2) Для квадратичной функции система уравнений имеет вид:
Составим промежуточную таблицу для расчетов:
n |
х |
у |
х2 |
y∙x |
х3 |
х4 |
х2∙y |
укв |
1 |
-8 |
3,0 |
64 |
-24,0 |
-512 |
4096 |
192,0 |
3,30 |
2 |
-7 |
1,1 |
49 |
-7,7 |
-343 |
2401 |
53,9 |
0,82 |
3 |
-6 |
-0,6 |
36 |
3,6 |
-216 |
1296 |
-21,6 |
-0,64 |
4 |
-5 |
-1,2 |
25 |
6,0 |
-125 |
625 |
-30,0 |
-1,09 |
5 |
-4 |
-0,4 |
16 |
1,6 |
-64 |
256 |
-6,4 |
-0,52 |
6 |
-3 |
2,0 |
9 |
-6,0 |
-27 |
81 |
18,0 |
1,07 |
7 |
-2 |
3,0 |
4 |
-6,0 |
-8 |
16 |
12,0 |
3,67 |
8 |
-1 |
6,5 |
1 |
-6,5 |
-1 |
1 |
6,5 |
7,29 |
9 |
0 |
12,1 |
0 |
0,0 |
0 |
0 |
0,0 |
11,92 |
10 |
1 |
17,9 |
1 |
17,9 |
1 |
1 |
17,9 |
17,57 |
Сумма |
65 |
43,4 |
205 |
-21,1 |
-1295 |
8773 |
242,3 |
|
Подставляем в систему полученные в таблице значения:
Решая систему
уравнений, находим:
.
Квадратичная функция имеет вид:
Графики функций (исходной, линейной и квадратичной):
№12.17 Вычислить приближенно интеграл из задания 6.а по формулам:
1)прямоугольников (двумя способами),
2) трапеций,
3) Симпсона,
Разбив интервал интегрирования на 10 частей. В каждом случае найти абсолютную и относительную погрешность, сравнив приближенное значение с точным.
а) Вычислим интеграл по формуле средних прямоугольников:
.
Разобьем отрезок на n = 10 частей. В данном случае формула для расчета имеет вид:
Расчеты сводим в таблицу:
i |
xi |
|
|
0 |
2 |
|
|
1 |
2,1 |
2,05 |
6,78663 |
2 |
2,2 |
2,15 |
6,85506 |
3 |
2,3 |
2,25 |
6,9177 |
4 |
2,4 |
2,35 |
6,97525 |
5 |
2,5 |
2,45 |
7,02832 |
6 |
2,6 |
2,55 |
7,07741 |
7 |
2,7 |
2,65 |
7,12294 |
8 |
2,8 |
2,75 |
7,16528 |
9 |
2,9 |
2,85 |
7,20478 |
10 |
3 |
2,95 |
7,24169 |
Сумма |
|
|
70,37506 |
Таким образом, по формуле средних прямоугольников получаем:
1*70,37506=7,037506
Формула левых прямоугольников:
или
Формула правых прямоугольников:
или
Расчеты сводим в таблицу:
i |
xi |
Для расчета по формуле левых прямоугольников |
Для расчета по формуле правых прямоугольников |
Для расчета по формуле трапеций |
0 |
2 |
6,75 |
|
|
1 |
2,1 |
6,82162 |
6,82162 |
6,82162 |
2 |
2,2 |
6,88705 |
6,88705 |
6,88705 |
3 |
2,3 |
6,94707 |
6,94707 |
6,94707 |
4 |
2,4 |
7,00231 |
7,00231 |
7,00231 |
5 |
2,5 |
7,05333 |
7,05333 |
7,05333 |
6 |
2,6 |
7,10059 |
7,10059 |
7,10059 |
7 |
2,7 |
7,14449 |
7,14449 |
7,14449 |
8 |
2,8 |
7,18537 |
7,18537 |
7,18537 |
9 |
2,9 |
7,22354 |
7,22354 |
7,22354 |
10 |
3 |
|
7,25925 |
|
Сумма |
|
70,1153 |
70,6246 |
63,3653 |
Тогда интеграл будет равен:
по формуле левых прямоугольников:
по формуле правых прямоугольников:
Найдем точное значение интеграла:
Найдем абсолютную и относительную погрешность
для средних прямоугольников:
для левых прямоугольников:
для правых прямоугольников:
Таким образом, наиболее точным является значение, полученное по формуле средних прямоугольников.
б) Вычислим интеграл по формуле трапеций:
Найдем абсолютную и относительную погрешность:
в) Вычислим интеграл по формуле Симпсона:
,
где
.
Для расчета составим таблицу:
i |
xi |
|
|
0 |
2 |
6 |
|
1 |
2,05 |
|
6,78663 |
2 |
2,1 |
6,82162 |
|
3 |
2,15 |
|
6,85506 |
4 |
2,2 |
6,88705 |
|
5 |
2,25 |
|
6,9177 |
6 |
2,3 |
6,94707 |
|
7 |
2,35 |
|
6,97525 |
8 |
2,4 |
7,00231 |
|
9 |
2,45 |
|
7,02832 |
10 |
2,5 |
7,05333 |
|
11 |
2,55 |
|
7,07741 |
12 |
2,6 |
7,10059 |
|
13 |
2,65 |
|
7,12294 |
14 |
2,7 |
7,14449 |
|
15 |
2,75 |
|
7,16528 |
16 |
2,8 |
7,18537 |
|
17 |
2,85 |
|
7,20478 |
18 |
2,9 |
7,22354 |
|
19 |
2,95 |
|
7,24169 |
20 |
3 |
7,25925 |
|
Сумма |
|
77,37462 |
70,37506 |
Найдем абсолютную и относительную погрешность:
№12.26 Найти
частное решение дифференциального
уравнения задания 5, удовлетворяющее
начальному условию
,
приближенными методами.
1. Найти приближенное решение у1(х) задачи 5 на отрезке [х0; х0 + 1] при помощи метода Эйлера для h = 0,1.
2. Найти приближенное решение у2(х) задачи в окрестности точки х0 в виде многочлена третьей степени при помощи разложения искомой функции по формуле Тейлора.
3. На отрезке [х0; х0 + 1] построить графики точного решения у(х) и приближенных решений у1(х), у2(х). Сравнить значения у(х0 + 1) и у1(х0 + 1), у(х0 + 1) и у2(х0 + 1) (найти абсолютную и относительную погрешность).
,
