2. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

F(x; y; y′; ; y(n) ) = 0 ,

связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) , а также ее производ-

ные y′(x), y′′(x), , y(n) (x) (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь F − за-

данная функция своих аргументов.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производ-

ной, входящей в уравнение.

Например, y′ = xy3 – дифференциальное уравнение 1-го порядка;

y′′+ cos y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка; yIV −16y′′ = 0 – дифференциальным уравнением 4-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a; b) называется всякая функция y =ϕ(x) , имеющая на этом интервале производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка функции y =ϕ(x) , а также ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по x на интервале (a; b) .

Например, функция y = xe2x является решением дифференциального уравнения 2-го порядка y′′−4y′+ 4y = 0 на интервале (−∞; ∞) .

В самом деле, y′ = e2x (1+ 2x), y′′ = 4e2x (1+ x) . Подставив в данное уравнение найденные значения y, y′ и y′′, получим –

4e2x (1+ x) −4e2x (1+ 2x) + 4xe2x = 4e2x (1+ x −1−2x + x) ≡ 0 x (−∞; ∞) .

Графикрешениядифференциальногоуравненияназываетсяинтегральнойкривойэтого уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрирова-

нием дифференциального уравнения.

2.2. Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши

Изучение дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения – уравнения первого порядка.

Уравнение (2.2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях уравнение (2.2) удобно записывать в виде dydx = f (x, y) или в эквивалентном (2.2) виде f (x, y)dx − dy = 0 ,

8

Последнее уравнение является частным случаем общего уравнения вдифференциальной форме

где P(x, y) иQ(x, y) − известные функции. Уравнение в симметричной форме (2.3) удобно

тем, что переменные x и y в нем равноправны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой переменной.

Два дифференциальных уравнения F1(x; y; y′) = 0, F2 (x; y; y′) = 0 называются эквивалентными в некоторой области G изменения величин x, y, y′, если всякое решение y(x) G одного из этих уравнений является решением другого уравнения и наоборот. При

преобразовании дифференциальных уравнений надо следить за тем, чтобы преобразованное уравнение было эквивалентно исходному уравнению.

Если дифференциальное уравнение имеет решение, то, как правило, множество его решений оказывается бесконечным. Впрочем, дифференциальное уравнение может иметь только одно решение или вообще не иметь вещественных решений.

Чтобы выделить определенное решение уравнения (2.2), надо задать начальное условие, котороезаключаетсявтом,чтопринекоторомзначении x0 независимойпеременнойx заранее

дано значение y0 искомой функции y(x) :

Геометрически это означает, что задается точка M 0 (x0 ; y0 ) , через которую должна проходить искомая интегральная кривая.

Задачу отыскания решения y(x) уравнения (2.2), удовлетворяющего начальному усло-

вию (2.4), называют задачей Коши (начальной задачей) для уравнения (2.2).

2.3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения y′= f (x; y)

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (2.2) имеет решение, дает теорема Коши, которая является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 3.1 (существования и единственности решения). Если функция f (x; y) определена в некоторой области G плоскости Oxy, 1. непрерывна в точке M 0 (x0 ; y0 ) и в ее окрестности Ω, то существует решение y = y(x) уравнения (2.2), такое, что y(x0 ) = y0 . 2. Если ограни-

на котором это решение единственно.

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2.2) решать вопрос о существовании и единственности его решения.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку M 0 (x0 ; y0 )

проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, в области G уравнение (2.2) имеет бесконечное число различных решений.

Теорема 3.1 имеет локальный характер:

она гарантирует существование единственного решения y =ϕ(x) уравнения (2.2) лишь в достаточно малой окрестности точки x0 .

Из теоремы 3.1 вытекает, что уравнение (2.2) имеет бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку (x0 ; y0 ) ; другое

решение, когда график проходит через точку (x0 ; y1 ) и т. д.).

9

Пример 3.1. В уравнении y′ = x + y функция f (x; y) = x + y определена и непрерывна

во всех точках плоскости Oxy и имеет всюду ∂fy =1. В силу теоремы 3.1 через каждую точку

∂

(x0 ; y0 ) плоскости Oxy проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

Теорема 3.1 дает достаточные условия существования единственного решения уравнения (2.2). Это означает, что может существовать единственное решение y = y(x) урав-

нения (2.2), удовлетворяющее условию (2.4), хотя в точке (x0 ; y0 ) не выполняются условия 1) или 2) или оба вместе.

ная интегральная кривая y = 33(x − x0 ) .

Замечание. Если отказаться от ограниченности ∂∂fy , то получается следующая теорема

существования решения.

Теорема 3.2. Если функция f (x; y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0 ; y0 ) , то уравнение (2.2) имеет в этой окрестности, по крайней мере, одно решение y =ϕ(x) , принимающее при x = x0 значение y0 .

Общее и частное решения уравнения.

Дадим два основных определения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (2.2) в некоторой области Ω существования и единственности решения задачи Коши называется функция y =ϕ(x; C) , обладающая следующими свойствами:

1)при любых значениях произвольной постоянной C она обращает уравнение (2.2) в тождество,

2)значения постоянной величины C можно подобрать так, чтобы она удовлетворяла условиям (2.4).

Общее решение, полученное в неявном виде:

Φ(x; y; C) = 0 ,

называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением уравнения (2.2) называется функция y =ϕ(x; C0 ) , которая получается из общего решения y =ϕ(x; C) при определенном значении постоянной C = C0 .

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.2) можно определить как множество всех частных решений уравнения.

Уравнение

Φ(x; y; C0 ) = 0 ,

где C0 − некоторое конкретное значение постоянной C, называется частным интегралом. Геометрически общее решение y =ϕ(x; C) представляет собой семейство интегральных

кривых на плоскости Oxy, зависящее от одной произвольной постоянной C.

Частноерешение y =ϕ(x; C0 ) представляетоднуинтегральнуюкривуюэтогосемейства, проходящую через заданную точку (x0 ; y0 ) .

10

Иногда начальные условия (2.4) называют условиями Коши, а частным решение назы-

вают решение какой-нибудь задачи Коши.

Определение. Решение y =ψ(x) дифференциального уравнения (2.2) называется осо-

бым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку (x0 ; y0 ) кроме этого решения проходит и другое решениеуравнения (2.2),

не совпадающее c y =ψ(x) в сколь угодно малой окрестности точки (x0 ; y0 ) .

График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения. Геометрически это – огибающая семейства интегральных кривых дифференциального

уравнения, определяемых его общим интегралом.

Огибающей семейства кривых Φ(x; y; C) = 0 называется такая кривая, которая в каж-

дой соей точке касается некоторой кривой семейства и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из этого семейства.

Если для дифференциального уравнения (2.2) в некоторой области G на плоскости Oxy выполнены условия теоремы 3.1, то через каждую точку (x0 ; y0 ) G проходит единственная

интегральная кривая y =ϕ(x) уравнения. Эта кривая входит в однопараметрическое семейство кривых Φ(x; y; C) = 0 , образующих общий интеграл уравнения (2.2), и получается из

этого семейства при конкретном значении параметра C, т. е. является частным интегралом уравнения (2.2). Никаких других решений, проходящих через точку (x0 ; y0 ) , здесь не может

быть.Следовательно,длясуществованияособогорешенияуравнения(2.2) необходимо,чтобы не выполнялись условия теоремы 3.1. В частности, если правая часть уравнения (2.2) непрерывна в рассматриваемой области G, то особые решения могут проходить только через те

уравнение имеет общее решение y = (x +C)3 – семейство кубических парабол – и очевидное

решение y ≡ 0 , проходящее через те точки, где производная ∂fy не ограничена. Решение y ≡ 0

∂

особое, так как через каждую его точку проходит и кубическая парабола, и сама прямая y = 0

. Таким образом, в каждой точке решения y ≡ 0 нарушается свойство единственности. Особое

решение y ≡ 0 не получается из решения y = (x +C)3 ни при каком числовом значении пара-

метра C (включая ±∞).

Из теоремы 3.1 можно вывести только необходимые условия для особого решения. Мно-

жество тех точек, где производная ∂fy не ограничена, если оно является кривой, может и не

∂

быть особым решением уже потому, что эта кривая, вообще говоря, не является интегральной кривой уравнения (2.2).

Итак, чтобы найти особые решения уравнения (2.2), надо

1) найти множество точек, где производная ∂fy обращается в бесконечность;

∂

2)если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверить, являются ли они интегральными кривыми уравнения (2.2);

3)если это интегральные кривые, проверить, нарушается ли в каждой их точке свойство единственности.

11