Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение
высшего образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
САЯНО-ШУШЕНСКИЙ ФИЛИАЛ
Кафедра фундаментальной подготовки
Расчетно-графическое задание
по математике (семестр 2)
Преподаватель ________ О.В. Кравцова
подпись, дата инициалы, фамилия
Студент ГЭ20-02Б ________ М.Д.Кобзарь
номер группы, зачетной книжки подпись, дата инициалы, фамилия
Черемушки, 2021
№17.30 Материальная точка движется по закону , где – время, x – координата точки. График гладкой функции образован отрезком прямой AB и двумя дугами парабол OA и BC. \
A(4,9) B(8,1) C(12,11)
Составить формулу, задающую функцию .
Найти скорость точки и ее ускорение .
Построить графики функций , , .
Указать наибольшую и наименьшую скорость точки при .
Решение:
Так как функция является гладкой на интервале, то ее производная на этом интервале является непрерывной.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки A(4;9) и B(8;1):
Окончательно получаем:
Так как для функция является квадратичной, запишем ее в виде . Поскольку парабола проходит через точку , то с = 0.
Из условия непрерывности функции в точке имеем:
По условию гладкости приравниваем производные функции в этой точке: или
Получим систему уравнений:
Откуда: ,
Таким образом, при получили: .
Аналогично для участка параболы, соединяющей точки B(8;1) и C(12;11), представим функцию а виде и запишем условия:
,
Получим систему уравнений:
Решение которой: , , .
Таким образом, при получили
Окончательно запишем кусочно-заданную функцию:
Построим ее график:
Дифференцируя найденную функцию, найдем скорость и ускорение :
Построим графики функций:
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Так как функция кусочно-линейная, то исследование на экстремум с помощью производной не требуется:
№8.30 Даны результаты 10 измерений некоторой величины При помощи метода наименьших квадратов найти функцию, приближенно принимающую таблицу значений,
Линейную ,
Квадратичную ,
Так, чтобы сумма квадратов погрешностей была минимальной. Сделать чертеж.
Исходные данные:
хi |
-8 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
yi |
3,0 |
1,1 |
-0,6 |
-1,2 |
-0,4 |
2,0 |
3,0 |
6,5 |
12,1 |
17,9 |
Решение:
1) Для определения линейной функции составим систему уравнений, которая имеет вид:
Составим промежуточную таблицу для расчетов:
n |
х |
у |
х2 |
y∙x |
улин |
1 |
-8 |
3,0 |
64 |
-24,0 |
-2,79 |
2 |
-7 |
1,1 |
49 |
-7,7 |
-1,21 |
3 |
-6 |
-0,6 |
36 |
3,6 |
0,38 |
4 |
-5 |
-1,2 |
25 |
6,0 |
1,96 |
5 |
-4 |
-0,4 |
16 |
1,6 |
3,55 |
6 |
-3 |
2,0 |
9 |
-6,0 |
5,13 |
7 |
-2 |
3,0 |
4 |
-6,0 |
6,72 |
8 |
-1 |
6,5 |
1 |
-6,5 |
8,30 |
9 |
0 |
12,1 |
0 |
0,0 |
9,89 |
10 |
1 |
17,9 |
1 |
17,9 |
17,47 |
Сумма |
-35 |
43,4 |
205 |
-21,1 |
|
Подставляем в систему полученные в таблице значения:
Решая систему уравнений, находим: .
Линейная функция имеет вид: