727
.pdfЗадание 5. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:
|
|
xn |
|
(x 3)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
; б) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
n! |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Решение. а) |
|
|
. Используем признак Даламбера: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
un 1(x) |
lim |
|
(n 1)! |
lim |
|
xn x n! |
|
|
|
x |
|
lim |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
un (x) |
|
n |
|
|
xn |
|
|
|
|
n |
xn n! (n 1) |
|
|
|
|
|
n n 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 0 1. Значит, исследуемый степенной ряд сходится на всей числовой прямой.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
. Используем признак Даламбера: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 2n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
|
un 1(x) |
lim |
|
(n 1) 2n 1 |
|
|
lim |
|
(x 3)n (x 3) n 2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
un (x) |
|
|
|
(x 3)n |
|
|
|
|
(n 1) 2n 2 (x |
3)n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x 3) |
|
lim |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(x 3) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2(n 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
По условию признака Даламбера ряд сходится при |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
1, т.е. при |
|
x 3 |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
x 3 2 |
|
1 x 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Исследуем поведение ряда на концах интервала. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 3)n |
|
|
|
( 2)n |
|
|
( 1)n 2n |
|
( 1)n |
|
|
|
|||||||||||||||||
При x = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– знако- |
||||||||||||||||||||
|
n 2n |
|
2n |
|
n 2n |
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 n |
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
чередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.
|
(5 3)n |
|
2n |
|
1 |
|
При x = 5: |
|
|
|
|
|
– гармонический ряд, |
|
|
|
||||
n 1 |
n 2n |
n 1 n 2n |
n 1 n |
|
который расходится.
111
Значит, исследуемый степенной ряд сходится при 1 x 5.
Задание 6. Разложить функцию |
|
1 |
в ряд Макло- |
|
|
|
|||
x2 |
3x 2 |
|||
|
|
рена по степеням x, используя известные разложения, и указать область сходимости.
Решение. Учитывая, что x2 3x 2 (x 1)(x 2), разложим данную дробь на сумму простейших дробей:
1 |
|
1 |
1 |
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 2 |
(x 1)(x 2) |
x 2 |
x 1 |
Приведем каждую дробь к виду разложения (7.12)
1 |
|
1 x x2 x3 ... xn |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
1 x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 2 |
|
x 1 |
|
2 1 |
x |
|
1 |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
2n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n 0 |
|
|
|
2 4 |
|
|
... |
|
|
( 1 x 1) . |
||||
|
1 |
x |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 n 0 |
2 |
|
n 0 |
|
|
78 x2 ....
Разложение первой дроби пригодно, если |
x |
|
1, т.е. |
|
x |
|
2 ; |
|
|
|
|
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
второй дроби – если x 1. Общее разложение применимо в
том промежутке, где пригодны оба использованных разложения, т.е. при x 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание 7. Вычислить приближенно 5 35 |
|
со степенью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точности 10 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. Используем разложение (1 x)m (7.11) в би- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
номиальный ряд, для чего 5 35 представим в виде: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 35 5 32 3 5 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
5 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Составим разложение в ряд 5 |
1 x |
(1 x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5 |
по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
4 |
1 |
|
4 |
|
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(7.11): 5 |
|
1 |
1 |
x |
5 |
|
5 |
x2 |
|
5 |
5 |
|
5 |
|
x3 ... |
||||||||||||||||||||
1 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
5 |
5 |
|
xn ... |
||
|
|
|
|
|
n! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим x 3 :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
4 |
3 |
|
2 |
|
|
36 |
|
3 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
... |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5 35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
32 |
|
|
25 2 |
32 |
|
|
125 6 |
|
32 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
2 0,0375 0,00140625 2,0361. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
160 |
|
12800 |
|
2048000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. четвертый член разложения знакочередующегося сходящегося ряда (по признаку Лейбница)
2 81 0,000079 0,0001, ошибка не будет превышать пер-
2048000
вого из отброшенных членов ряда по абсолютной величине и имеет одинаковый с ним знак. Поэтому достаточно взять сумму первых трех слагаемых.
1
2
Задание 8. Вычислить интеграл x3arctgx dx с точностью
0
до 0,001.
Решение. Используем разложение arctg x (7.10) и умножим каждый его член на х3:
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
5 |
... ( 1)n 1 |
x |
2n 1 |
|
|
||
x3 arctg |
x x3 |
x |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
2n 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x4 |
x6 |
|
x8 |
|
x10 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем полученный сходящийся ряд в указанных
пределах, |
т.к. отрезок |
интегрирования |
0, |
1 |
|
принадлежит |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
области сходимости полученного ряда 1, 1 : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
x6 |
|
|
x8 |
x10 |
|
|
|
x5 |
|
x7 |
|
x9 |
|
x11 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
3 |
|
|
5 |
|
7 |
... dx |
|
|
|
|
... |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 21 45 77 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
... 0,00625 0,000372 ... 0,0063 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
25 5 |
|
|
|
|
|
29 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
27 |
|
21 |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. второй член разложения 0,000372<0,001.
113
Задание 9. Применяя метод последовательного дифференцирования, найти n членов разложения в степенной ряд
частного |
решения |
дифференциального |
уравнения |
y 3x4 y3 |
x 2 y2 3 |
при заданных начальных |
условиях |
y(0) 2, |
n 4. |
|
|
Решение.
Найдем несколько первых членов разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения первого поряд-
ка y 3x4 y3 |
x 2 y2 |
3. Так как по условию х0 = 0, искомое |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частное решение у(х) можно записать, используя разложение |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(8.3), так: y(x) y(0) |
y'(0) |
x |
y''(0) |
x2 ... |
y(n) (0) |
xn |
... |
(*) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем y(0), y (0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
По условию |
y(0) 2. |
Значение |
y'(0) |
|
найдем, |
подставив в |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данное уравнение начальные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 0 |
4 |
( 2) |
3 |
|
0 2 ( 2) |
2 |
|
3 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Последовательно дифференцируя данное уравнение и под- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ставляя х = х0 = 0, найдем y (0), y |
|
(0), y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 12x3 y3 9x4 y2 y 1 4yy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
12 0 |
3 |
|
|
|
|
3 |
9 |
0 |
4 |
( 2) |
2 |
|
5 |
|
1 4 ( 2) 5 41.. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y (0) |
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
36x |
2 |
y |
3 |
36x |
3 |
y |
2 |
|
|
(36x |
3 |
y |
2 |
18x |
4 |
|
|
|
|
9x |
4 |
y |
2 |
y |
|
|
|
4 yy |
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
yy ) y |
|
|
|
4y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ( 2) ( 41) 348. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(0) 0 0 (0 0) 5 0 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим найденные коэффициенты в разложение (*). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим искомое частное решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(x) 2 |
|
5x |
|
41x2 |
|
|
348x3 |
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 10. Исследовать на сходимость ряд с комплекс-
ными членами 1 i n .
n 1 2
114
Решение.
Для исследования на сходимость ряда
ним радикальный признак Коши:
|
1 |
i |
n |
||
|
|
||||
|
|
|
приме- |
||
|
|
||||
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
zn |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2 |
1 поэтому ряд абсолютно сходится. |
lim n |
|
zn |
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|||||
n |
|
|
|
|
n |
|
Задание 11. Найти область сходимости ряда с комплекс-
(1 i)n (z 1)n
ными членами . n 0 (n 1)(n 2)
Решение. Дан степенной ряд с комплексными членами. Для его исследования применим признак Даламбера:
(1 i)n 1(z 1)n 1
lim |
|
zn 1 |
|
lim |
|
|
(n 2)(n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
zn |
|
|
(1 i)n (z 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)(n 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
(1 i)n (1 i)(z 1)n (z 1)(n 1)(n 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 i)n (z 1)n (n 2)(n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 i)(z 1)(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
(1 i)(z 1) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n 3) |
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
12 ( 1)2 (z 1) |
1 |
|
2 |
|
(z 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому круг сходимости при |
|
2 |
(z 1) |
1 |
z 1 |
|
|
– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
круг с центром (–1; |
0) комплексной плоскости, радиуса |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
1 |
|
|
. Вне этого круга ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследуем границу круга сходимости |
|
z 1 |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 i)n |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ряд принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(n 1)(n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для его исследования составим сначала модуль комплексного числа 1– i: 1 i 12 ( 1)2 2 .
Составим ряд из модулей его членов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
|
2)n |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 0 (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, который сходится по |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1)(n 2) |
|
|
2 |
|
|
|
n 0 |
(n 1)(n 2) |
|
|
|
||||||||||||
предельному признаку сравнения: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||
lim |
|
(n 1)(n 2) |
|
lim |
|
|
|
|
1 0 const (сравнили со |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
(n |
1)(n 2) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
сходящимся обобщенным гармоническим рядом |
). |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
Значит, данный степенной ряд с комплексными членами на границе круга сходимости сходится.
Задание 12. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале длины периода. Построить график функции f(x). Найти сумму полученного ряда:
|
3, |
x 0, |
|
а) |
f (x) |
0 x ; |
б) |
|
4, |
|
Решение.
3,
а) Заданная функция f (x)
4,
2, 3 x 0, f (x) 2x 3, 0 x 3.
x 0,
0 x ; (рис. 20) име-
ет период 2 , удовлетворяет условиям разложимости в ряд
Фурье, т.к. на отрезке [ , ] имеет одну точку разрыва первого рода (при х = 0), а во всех других точках отрезка она непрерывна. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.1).
Найдем коэффициенты ее разложения.
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
3x |
|
0 |
|
|
|
|
a |
|
f (x)dx |
|
3dx |
|
4dx |
|
|
4x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 3 4 ) 1,
116
Рис. 20
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
an |
|
|
|
|
|
f (x) cos nx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( 3) cos nxdx 4cos nxdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
3sin nx |
|
0 4sin nx |
|
|
|
|
|
1 |
( 3sin 0 3sin( n) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4sin n 4sin 0) |
1 |
|
(0 0 0 0) 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
bn |
|
|
|
|
|
f (x)sin nx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( 3)sin nxdx 4sin nxdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
3cos nx |
|
0 4cos nx |
|
|
|
|
|
1 |
|
3cos 0 3cos( n) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4cos n 4cos 0 |
|
|
|
1 |
|
|
3 3cos n 4cos n 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, при n нечетном, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 cos n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, при n четном. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
разложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
имеет |
|
вид |
(10.1): |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
14 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
sin 5x ... . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В точках разрыва функции, т.е. в точках |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x n |
(n 0,1, 2,...) |
сумма ряда равна 3 4 |
|
1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
2, |
3 x 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) Заданная функция |
|
|
|
|
(рис. 21) имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3, 0 x 3 |
|
|
|
|
|
||||||
период 2l 6 l 3, |
удовлетворяет условиям разложимости |
в ряд Фурье. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.4).
117
Рис. 21
Найдем коэффициенты ее разложения.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a0 |
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
|
|
|
2dx |
(2x |
|
3)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
3 (x 3x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
0 6 9 9 0 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
an |
|
|
|
|
|
f (x) cos |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 cos |
|
|
|
|
|
dx (2x 3) cos |
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
l |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv cos |
nx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
интегрируем |
|
|
|
|
u 2x 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
по частям : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx |
|
v |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
nx |
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2x 3 |
sin nx |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
nx dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
0 sin( n) |
|
|
3 |
sin n 0 |
|
6 |
|
|
|
cos nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
n |
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n нечетном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n 1 |
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n четном. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
bn |
|
|
|
|
|
f (x) sin |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
dx (2x 3) sin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
l |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2x 3 |
|
dv sin |
nx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
интегрируем |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
по частям : |
|
|
|
|
|
du 2dx |
|
v |
|
cos |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 cos |
nx |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
nx |
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
nx dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
cos |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
2 |
|
|
1 cos( n) |
1 |
|
3cos n 3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
sin nx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
3 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
cos n |
|
6 |
|
|
|
|
sin n 0 |
1 |
|
|
(5 cos n) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
2n2 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
при n нечетном, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
при n четном. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда разложение функции имеет вид (10.4): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
f (x) 1 |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
... |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
6 |
|
1 |
|
|
|
2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
4 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
Разложить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
функцию |
|
|
f (x) x 5, |
|
0 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в ряд Фурье по косинусам и по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
синусам (продолжить функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чѐтным |
и |
нечѐтным |
|
|
|
способом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на симметричный интервал). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Построить график функции f(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
а) Чтобы получить разло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жение данной функции |
|
f (x) на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 22 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезке [0; 4] |
|
|
в ряд Фурье, со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
держащий только синусы, продолжим функцию на отрезке [ 4; 0] нечетным образом.
Получим нечетную функцию, совпадающую с данной на отрезке (рис. 22).
Для вычисления коэффициентов Фурье применим формулы
119
(10.6) при l 4 :
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
(x 5)sin |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv sin |
nx |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
интегрируем |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
du dx |
|
|
|
|
v |
cos |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4(x 5) |
cos nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
nx dx |
|
|
|
2 |
|
|
|
10 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
cos n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos n 5 |
|
8 |
|
|
sin n 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n2 |
|
|
4 |
|
0 |
|
n |
2n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n нечетном, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos n 5 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n четном. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, искомое разложение имеет вид: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
1 |
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f (x) |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
1 |
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
... . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) Чтобы получить разло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жение |
|
|
|
|
|
данной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) x 5 |
на отрезке [0; 4] |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд Фурье, содержащий только |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
косинусы, |
продолжим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на отрезке [ 4; 0] четным обра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зом. Получим четную функ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цию, совпадающую с данной на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 23 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезке [0; 4] (рис.23). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления коэффициентов Фурье применим формулы
(10.5) при l 4 : bn 0 ,
120