Решение:

1) Найдем приближенное значение дифференциального уравнения на отрезке [0; 1] при h = 0,1 методом Эйлера по формуле:

.

Здесь , , .

Остальные расчеты приведем в виде таблицы:

Xi	YI	f(XI;Yi)	f(Xi;Yi)*Δx
0	0	1	0,1
0,1	0,1	1,326667	0,13266667
0,2	0,232667	1,661778	0,16617778
0,3	0,398844	2,005896	0,20058963
0,4	0,599434	2,359623	0,23596227
0,5	0,835396	2,723598	0,27235976
0,6	1,107756	3,098504	0,30985041
0,7	1,417607	3,485071	0,3485071
0,8	1,766114	3,884076	0,38840757
0,9	2,154521	4,296347	0,42963475
1	2,584156	4,722771	0,47227706

Получили значение:

2) Найдем приближенное решение уравнения с помощью разложения в ряд Тейлора третьей степени:

Здесь:

Разложим в ряд Тейлора:

Остальные расчеты приведем в виде таблицы:

Xi	Yi
0	0
0,1	0,115063
0,2	0,2605
0,3	0,436688
0,4	0,644
0,5	0,882813
0,6	1,1535
0,7	1,456438
0,8	1,792
0,9	2,160563
1	2,5625

Получили значение:

3. Найдем точное решение дифференциального уравнения. Это уравнение линейное:

Произведем замену:

Получим:

Решим уравнение с разделяющимися переменными:

Тогда общее решение уравнения:

Найдем частное решение при условиях: y(0)=(0)

Отсюда C=3, тогда частное решение имеет вид:

Тогда точное значение функции равно:

Графики получившихся функций приведены на рисунке:

Абсолютная и относительная погрешность между значениями у(х₀ + 1)(точное решение) и у₁(х₀ + 1) (метод Эйлера) равна:

Абсолютная погрешность и относительная погрешность между значениями у(х₀ + 1) и у₂(х₀ + 1) равна: