Гармонические колебания формулы.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

;

здесь m – масса точки, k – коэффициент квазиупругой силы (k=mω₀²);

Уравнение механических гармонических колебаний:

,

здесь x – смещение от положения равновесия или значение колеблющейся величины, x_max – амплитуда колебаний, ω₀ – циклическая собственная частота, t – время, φ₀ – начальная фаза, (ω₀t + φ₀) – фаза колебаний;

Период колебаний:

,

здесь N – число колебаний за время t;

Частота колебаний:

;

Циклическая частота:

,

Скорость и ускорение гармонических колебаний, соответственно:

,

;

Собственная частота и период колебаний математического маятника:

, ,

здесь g – ускорение свободного падения, ℓ – длина подвеса;

Собственная частота и период колебаний физического маятника:

, ,

здесь I – момент инерции физического маятника относительно оси колебаний, a – расстояние от центра масс маятника до оси колебаний;

Собственная частота и период колебаний пружинного маятника:

, ,

здесь k – жёсткость пружины, m – масса тела, прикреплённого к пружине;

Период крутильных колебаний на упругой нити:

,

здесь I – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью, k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается;

Сила, возвращающая тело в положение равновесия в пружинном маятнике:

F_возвр=kx,

здесь k=mω₀²;

Кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия пружинного маятника, соответственно:

, , ;

Амплитуда A результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле:

;

здесь A₁, A₂ – амплитуды составляющих колебаний, φ₁, φ ₂ – их начальные фазы;

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

;

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν₁, ν₂:

ν=ν₁ – ν₂;

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты с амплитудами A₁ и A₂ начальными фазами φ₁ и φ₂:

;

Если начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид:

,

т. е. точка движется по прямой;

В том случае, если разность фаз Δφ=φ ₂ – φ₁=π/2, принимает вид

,

т. е. точка движется по эллипсу;

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

,

здесь m – масса точки, r – коэффициент сопротивления, β – коэффициент затухания, β=r/(2m);

Уравнение механических затухающих колебаний:

,

здесь A₀ – начальная амплитуда, – частота затухающих колебаний;

Время релаксации, логарифмический декремент затухания и добротность, соответственно:

,

здесь N_e – число колебаний, в течении которых амплитуда колебаний уменьшается в «e», E – среднее значение запасенной энергии в системе за некоторый промежуток времени, равный одному периоду колебаний, ΔE –потери энергии системе за тот же промежуток времени;

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

,

здесь F₀cos(ωt) – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания, F₀ – ее амплитудное значение, F₀=F₀/m;

Амплитуда вынужденных колебаний:

,

Резонансная частота и резонансная амплитуда, соответственно:

.