2. Линейные электрические цепи с сосредоточенными параметрами

   1. Пассивные и активные элементы

В линейных электрических цепях постоянного тока катушка индуктивности превращается в проводник, так как падение напряжения на ней равно нулю ( ), а конденсатор превращается в разрыв, так как ток через него равен нулю ( ). Поэтому в качестве моделей пассивных элементов в электрических цепях постоянного тока могут использоваться только резисторы.

Активные элементы имеют вид, приведенный на рис 1.5.

а) Генератор постоянного напряжения б) Генератор постоянного тока

Рис. 1.5. Модели источников электроэнергии для цепей постоянного тока

Эти схемы однозначно пересчитываются одна в другую и то, какой моделью источника пользоваться, зависит от условий задачи.

Напряжение на резисторе и протекающий через него ток в электрических цепях постоянного тока связаны зависимостью , которая называется законом Ома для участка цепи.

В линейных электрических цепях переменного тока синусоидальной (гармонической) формы могут использоваться все три вида нагрузки: активная (R), индуктивная (L) и емкостная (С), а модели активных элементов имеют вид, приведенный на рис. 1.3. Форма тока , напряжения и ЭДС показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Синусоидальные зависимости тока напряжения и ЭДС

Представленные на рис. 1.6 функциональные зависимости тока , напряжения и ЭДС , характеризуются каждая тремя параметрами: амплитудами — ; начальными фазами, относительно условного начала отсчета времени (или угла) — , и периодом повторения —T.

Амплитуда колебания — это мгновенное максимальное значение колебания, которое можно наблюдать, например, на экране осциллографа, а приборы для измерения тока и напряжения показывают действующие значения этих величин. Действующее значение переменного синусоидального тока равно такой величине постоянного тока, при которой резистор за период переменного тока рассеивает одинаковую энергию под воздействием постоянного и переменного тока . Получаемое в результате интегрирования действующее значение переменного тока равно . Аналогично из равенства следует, что действующее значение переменного синусоидального напряжения равно и действующее значение ЭДС равно .

Период повторения T измеряется в секундах (с) или в дольных единицах — миллисекундах (1мс=10^-3с), микросекундах (1мкс=10^-6с) и т.д. Величина, обратная периоду повторения гармонического процесса , называется частотой повторения. Она измеряется в герцах (1Гц=1/1с), килогерцах (1кГц=10³Гц), мегагерцах (1МГц=10⁶Гц) и т.д. Еще одна величина , которая называется угловой частотой, определяет скорость изменения фазы колебания и измеряется в радианах в секунду (рад/сек).

В цепях переменного синусоидального тока ( ) зависимости между токами, протекающими через пассивные элементы и напряжениями на них имеют следующий вид:

1. для резистора

Амплитуда напряжения на резисторе в R раз больше амплитуды тока, а начальные фазы тока и напряжения совпадают.

2. для конденсатора

Амплитуда напряжения на конденсаторе в раз больше амплитуды тока, и оно отстает от тока по фазе на 90°. Величина имеет размерность сопротивления — это реактивное сопротивление конденсатора, измеряемое в омах.

3. для катушки индуктивности

Амплитуда напряжения на катушке индуктивности в раз больше амплитуды тока, и оно опережает ток по фазе на 90°. Величина сопротивления, представляет собой реактивное сопротивление катушки индуктивности и измеряется в омах.

Приведенные соотношения, связывающие напряжение на пассивных элементах R, L, C и ток в форме мгновенных значений, невозможно использовать для расчета электрических цепей.

Но, так как частота во всех участках цепи одинакова, можно перейти к векторной и комплексной (символической) формам представления синусоидальных токов и напряжений.

Учитывая только амплитуды и начальные фазы тока и напряжений на резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе, можно изобразить их на векторной диаграмме (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Векторная диаграмма тока и напряжений на элементах R, L и С

Метод анализа электрических цепей, основанный на представлении токов и напряжений в векторной форме, называется методом векторных диаграмм. Он удобен, когда нужна наглядная иллюстрация амплитудных и фазовых соотношений токов и напряжений цепи. Но проведение численного анализа цепей в такой форме невозможно.

Для численного анализа электрических цепей при гармонических воздействиях используется комплексная (символическая) форма представления токов, напряжений и сопротивлений цепи.

Это представление основано на том, что вектор на плоскости можно описать комплексным числом, модуль которого равен длине вектора, а аргумент — его угловому положению относительно положительного направления горизонтальной оси.

Например, для векторной диаграммы, приведенной на рис 1.7, соответствующая комплексная амплитуда тока в показательной форме записи комплексного числа имеет вид . Используя тождество Эйлера , можно записать комплексную амплитуду тока в алгебраической форме: где , а . Аналогично можно записать:

; ;

Эти формулы описывают закон Ома для электрической цепи переменного тока.

Метод анализа электрических цепей, основанный на использовании комплексной формы представления токов и напряжений, называется методом комплексных амплитуд.

Для цепи, приведенной на (рис. 1.8, а), которая состоит из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора векторная диаграмма тока и напряжений имеет вид, показанный на (рис. 1.8, б).

а) б)

Рис. 1.8. Схема электрической цепи (а) и ее векторная диаграмма (б)

Комплексная амплитуда входного напржения

,

— полное комплексное сопротивление цепи.

Поделив все векторы наряжения диаграммы рис 1.8, б на , получим, в соответствии с законом Ома, треугольник сопротивлений (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Треугольник сопротивлений

где — модуль полного сопротивления цепи

— фазовый сдвиг между током и входным напряжением.

На схемах активных элементов (рис. 1.3), при использовании метода комплексных амплитуд, следует заменить , где — внутренние комплексные сопротивление и проводимость генераторов напряжения и тока. При этом на схемах этих генераторов , т.е. они взаимно однозначно пересчитываются одна в другую, как и схемы источников постоянного тока.