10546

пучка прямых y − y0 = k(x − x0 ) конкретного значения углового коэффи-

Под углом между кривыми в точке их пересечения естественно понимать наименьший из углов между касательными к кривым в этой точке. Тогда угол может быть вычислен как угол между двумя прямыми с заданными угловыми коэффициентами по формуле

tgϕ = k2 − k1 .

Вкачестве примера найдем, под каким углом пересекаются синусоида

икосинусоида. Задача сводится к нахождению значений производных

x

π π

42

Рис. 18.3

Вычисляем угловые коэффициенты касательных к заданным кривым в точке их пересечения

Отсюда

132

tgϕ = 22 + 22 = 22 ϕ ≈ 700 . 1− 0.5

18.4. Правила дифференцирования. Непосредственное нахождение производных некоторых функций представляет собой трудоемкую задачу. Поэтому выведем правила дифференцирования, которые значительно упростят ее.

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций

(u(x) + v(x))′ = u′(x) + v′(x) .

Действительно, приращение суммы равно

y = u(x + x) + v(x + x) − u(x) − v(x) = u(x + x) − u(x) + v(x + x) − v(x),

так как предел суммы равен сумме пределов и последние пределы существуют в силу предположения о дифференцируемости слагаемых.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции

133

Так как функция v(x) – дифференцируемая, то она непрерывная, поэтому последнее слагаемое в этой формуле равняется нулю и мы приходим к формуле (18.1).

В качестве следствия получим следующее правило: постоянный множитель при дифференцировании выносится за знак производной

(cf (x))′ = cf ′(x) .

Применим это правило для нахождения производной логарифмической функции с произвольным основанием 0, 1

Производная частного вычисляется по следующей формуле:

при условии, что знаменатель в данной точке не обращается в ноль. Действительно, выразим приращение частного через приращения делимого и делителя

Получите самостоятельно производную функции y = ctg x .

134

Лекция 19. Производная (продолжение)

19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций. Часто приходится находить производную так называемой сложной функции, представляющей собой «функцию от функции». Например,

x2 +1, sin(2x + 3), e− x2

или в общем виде

y = f (ϕ(x)) = F(x).

Эта функция представлена как суперпозиция (композиция)двух функций

y = f (u), u = u(x),

где «внешняя» функция f (u) – дифференцируемая функция промежуточной переменной u, а «внутренняя» функция u(x) – дифференцируемая функция независимой переменной x. Оказывается, что производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной

y′x = fu′(u(x))u′(x).

Это так называемое цепное правило доказывается следующим образом. Используя определение производной, получим

случае. Далее, многие элементарные функции определены как обратные функции к другим функциям, например, y = arcsin x , y = ln x.

Возникает вопрос: нельзя ли найти производную обратной функции, зная производную исходной функции? Оказывается, можно. А именно, если для функции y = f (x)(например, для y = arcsin x ) существует обратная

135

дополняют друг друга доπ/2, поэтому tgα tgβ =1. Это соотношение и выражает формулу дифференцирования обратной функции.

Найдём производную показательной функции y = ax , a > 0. Обратная для неё функция x = loga y . Применяя формулу (19.1)имеем

(xα )′ = (eαln x )′ = eαln xα 1 = αxα−1. x

19.2.Дифференцированиефункций, заданных параметрически. Касательная к параметрически заданной кривой. Получим теперь правило нахождения производной параметрически заданной функции. Такая функция, например, возникает в задаче о траектории фиксированной точки M окружности радиуса r , катящейся без скольжения по осиOx.

Пусть в начальный момент точка M находится в начале координат. В качестве параметра возьмем угол t , на который повернется радиус окружности O1O , приняв положение CM. Выразим координаты точки M(x, y) как функции параметра t . Из рисунка видно, что длина дуги MP равна

137

длине отрезка OP и равна rt . Следовательно, из треугольника MKC найдём

Выбранные границы изменения параметра соответствуют одному обороту окружности. Таким образом, мы получили зависимость переменной y от переменной x, выраженную не явно, а через промежуточный параметр t . График этой зависимости представлен на рис. 19.2, а кривая называется циклоидой. Название циклоида означает: «напоминающая о кру-

иметь достаточно сложный вид, поэтому возникает необходимость в нахождении производной y как функции переменной xна основе параметрического задания функции.

Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть функция y = f (x) задана параметрически

Здесь мы использовали то, что в силу непрерывности обратной функции к ϕ(t) из x → 0 следует t → 0.

Задача. Получить уравнение касательной к циклоиде. Пусть окружность радиуса r =1совершила одну шестую часть оборота. Найдем уравнение касательной в соответствующей точке траектории. Одна шестая часть оборота окружности соответствует значению параметра t0 = π/3, а

y0 = y(t0 ) =1− cost t=π/3 = 0,5. Производную y′x находим как производную функции заданной параметрически

138

Рис. 19.3

19.3. Производная функции, заданной неявно. Касательная к неявно заданной кривой. Рассмотрим случай, когда функция задана неявно. Пример такой функции y = f (x) дается уравнением

x2 + y2 =1( y > 0). a2 b2

Графиком этой функции служит верхняя половина эллипса. Покажем, как находить производную этой функции, не выражая явно y через x (для некоторых неявно заданных функций такое вообще невозможно). Продифференцируем это уравнением по переменной x , считая, что переменная y является функцией x

19.4. Логарифмическое дифференцирование. Применим метод нахождения производной неявно заданной функции к выводу производной показательно-степенной функции вида

y = u(x)v(x) .

Прологарифмируем обе части этого равенства, опуская для краткости аргумент

ln y = vlnu.

Найдем теперь y′(x) как производную неявно заданной функции

140