Релятивистская механика формулы

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси y, yʹ и z, zʹ сонаправлены, а относительная скорость ʋ₀ системы координат Kʹ относительно системы K направлена вдоль общей оси xxʹ (рис. 5.1).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня:

,

здесь ℓ₀ – длина стержня в системе координат Kʹ, относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси xʹ; ℓ – длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется со скоростью ʋ; c – скорость распространения электромагнитного излучения;

Релятивистское замедление хода часов:

,

здесь Δt₀ – интервал времени между двумя событиями, происходяobми в одной точке системы Kʹ, измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

Релятивистское сложение скоростей где

,

здесь ʋʹ – относительная скорость (скорость тела относительно системы Kʹ), ʋ₀ – переносная скорость (скорость системы Kʹ относительно K), ʋ – абсолютная скорость (скорость тела относительно системы K).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела (частицы) в системе координат, условно принятой за неподвижную.

Релятивистская масса:

,

здесь m₀ – масса покоя;

Релятивистский импульс:

,

Полная энергия релятивистской частицы:

,

здесь T – кинетическая энергия частицы, m₀c²=E₀ – ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света;

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:

;

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы:

.

01.05. Релятивистская механика.

01.05.01. Релятивистское изменение длин и интервалов времени. (Рел. Изм. Длин и интервалов времени.)

Уровень 1.

Уровень 2.

Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Δℓ=0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина ℓ₀ которого равна 1 м? Скорость света c=3·10⁸. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [134] [135]

Двое часов после синхронизации были помещены в начало систем координат K и Kʹ, движущихся относительно друг друга. При какой скорости u их относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность τ₀ измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс. Полученный ответ округлите до целого значения. [1341] [1342]

На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость ʋ₀ спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ₀=0,5 года? Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [55] [54]

Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью ʋ=0,6c. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя? Полученный ответ умножьте на 100. [125]

В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние ℓ=75 м. Скорость ʋ пи-мезона равна 0,995c. Определить собственное время жизни τ₀ пи-мезона. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. [25] [24] [26]

Уровень 3.

В системе Kʹ покоится стержень, собственная длина ℓ₀ которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ₀=45º с осью xʹ. Определить длину ℓ стержня и угол φ в системе K, если скорость ʋ₀ системы Kʹ относительно K равна 0,8c. Полученный ответ умножьте на 10³ и округлите до целого значения. [825] [824]

Полученный ответ округлите до целого значения. [59] [60]

В системе K находится квадрат, сторона которого параллельна оси xʹ. Определить угол φ между его диагоналями в системе K, если система Kʹ движется относительно K со скоростью ʋ=0,95c. Полученный ответ округлите до целого значения. [73] [72]

Собственное время жизни τ₀ мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние ℓ=6 км. С какой скоростью ʋ (в долях скорости света ʋ/c) двигался мезон? Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [995] [996]

01.05.02. Релятивистское сложение скоростей.

Уровень 1.

Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями ʋ₁=0,6c и ʋ₂=0,9c вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u₂₁ (u₂₁/c) в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [195] [194]

Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [974] [975]

Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя (в долях скорости света ʋ/c), если скорость ʋ иона относительно ускорителя равна 0,8c. [1]

Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы со скоростями |ʋ|=0,9c. Определить относительную скорость u₂₁ (в долях скорости света u₂₁/c) сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц. Полученный ответ умножьте на 10³ и округлите до целого значения. [994] [995]

Уровень 2.

Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость ʋ₁=0,4c. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью ʋ₂=0,75c относительно ускорителя. Найти скорость u₂₁ частицы относительно ядра (в долях скорости света ʋ/c). Полученный ответ умножьте на 10. [5]

Уровень 3.

В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость u в той же системе отсчета равна 0,5c. Определить относительную скорость частиц (ʋ/c). Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [268] [267]

01.05. 03. Релятивистская масса u релятивистский импульс

Уровень 1.

Частица движется со скоростью ʋ=0,5c. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя? Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [115] [116]

Электрон движется со скоростью ʋ=0,6c. Определить релятивистский импульс p электрона. Масса покоя электрона 9,11·10^-31 кг. Полученный ответ умножьте на 10²⁴ и округлите до целого значения. [205] [204]

В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью ʋ=0,8c по направлению к покоящейся частице. Определить отношение релятивистской массы движущейся частицы в лабораторной системе отсчета к массе покоя m/m₀; Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [167] [166]

Уровень 2.

С какой скоростью ʋ (в долях скорости света ʋ/c) движется частица, если ее релятивистская масса в три раза больше массы покоя? Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [943] [942]

На сколько процентов релятивистская масса частицы больше массы покоя при скорости ʋ=6,0·10⁷ м/с (относительно релятивистской массы)? При решении воспользуйтесь формулой приближенного вычисления: √(1 – a)≈(1 – a/2). [2]

Импульс p релятивистской частицы равен m₀c (m₀ – масса покоя). Определить скорость ʋ частицы (в долях скорости света). Полученный ответ умножьте на 10³ и округлите до целого значения. [707] [708]

Уровень 3.

Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,88·10¹¹ Кл/кг. Отношение заряда покоящегося электрона к его массе равно 1,78·10¹¹ Кл/кг. Определить скорость электрона ʋ (в долях скорости света ʋ/c). Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [866] [867]

В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью ʋ=0,8c по направлению к покоящейся частице. Определить: 2) скорость частиц в системе отсчета (в долях скорости света ʋ/c), связанной с центром инерции системы; 3) отношение релятивистской массы частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции к массе покоя m/m₀.

2) Полученный ответ умножьте на 100. [50]

3) Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [115] [116]

В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя m₀ движется со скоростью ʋ=0,6c, другая с массой покоя 2m₀ покоится. Определить скорость ʋ_c центра масс системы частиц (в долях скорости света ʋ/c). Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [231] [230]

01.05.04. Релятивистские масса и энергия.

Уровень 1.

Полная энергия тела возросла на ΔE=1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела? Полученный ответ умножьте на 10¹⁸ и округлите до целого значения. [11] [12]

Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Δm=1 г. Полученный ответ умножьте на 10^-13. [9]

Вычислить энергию покоя: 1) электрона (масса покоя электрона 9,1·10^-31 кг); 2) протона (масса покоя протона 1,67·10^-27 кг); 3) α частицы (масса покоя α частицы 6,64·10^-31 кг). Скорость света c=3·10⁸. Ответ выразить в электрон-вольтах (для перевода в электрон-вольты полученный ответ нужно поделить на 1,9·10^-19).

[511875]

Полученный ответ умножьте на 10^-3. [939375]

Полученный ответ умножьте на 10^-6. [3735]

Уровень 2.

Уровень 3.

Известно, что объем воды в океане равен 1,37·10⁹ км³. Определить, на сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на Δt=1 ºC. Плотность ρ воды в океане принять равной 1,03·10³ кг/м³. Удельная теплоемкость воды c=4200 Дж/(кг·К). Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. [66] [65]

Солнечная постоянная C (плотность потока энергии электромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт/м². l. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить, что поглощается 50% падающей на поверхность океана энергии излучения? При расчетах принять площадь S поверхности океана равной 3,6·10⁸ км². π=3,14.

Расстояние от Солнца до Земли R=1,49·10¹¹ м. Полученный ответ умножьте на 10^-15 и округлите до целого значения. [137] [136]

Полученный ответ умножьте на 10^-5 и округлите до целого значения. [883] [884]

[442] [441]

01.05.05. Кинетическая энергия релятивистской частицы

Уровень 1.

Уровень 2.

Кинетическая энергия T электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Энергия покоя электрона E_э=0,511 МэВ. Сделать такой же подсчет для протона. Энергия покоя протона E_п=938 МэВ. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [21] [20]

Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [10107] [10106]

Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию T=1 ГэВ? Энергия покоя электрона E_э=0,511 МэВ, энергия покоя протона E_п=938 МэВ. Полученный ответ умножьте на 10³ и округлите до целого значения. [1937] [1938]

Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) скорости частиц в лабораторной системе отсчета (в долях скорости света ʋ/c).

Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [866] [867]

Уровень 3.

Электрон летит со скоростью ʋ=0,8с. Определить кинетическую энергию T электрона (в килоэлектрон-вольтах). Энергия покоя электрона E_э=511 кэВ. Полученный ответ округлите до целого значения. [341] [340]

При какой скорости ʋ кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя? Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. [260] [259]

Определить скорость ʋ электрона, если его кинетическая энергия равна: l) T=4 МэВ; 2) T=1 кэВ. Энергия покоя электрона E_э=0,511 МэВ. Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. [298] [299]

Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. [19] [18]

Найти скорость ʋ протона, если его кинетическая энергия равна: l) T=1 МэВ; 2) T=2 ГэВ. Энергия покоя протона E_п=938 МэВ. Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. [14] [13]

Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. [284] [285]

Какая относительная ошибка будет допущена при вычислении кинетической энергии релятивистской частицы, если вместо релятивистского выражения T=(m – m₀)c² воспользоваться классическим T=m₀ʋ²/2? Вычисления выполнить для двух случаев: 1) ʋ=0,2c; 2) ʋ=0,8c. Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [301] [302]

Полученный ответ умножьте на 100. [52]

Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями, равными их энергии покоя. Определить относительную скорость сближения частиц (в долях скорости света ʋ/c (3) Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [9897] [9898]

Уровень 4.

Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями, равными их энергии покоя. Определить 3) кинетическую энергию (в единицах m₀c²) одной из частиц в системе отсчета, связанной с другой частицей.

[6]

01.05.06. Связь энергии релятивистской частицы с ее импульсом

Уровень 1.

Уровень 2.

Определить импульс p частицы (в единицах m₀c), если ее кинетическая энергия равна энергии покоя. √3=1,73. Полученный ответ умножьте на 100. [173]

Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n=4 раза? √2=1,4. Полученный ответ умножьте на 10. [28]

Уровень 3.

Определить кинетическую энергию T релятивистской частицы (в единицах m₀c²), если ее импульс p=m₀c. √2=1,414. Полученный ответ умножьте на 1000. [414]

Импульс p релятивистской частицы равен m₀c. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная? Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [298] [299]

Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [158] [159]

Механические колебания

ФОРМУЛЫ