду A (в мм, ответ округлите до целого значения) и начальную фазу φ (в градусах) результирующего колебания.

[39] [38]

[75]

Два камертона звучат одновременно. Частоты ν₁ и ν₂ их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период T биений. [2]

01.06.03. Динамика гармонических колебаний. Маятники.

Уровень 1.

Материальная точка массой m=100 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид x=Acos(ωt), где A=10 см, ω=5 с^–1. Найти силу F (в мН), действующую на точку, в двух случаях: l) в момент, когда фаза ωt=π/3, 2) в положении наибольшего смещения точки. [125] [250]

Колебания материальной точки массой m=0,1 г происходят согласно уравнению x=Acos(ωt), где A=5 см; ω=20 с^–1. Определить максимальные значения возвращающей силы F_max (в мН) и кинетической энергии T_max (в мкДж). [2] [50]

Найти возвращающую силу F (в мкН) момент t =1 с и полную энергию E (в мкДж) материальной точки, совершающей колебания по закону x=Acos(ωt), где A=20 см; ω=2π/3 с^–1. Масса m материальной точки равна 10 г. π=3,14. Полученный ответ округлите до целого значения.

[4382] [4383]

[876] [877]

Грузик массой m=250 г, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с периодом T=1 с. Определить жесткость k пружины. Полученный ответ округлите до целого значения. [10] [9]

Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A=4 см. Определить полную энергию E колебаний гири, если жесткость k пружины равна 5 кН/м. [4]

Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5. Полученный ответ умножьте на 100. [225]

Уровень 2.

К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на x=9 см. Каков будет период T (в мс) колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить? π=3,14, g=9,8 м/с². Полученный ответ округлите до целого значения. [602] [601]

Математический маятник длиной ℓ=2 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a=2,5 м/с². Определить период T (в мс) колебаний маятника. π=3,14, g=10 м/с². [2512]

Уровень 3.

Колебания материальной точки происходят согласно уравнению x=Acos(ωt), где A=8 см, ω=π/6 с^–1. В момент, когда возвращающая сила F в первый раз достигла значения –5 мН, потенциальная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу ωt (в градусах). [2] [60]

С истема из трех грузов, соединенных стержнями длиной ℓ=30 см (рис. 6.6), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период T колебаний системы (в мс, ответ округлите до целого значения). Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки. π=3,14, g=9,8 м/с². [1903] [1904]

Однородный диск радиусом R=30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период T (в мс, ответ округлите до целого значения) его колебаний? π=3,14, g=9,8 м/с². [1346] [1345]

Уровень 4.

На концах тонкого стержня длиной ℓ=30 см укреплены одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d=10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину L (в см) и период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь. π=3,14, g=9,8 м/с². [50]

[1419] [1418]

На стержне длиной ℓ=30 см укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузином колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L (в см) и период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь. π=3,14, g=9,8 м/с². [25]

[1003] [1004]

Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний обруча. π=3,14, g=9,8 м/с². [1554] [1553]

Диск радиусом R=24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L (в см) и период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний такого маятника. π=3,14, g=9,8 м/с². [36]

[1204] [1203]

И з тонкого однородного диска радиусом R=20 см вырезана часть, имеющая вид круга радиусом R=10 см, так, как это показано на рис. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси O, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний такого маятника. π=3,14, g=9,8 м/с². [1137] [1138]

Математический маятник длиной ℓ₁=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной ℓ₂=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a (в см) от центра масс стержня до оси колебаний. В ответе запишите оба варианта подряд без пробелов и знаков препинания (например, 4060 или 6040). [1030] [3010]

Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной ℓ=120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние a от центра масс стержня. При каком значении a период T колебаний имеет наименьшее значение? Ответ запишите в мм и округлите до целого значения. [346] [347]

(4) 3. Дин. гарм. к. Маятники.

Ф изический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленным на нем маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить период T гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 6.8. Длина ℓ стержня равна 1 м. Шарик рассматривать как материальную точку. π=3,14, g=9,8 м/с². Ответ запишите в мс и округлите до целого значения. [1891] [1892]

[1638] [1637]

[1337] [1338]

[ 1532] [1533]

Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами m и 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить частоту ν гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 6.9. Длина ℓ стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки. π=3,14, g=9,8 м/с². Ответ запишите в мс и округлите до целого значения. [386] [387]

[537] [538]

[653] [652]

[582] [583]

Тело массой m=4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом T₁=0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, период T₂ колебаний стал равными 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции I тела относительно оси колебаний. Ответ умножьте на 1000. [64]

Ареометр массой m=50 г, имеющий трубку диаметром d=1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период T (в мс) этих колебаний. π=3,14, g=9,8 м/с², плотность воды ρ=1000 кг/м³. Ответ округлите до целого значения. [1601] [1602]

В открытую с обоих концов U-образную трубку с площадью поперечного сечения S=0,4 см² быстро вливают ртуть массой m=200 г. Определить период T (в мс) колебаний ртути в трубке. π=3,14, g=9,8 м/с², плотность ртути ρ=13600 кг/м³. Ответ округлите до целого значения. [860] [861]

Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находится лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период T колебаний бревна равен 5 с. Определить длину ℓ (в мм) бревна. π=3,14, g=9,8 м/с², плотность воды ρ=1000 кг/м³. Ответ округлите до целого значения. [6212] [6213]

01.06.04. Затухающие колебания

Уровень 1.

Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз? Ответ запишите в минутах. [15]

Логарифмический декремент колебаний d маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза. ln2=0,693. [231]

Гиря массой m=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k=20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания d=0,004. Определить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n=2 раза. Полученный ответ округлите до целого значения. [173] [174]

Т ело массой m=1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=0,05 кг/с. С помощью двух одинаковых пружин жесткостью k=50 Н/м каждая тело удерживается в положении равновесия, пружины при этом не деформированы (рис. 6.10). Тело сместили от положения равновесия и отпустили. Определить: 1) коэффициент затухания β; 2) частоту собственных колебаний ν₀. π=3,14.

Полученный ответ умножьте на 1000. [25]

Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [1592] [1593]

Уровень 2.

За время t=8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания β. Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [23] [22]

Найти число N полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в n=2 раза. Логарифмический декремент затухания d=0,01. Полученный ответ округлите до целого значения. [35] [36]

Уровень 3.

Амплитуда колебаний маятника длиной ℓ=1 м за время t=10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания d. π=3,14, g=9,8 м/с². Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [23] [24]

Определить период T затухающих колебаний, если период T₀ собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент затухания d=0,628. π=3,14. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [1005] [1006]

Гиря массой m=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k=20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания d=0,004. За какое время t (в с) произойдет уменьшение амплитуды колебаний в n=2 раза? Полученный ответ округлите до целого значения. π=3,14, ln2=0,693. [172] [173]

Уровень 4.

Тело массой m=5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t=50 с тело потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления. Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения. [92] [91]

( 4) 4. Затухающие кол.

Тело массой m=1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=0,05 кг/с. С помощью двух одинаковых пружин жесткостью k=50 Н/м каждая тело удерживается в положении равновесия, пружины при этом не деформированы (рис. 6.10). Тело сместили от положения равновесия и отпустили. Определить: логарифмический декремент затухания d; число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз. π=3,14.

Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [157] [158]

Полученный ответ округлите до целого значения. [64] [63]

01.06.05. Вынужденные колебания. Резонанс

Уровень 2.

Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν₀=1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания β=400 с^–1. π=3,14. Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [407] [406] [405]

Уровень 3.

Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h=1 мм. При какой частоте вращения n якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса? π=3,14, g=9,8 м/с². Полученный ответ округлите до целого значения. [16] [17]

Вагон массой m=80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости ʋ вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина ℓ рельса равна 12,8 м? π=3,14. Полученный ответ округлите до целого значения. [10] [11]

Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν₀ собственных колебаний, если резонансная частота ν_рез=998 Гц. Полученный ответ округлите до целого значения. [1002] [1001]

Определить логарифмический декремент затухания d колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты ν₀=10 кГц на Δν=2 Гц. π=3,14. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [89] [88]

Период T₀ собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период T того же маятника стал равным 0,56 с. Определить резонансную частоту ν_рез колебаний. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [1753] [1752]

Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r=1 г/с. Считая затухание малым, определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда A_рез=0,5 см и частота ν₀ собственных колебаний равна 10 Гц. π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁶. [314]

Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частотах ν₁=400 Гц и ν₂=600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту ν_рез. Затуханием пренебречь. Полученный ответ округлите до целого значения. [510] [509]

Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10%? 2) в два раза? Коэффициент затухания β в обоих случаях принять равным 0,1ω₀ (ω₀ – циклическая частота собственных колебаний). Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [1528] [1529]

[15209] [15208]

Уровень 4.

Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса m груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=0,02 кг/с. Определить резонансную амплитуду A_рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F₀=10 мН. Полученный ответ запишите в мм и округлите до целого значения. [50] [51]

К спиральной пружине жесткостью k=10 Н/м подвесили грузик массой m=10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления r равным 0,1 кг/с, определить: 3) резонансную амплитуду A_рез, (в мм) если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F₀=0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием силы F₀. π=3,14. Полученный ответ округлите до целого значения.

[6] [7]

[3] [4]

Волны в упругой среде. Акустика

ФОРМУЛЫ

Уравнение волны:

,

здесь ℓ – расстояние вдоль луча от источника волны до некоторой точки, t – время, x_max – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота, λ – длина волны, k – волновое число;

Скорость распространения волны:

,

здесь ν – частота волны,

Скорость распространения электромагнитной волны:

,

здесь n – показатель преломления волны в некоторой среде, c=2,99792458∙10⁸ м/с – скорость света в вакууме;

Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми равно Δℓ:

;

Уравнение стоячей волны:

,

здесь x_ст – амплитуда пучности стоячей волны;

Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:

в твердых телах , здесь E – модуль Юнга; ρ – плотность вещества;

в газах , здесь γ – показатель адиабаты (γ=c_p/c_V – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме); R – молярная газовая постоянная; T – термодинамическая температура; M – молярная масса; p – давление газа;

Акустический эффект Доплера:

,

здесь ν – частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом), ν₀ – частота звука, испускаемого источником, c_зв – скорость звука в среде, u_пр – скорость прибора относительно среды, u_ист – скорость источника звука относительно среды;

Средняя объемная плотность энергии звукового поля:

,

здесь ρ – плотность среды; ω – циклическая частота колебаний точек среды; A – амплитуда колебаний;

Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме V:

;

Поток звуковой энергии:

,

здесь W – энергия, переносимая через данную поверхность за время t.

Интенсивность звука (плотность потока энергии звуковой волны):

;

Интенсивность звука связана со средней объемной плотностью энергии звукового поля соотношением:

,

здесь c_зв – скорость звука в среде;

Связь мощности N точечного изотропного источника звука с интенсивностью звука:

,

здесь r – расстояние от источника звука до точки звукового поля, в которой определяется интенсивность.