Динамика

Примеры решения задач

Решение задач динамики надо начинать с изготовления рисунка, на котором изображено тело (или несколько тел) и действующие на него силы. Каждая сила должна указывать на взаимодействие тела с каким-либо друтим IФнкретным ~OM И иметь вполне определенную физическую природу (сила тяжести, сила упругости, сила трения, и т. д.). В некоторых случаях как природа силы, так и ее источник не конкретизируются, просто говорится, что действует внешняя сила, приводящая тело в движение (такую силу часто называют силой тяги). На рисун­ке следует :rакже изобразить направление ускорения (если оно известно) и положительные направления осей координат. Только после этого можно записы­вать уравнение движения - второй закон Ньютона (обычно в проекции на одну или несколько осей).

Задача 1. С какой силой нужно действовать на тело массой 10 кг, чтобы оно двигалось вертикально вниз с ускорением 5 .",It?? 9 = 10 wt?

На тело действуют сила тяжести и сила тяги. Поскольку ..направление силы тяги заранее не известно, ее можно

условно изобразить действующей в произвольном направ­

лении (если получится отрицательный ответ, то сила направ­

лена в противоположную сторону). Положительное направление выбирают обычно по ускорению (чтобы не + 'mg забыть поставить минус перед та). 2-0Й закон Ньютона в

проекции на положительное направление принимает вид

" F+тg=ma,

откуда получаем F = т( а - g) = -50 Н. Значит, величина силы равна 50 Н и она направлена не вниз, а вверх.

Замечание. Силу неизвестного направления удобно изображать действую­щей в положительном направлении оси. Тогда мы найдем проекцию силы на ось, и знак ответа укажет направление силы по отношению к оси.

Задача 2. Чему равен вес стоящего в лифте человека массой 70 кг, если лифт опускается с ускорением, направленным вllиз и равным 3 м/с2? 9 = 10Mlt?

36

Вес тела приложен не к человеку, а к опоре (к полу), поэтому вместо веса будем искать силу ре­акции пола, которая действует на человека и по 3~MY закону Ньютона равна весу по модулю (Р = N). Кро­ме реакции пола, на человека действует сила тяже­сти. Выбирая положительное ~аправление оси вниз (по у~корению), получим .

mg-N= та, откуда Р = N = т (g - а) = 490 Н.

1

+

Задача 3. Тело массой 1 к б

д 2,. 'Р^оше/l1Iое вертикQЛЬ1IО вверх со скоростью 40 МJ.

остигло высшеи точки подъема че"ез 2 5 с и .д с,

r , . паи ите Зllачеllие силы сопротивлеllия воздуха, считая ее постОЯIlНОЙ. 9 = 10 Atlt?

Изобразим на рисунке силы, деЙСТВующие на тело и

его ускорение и запишем 2-0Й закон Ньютона в BeКТOPH~M виде (этот этап решения не является обязательным)

5. 

mg+F. =та.

Выберем положительн'ое направление для вертикальной оси, на которую спроектируем обе части уравнения дви­жения

0= V_o - at.

Заметим, что при записи кинематических - _

вать те же оси что для 2 Н уравнении мы не обяз~ны использо-

, -го закона ьютона, так'как в обоих

значает величиllУ ускорения. Получаем уравнениях а обо-

F" =m(a-g)=т(~o -g)= 6Н.

Задача 4.

Авт;Щобиль 1IQЧал двигаться с УСIШрением 3 wt? JlJ

его ускорение стало равным 1 Mlt? О д . 'Ри скор.ости БО КМ/Ч шейся скоростью (в кмlч) б1Jдет д пре елите, с какои уста1l0вив-

" вигаться автомобиль если сила

тящ мотора остается постОЯIlНОЙ, а сила roпротивле:ия

ционалыla Скорости. пропор-

Условие, что сила сопротивления пропорциональна скорости, удобнее всего записать в явном виде, введя коэффициент пропорциональности k (и исключив его потом из уравнений). Тогда уравнение движения можно записать в виде

р_т- kv= та.

~:~~~ c:~a ;;;~о~::а~::::~;::~:з::и:зТ~~ ri;: ~::;: ~~:ч~ь:=:

ускорение равно а₁ = 1 м!с². Установившаяся скорость (обозначим ее v₂) соот­ветствует ситуации, когда сила сопротивления компенсирует силу тяги, т. е. уско­рение равно нулю. Получаем систему трех уравнений

р_т = тао. р_т - kv, = та" р_т - kV2 = о.

Исключая р_т и k (т сокращается), получаем а_о

V2 = --- Vl = 90 км/ч. а_о -а,

Задача 5. Начальная скорость тела равна 1 О м/с. Считая, что на тело дейст­вует только сила сопротивления среды, пропорциональная его ско­рости, с коэффициентом пропорциональности 2 кг/с, найдите рас­стояпие, пройденпое телом до остановки. Масса тела 4 кг.

Запишем второй закон Ньютона (в проекции на направление, совпадающее с начальной скоростью)

max=-kv_x,

где k - коэффициент пропорциональности. Умножим обе части уравнения на малый интервал времени Ы и учтем, что a/1t;; ДV_х è v/1t = Llx'

тдv_х = -kLlx'.

Разобьем.конечныЙ интервал движения на много малых интервалов и просумми­руем обе части уравнения по всем интервалам. Получим

В данной задаче V_x = О, т. eJs = Sx = mvolk = 20 м.

Задача 6. Какой угол (в градусах) с вертикалью составляет нить с грузом, подве­шенным па тележке, которая движется в горизонтальном направ-

лении с ускорением 10 м/с? 9 = 10 м/с. .

На груз деЙСТI!УЮТ две силы: сила тяжести и сила натяжения нити, направлен­ная вдоль нити. Выбрав одну из осей горизонтально (rщоль ускорения), а вторую - . вертикально вверх, запишем уравнение движения в проекции на эти оси

'Н!

Tsind= та, Tcosa - mg = О.

Исключив из этих уравнений силу Т, получим а

tga=-=l,

9

т. е. а= 450.

mg

Задача 7. На наКЛО1l1/ОЙ плоскости с углом наклона 300 к горизонту лежит бру­сок массой 5 кг. Наклонпая плоскость стоит в'лифте, движущемся , с ускорением 2 м/с, направле/IIIЫМ вверх. Определите силу l/ОРМаль­//Ого давления кубика на плоскость. 9 = 10 АI/С. J3 = 1,7.

На тело действуют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения покоя.

Можно записать проекции уравнения дви­жения на горизоитальную и вертикальную оси и из полученной системы уравнений, исключив Р_тр' найти N. Попробуйте сделать это сами, а мы покажем другой подход. Выберем ось не вдоль ускорения, а вдоль силы реакции (перпендикулярно силе трения) и спроектируем на эту ось

уравнение движения

5. 

Получим

N - mgcosa = macosa,

откуда N = т (g + a)cosa = 51 Н. Такой подход требует аккуратности, и его сле­дует при менять тогда, когда он заметно упрощает расчеты. Например, в преды­дущей задаче можно обойтись одним уравнением, направив ось перпендикуляр­,но нити, но решение от этого не становится проще.

Замечание. Ответ для силы реакции очень похож на выражение, которое получается в случае неподвижной наклонной плоскости. Отличие только в том, что на месте 9 стоит теперь (g + а), - как будто все свелось к изменению силы тяжести! (См. также реш. 2.) Это не случайное совпадение, а проявление общего правила, которое формулируется следующим образом: находясь в неинерциаль­пой системе отсчета. которая движется поступательно с ускорением а_со, МОЖ//О, как обыч//О, записывать 2-0Й заКОll Ньютона, 1/0 к реальным силам надо добавить СМУ инерции F_иí = -тасо, или, что то же самое, силу тяжести mg

заменить на m(g - аса). Это правило легко обосноВать, если воспользоваться законом сложения ускорений. Запишем закон Ньютона в инерциальной СО: ~ L. Р; = та и пред ставим ускорение тела в виде а = аса + а_отн ' где а_отн ­ускорение тела в движущейся СО. Перенеся та_со в левую часть равенства, по­лучим уравнение движения тела в ускоренно движущейся СО

LF; +(-та_со) = та_отн.

Задача 8. Тело .массой 1 кг lIйХодится на горизонтальной плоскости. На тело действует горизОllтальная сила 2 Н. Определите силу трения, если коэффициент трения 0,3.

Стандартная ошибка состоит в том, что для силы трения не задумываясь при­меняют формулу F_Tp = jJN = I1mg и получают значение F тр = 3 Н (N - mg = О ­проекция уравнения движения на вертикальную ось). Но это значение больше, чем сила тяги F = 2 Н - получается, что потянув тело в одну сторону, мы заста­вим его двигаться в другую! Ошибка состоит в ТОМ, что формула F тр = I1N при­менима для силы трения скольж~ния, т. е. когда тело скользит по поверхности (или находится на грани скольжениЯ), а в данном случае это не так. Тело покоит­ся, и на него, кроме силы тяги F, действует сила треllия покоя, которую находим из 2-го закона Ньютона

F-Fтp= О.

т. е. F тр = F = 2 Н. Проверка предположения об отсутствии скольжения как раз и состоит в том, что это значение должно быть меньше или равно, чем мак?ималь­ное значение силы трения покоя F тр ~ jJN.

Задача 9. С KaKu.м .максu.малыll.м ускорением должен разгоняться грузовик, чтобы lIезакрепле1l1lЫЙ груз в его кузове не 1Iачал смещаться к задне­.му борту? Коэффициент трения груза о дно кузова 0,2. 9 = 10 .м/с!.

Предположим, что ускорение грузовика достигло «критического» значения: груз еще не скользит, но находится на грани скольжения. Это значит, что сила трения покоя достигла максимального значения

Fтp = jJN,

N

а

-

где N находим из проекции уравнения

движения на ось у Fтp

х

N-mg=О.

тg

40

Сила трения покоя направлена вперед - именно она сообщает грузу ускорение, равное ускорению грузовика

Fтp= та.

Из этих уравнений находим ускорение: а = I1g = 2 м!с².

Задача 10. Человек везет двое связанных саней, прикладывая силу под угло.м 300 к горизонту. Найдите эту силу, если известно, что сани дви­жутся P9Jl~QJltepHo'}'faccbl саней по 40 кг. Коэффицие1lт тре­ния 0,3. ";3 -1,7. 9 - 10.м/с!.

Так как двое саней движутся как одно целое, можно записать 2-0Й закон Ньютона для системы двух саней, учитывая только внешние для этой системы силы

F

Ртр

где F - сила тяги, т = 80 кг -

суммарная масса саней, F тр - тg

суммарная сила трения иN - сум-

марная нормальная реакция горизонтальной опоры. Так как коэффициент трения у саней одинаковый, F тр и N связаны соотношением

Fтp = I1N.

Записывая проекции уравнения движения на оси, получим Fcosa-Fтp =0

Fsina+N -mg =0

(Обратите внимание: хотя движение происходит по горизоитальной поверхности, реакция опоры N не равна mrO Из этих трех уравнений выражаем силу тяги

I1mg

F=

cos а+ 11 sin а

240Н.

Задача 11. За сколько секунд .мале1lькая шайба соскользнет с наклоюlOй 'плос­кости высотой 2,5 .м и угло.м 1IаКЛО1lа к горизонту 600, если по на­клоНllOй плоскости из такого же .материала с угло.м наКЛО1lа 300 olla движется в1lиз рав1l0.меР1l0? 9 = 10.м/с!.

Запишем 2-0Й закон Ньютона для тела, соскальзывающего с наклонной плос­'кости