Вопрос 28. Моменты инерции цилиндра, шара, стержня и других объектов.

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы  

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной однородный шар

Вывод формулы  

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте hот центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции шара найдём интегрированием:

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы  

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы  

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Вопрос 29. Кинетическая энергия твердого тела

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбраннойсистеме отсчёта. Простым языком, кинетическая энергия - это энергия, которую тело имеет только при движении. Когда тело не движется, кинетическая энергия равна нулю

1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, которые равны скорости движения центра масс. Следовательно, для любой точки   и Следовательно, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.

^ 2. Вращательное движение.  

При вращении тела вокруг оси   (рис. 27) скорость любой точки равна  , где   - расстояние точки mi до оси вращения ( лучше использовать r),   - угловая скорость чи тела. Подставим это значения в формулу для высления кинетической энергии и получим где   - момент инерции тела относительно оси вращения  . Следовательно, кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.  3. Плоское движение тела. Предположим, что при плоскопараллельном движении твердого тела его центр масс   движется в плоскости рисунка. Как известно из кинематики, это движение можно разложить на переносное поступательное движение вместе с центром масс и относительное движение по отношению к центру масс. В этом случае относительное движение - это вращение тела вокруг центральной оси  , которая проходит через центр масс   перпендикулярно плоскости рисунка. Здесь первое слагаемое - кинетическая энергия тела в поступательном движении вместе с центром масс, а второй - кинетическая энергия во вращении тела вокруг оси  .