10546

Иногда по заданному углу между прямыми и известному угловому коэффициенту одной из прямых нужно найти угловой коэффициент другой прямой. Поэтому нужно быть внимательными при применении формулы (10.1). Чтобы подчеркнуть, какой угол вычисляется по этой формуле, в ней ставят стрелку, показывающую, что угол отсчитывается от прямой с угло-

Получить уравнение прямой, по которой направлен отражённый луч.

k3 = ?

L2

Рис. 10.2

Из аналогичной формулы для тангенса угла «отражения» α

отражённый луч. Находим координаты точки M0(−1,2) пересечения прямых L1 и L2 , решив систему уравнений

3x − 2y + 7 = 0x − 2y + 5 = 0.

Из уравнения пучка прямых y − y0 = k(x − x0 ) получаем уравнение искомой прямой 29x − 2y + 33 = 0.

71

Вернемся к формуле (10.1) и получим условия перпендикулярности

В последнем случае, если дополнительно b1 = b2 , то прямые L1 и L2 совпадают.

Пусть теперь прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Сведём вычисление угла α между прямыми к вычислению угла ϕ между нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми может быть только острым, а угол между векторами может быть и тупым. Поэтому, если угол ϕ между векторами N1 = { A1,B1} и N2 = { A2,B 2}

острый, то α = ϕ (см. рис.10.3).

Если же угол ϕмежду нормальными векторами тупой, то α = π − ϕ (см. рис. 10.4). Поскольку cosα = −cosϕ, то cosα =|cosϕ |. Таким образом, для вычисления угла между прямыми получаем формулу

72

ϕ α

L2

N1

Рис. 10.4

В частности:

L1 L2 A1A2 + B1B2 = 0;

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

A1 = B1 = C1 , (10.3)

A2 B2 C2

то эти прямые совпадают.

Обратим внимание на связь полученных условий взаимного расположения прямых с условиями разрешимости системы (10.2) двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель этой системы

то выполнено условие параллельности этих прямых. При этом возможны два случая. В первом, когда выполнено условие (10.3), прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений (координаты любой точки прямой дают решение системы). Отметим, что условие (10.3) означает, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы системы, т.е.

73

и согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна. Во втором случае, когда в условии (10.3) не выполнено второе равенство, прямые параллельны, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, и система несовместна.

10.2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми. Иногда при решении задач не следует спешить с нахождением точки пересечения двух прямых, решая систему уравнений (10.2), а лучше воспользоваться понятием пучка прямых, проходящих через точку пересечения этих прямых (в частности, когда нужно найти прямую, проходящую через точку пересечения данных прямых, и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию). Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых

A1x + B1 y + C1 = 0 , A2 x + B2 y + C2 = 0

имеет вид

Действительно, уравнение (10.4) – уравнение прямой. Так как точка пересечения этих прямых M0 (x0, y0 ) принадлежит каждой из этих прямых, то ее координаты обращают в ноль обе скобки в (10.4), а, значит, при любом λ прямая (10.4) проходит через точку M0 .

10.3. Расстояние от точки до прямой. Пусть требуется вычислить

ПустьM1(x1, y1)– проекция точкиM0 на прямую (см. рис. 10.5). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M0 на направление нормального вектора N ={ A,B} .

74

Найдём координаты точки M1(x1, y1). Для этого выразим вектор

M1M0 через найденное расстояниеd и единичный вектор N / | N |, нормальный кпрямой

Отсюда, приравнивая координаты векторов, получаем координаты точки M1(4,4) (см. рис. 10.6).

75

M0 (1,8)

Рис. 10.6

10.4. Линейные неравенства. В заключение этой лекции выясним геометрический смысл неравенства

Ax + By + C > 0. (10.7)Построим прямую

Ax + By + C = 0 (10.8)

и нормальный к ней вектор N ={ A,B} .Нас интересует множество точек

M(x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству (10.7). Возьмём на прямой (10.8) произвольную, но фиксированную точку M0 (x0 , y0 ).

N

ϕ

M(x, y)

M0

Рис. 10.7

Поскольку Ax0 + By0 + C = 0, то, выражая отсюда C и подставляя в (10.7), получим, что левая часть этого неравенства (10.7)равна скалярному произведению вектора N ={ A,B} на вектор M0M

76

< N,M0M > = A(x − x0 ) + B(y − y0 ) > 0 .

Итак, неравенству (10.7) удовлетворяют все точки плоскости, для которых угол между векторами N и M0M – острый. Из рисунка 10.7 видно, что все такие точки принадлежат одной полуплоскости. Чтобы выяснить, какая из двух полуплоскостей «отвечает» неравенству (10.7), достаточно проверить его выполнение для какой-нибудь одной точки из любой полуплоскости. Если координаты этой точки ему удовлетворяют, то и координаты всех точек полуплоскости, в которой выбрана «пробная» точка, будут его решениями, если нет – то нужная полуплоскость – другая.

77

Лекция 11. Плоскость

11.1. Различные виды уравнения плоскости. Перейдем теперь к изучению уравнений плоскости в пространстве. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем плоскость П , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости.

N

M0 900

M

Рис.11.1

Для этого зафиксируем какую-нибудь точку M0(x0 , y0 ,z0 ) П и возьмем вектор, перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой плоскости. Пусть это будет вектор N ={ A,B,C} . Очевидно, что для произволь-

ной точки M(x, y,z) П векторы M0M = { x − x0; y − y0;z − z0}и N перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю

< N,M0M > = 0

или в координатах

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 . (11.1)

Это и есть уравнение плоскости П , проходящей через заданную точку M0 (x0, y0,z0 ) перпендикулярно заданному вектору N ={ A,B,C}

.Раскрывая в (11.1) скобки, получим уравнение

Ax + By + Cz + D = 0, (11.2)

где для краткости обозначено D = −Ax0 − By0 − Cz0 . Уравнение (11.2) называют общим уравнением плоскости. Обратим внимание, что уравнение плоскости является линейным уравнением относительно переменных x, y,z, а коэффициенты при них – соответствующие координаты нормального вектора к этой плоскости.

78

Обратно, покажем, что уравнение вида(11.2) определяет плоскость и построим её. По данным числам A,B,C построим вектор N = { A,B,C} и

введем радиус-вектор r = { x, y,z} . Тогда уравнение (11.2) можно представить в виде

т.е. все радиус-векторы r = { x,y,z}, координаты которых удовлетворяют уравнению (11.2), имеют одну и ту же проекцию на вектор N = { A,B,C}. Это означает, что точки M(x, y,z) принадлежат плоскости, перпендику-

Отсюда следует алгоритм построения плоскости по заданному уравнению (11.2). Через начало координат проведем прямую в направлении

тивоположном направлении, если p < 0. Через конец этого отрезка P проводим перпендикулярно ему требуемую плоскость.

z

x

Рис. 11.2

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Пусть один из коэффициентов перед переменными в уравнении (11.2) равен нулю (например,C = 0). Тогда нормальный вектор этой плоскости

79

N ={A,B,0}. Это значит, что он перпендикулярен оси Oz , а плоскость параллельна этой оси

z

O

y

Рис. 11.3

Теперь пусть два каких-нибудь коэффициента перед переменными в уравнении(11.2) равны нулю (например, A = B = 0). Тогда нормальный вектор N ={0,0,C} перпендикулярен плоскости xO y , а плоскость параллельна этой координатной плоскости

zN ={0,0,C}

O y

x

Рис. 11.4

Рассмотрим ещё случай, когда в уравнении (11.2) D = 0. Это означает, что точка (0,0,0) принадлежит плоскости

Ax + By + Cz = 0

или, другими словами, эта плоскость проходит через начало координат. Для наглядного представления расположения этой плоскости найдем

её следы, т.е. линии пересечения с координатными плоскостями (см. рис. 11.5).

80