§ 2. Деформация призматического стержня

нию ε = — . Это отвлеченная величина, независящая от разме-

тельным поперечным сужением. Опытом установлено, что отно­ шение з, к ε имеет для каждого материала постоянное зна­ чение

£і

Ѵ- = ε (4)

Назовем величину μ коэффициентом поперечной деформа­ ции !. Он связывает поперечную деформацию с продольной де­ формацией при одноосном растяжении (или сжатии). Коэффи­ циент μ определяют из опытов на растяжение или сжатие путем измерения продольной и поперечной деформации при одной и той же нагрузке.

Значения коэффициента μ для некоторых материалов

З а в и с и м о с т ь м е ж д у н а п р я ж е н и е м и д е ф о р ­ м а ц и е й . Растягивая или сжимая стержень, легко обнаружить, что с увеличением силы N абсолютное удлинение стержня увели­ чивается. При одинаковой нагрузке у длинных стержней оно больше, чем у коротких. У стержней с одинаковой длиной и с различной площадью поперечного сечения абсолютное удлине­ ние тем меньше, чем больше площадь F. Опытами установлено, что в определенных границах нагрузки абсолютное удлинение

ΛI прямо пропорционально растягивающему усилию N и длине I стержня и обратно пропорционально площади F поперечного се­ чения:

Здесь - - является коэффициентом пропорциональности. Величи­

на Е называется модулем упругости при растяжении (сжатии) или модулем продольной упругости. Он характеризует способ­ ность данного материала деформироваться под действием нагруз­ ки. Деля обе части равенства (5) на первоначальную длину I, по-

N

лучаем относительное удлинение з = — .

1 Коэффициент μ называют коэффициентом Пуассона.

73

Произведение EF называется жесткостью стержня при ра­ стяжении и сжатии. Чем больше это произведение, тем меньше деформация, тем более жестким является данный стержень. Подставляя в выражение относительной деформации значение

σ = преобразуем формулу (5) к виду

который выражает в наиболее простой форме закон пропорцио­ нальности ‘. Этот закон, как указывалось, справедлив только в определенных пределах, о чем подробнее сказано ниже.

Модуль упругости имеет такую же размерность, как и напря­ жение [кг/см2], так как величина ε безразмерна. Значение моду­ ля Е определяется опытным путем.

Пример 1. Стальная труба, имеющая длину / = 2 д и площадь поперечного сечения F—2 см2, растянута силой N=2 т. Опреде­ лить абсолютное и относительное удлинения трубы.

Полагая модуль упругости £ = 2 -1 0 6 кг/см2, находим абсо­ лютное удлинение" по закону пропорциональности:

Относительное удлинение ε= -у-= — = 0,0005.

Следует обратить внимание на то, что абсолютные и относитель­ ные деформации очень малы.

Пример 2. Груз Р=8660 кг подвешен на двух одинаковых стальных стержнях 1 и 2 (фиг. 3.6). Дано: высота h —2 м, угол

Вырезая узел А (фиг. 3. 6,6) и рассматривая его равновесие, получаем два уравнения проекций:

N t sin а—УѴ2 sin α= 0,

cos α + Ν 2 COS α — Ρ = 0.

1 Закон пропорциональности, выражаемый формулой (5), был установ­ лен в 1678 г. Р. Гуком и называется законом Гука.

74

Отсюда находим

Фиг. 3.6. Пример расчета двухстержневого узла.

В результате удлинения стержней узел А опустится в по­ ложение А 1 (фиг. 3.6, б). Так как удлинения малы, можно принять, что: 1) новый угол между стержнями равен первона­ чальному а и 2) удлинения стержней АІ равны отрезкам AtB, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из точки А на новые положения стержней. Из треугольника ААХВ находим

о — — —— = s -------- — Ο ,ΐοο см , cosa 0,866

Задача 1. Брус АВ подвешен на двух одинаковых стержнях / и 2 (фиг. 3. 7) и нагружен силой Р=2> т. Дано: а= 2 м, 6= 1 м. длина стержней 1=1 м, допускаемое напряжение для стержней

75