d

′

′

dy

dz

dy

dz

y′′ =

(y )

d(y )

=

dx

= dy

dx

= dy z(y) .

dx

dy

Подставляя в уравнение выражения для y′ и y′′, получаем уравнение 1-го порядка отно-

сительно z как функции

от y :

z

dz

= f (y; z) .

dy

Решая его, найдем z =ϕ(y; C1 )

. Т. к.

z = dy , то

dy

=ϕ(y; C1 ) . Отсюда

dy

= dx .

dx

ϕ(y; C1 )

dx

Получено уравнение с разделенными переменными, из которого находим общее реше-

ние данного уравнения:

dy

= x

+ C

, где

C и

C

− произвольные постоянные.

∫ϕ(y; C1 )

2

2

1

Пример 2.3. Найти общее решение уравнения yy

′′

−

′

2

=

0 .

2(y )

▲ Полагая y′ = z, y′′ = z dz , получим yz dz −2z2 = 0

или

z y dz

−2z = 0 . Это дифференци-

dy

dy

dy

альное уравнение 1-го порядка распадается на два: z = 0, y dz −2z = 0 .

Первое из них дает y′ = 0 , т. е.

y = C .

dy

Во втором переменные отделяются:

dz = 2 dy , откуда, интегрируя, имеем

z

y

ln

z

=2ln

y

+ln

C

, т.е. z = C y2 .

1

1

Вспоминая, что

z = dy

,

получаем

dy = C dx ,

откуда

получаем искомое

решение

dx

y2

1

−

1

= C x +C

2

, т. е. (заменяя C и

C

2

на −C и

−C

2

) y =

1

.

y

1

1

1

C1x +C2

Кстатисказать,найденноераньшерешение y = C содержитсявнайденномрешении,ибо

получается из него при C1 = 0 . ▼

4. Дифференциальные уравнения высших порядков

Ограничимся только основными определениями и общими замечаниями, относящимися

к дифференциальным уравнениям n-го порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка

′

y

(n)

) = 0

,

F(x; y; y ; ;

если оно разрешено относительно старшей производной, имеет вид

y

(n)

= f (x; y; y

′

y

(n−1)

) .

(4.1)

; ;

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′, y′′(x0 ) = y0′′, , y(n−1) (x0 ) = y0(n−1) .

(4.2)