10546
.pdfгде символ означает «тогда и только тогда», а читается «для всех».
1.2. Сложение матриц и умножение на число. Сумма (разность) двух матриц A и B одинакового размера определяется следующим образом
A± B =|| aij ± bij ||.
Поскольку введенные операции сводятся к соответствующим операциям над элементами матриц, то следующие законы сложения очевидны:
A+ B = B + A, A+ (B + C) = (A+ B) + C , A+ 0 = A,
где символом «0» обозначена нулевая матрица соответствующего размера, все элементы которой равны нулю.
Для умножения матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число:
a |
a |
|
|
λa |
λa |
|
, A λ = λ A = |
|
λaij |
|
|
|
|
|
|||||||||
λ 11 |
12 |
|
= |
11 |
12 |
|
|
|
. |
||
a21 |
a22 |
|
λa21 |
λa22 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его можно выносить за знак матрицы. При умножении матрицы на нуль получается нулевая матрица. Имеют место следующие свойства операции умножения матрицы на число:
1 A = A, 0 A = 0,λ1 (λ2 A)= λ2 (λ1A)= (λ1λ2 )A,
λ(A + B) = λA + λB ,(λ1 + λ2 )A = λ1 A + λ2 A.
1.3. Умножение матриц. Произведением матрицы A из m строк и k
столбцов на матрицу B изk строк и n столбцов называется матрица
C = A B
a11 |
a12 |
… a2k |
|
b11 |
||
a |
a |
… a |
|
|||
|
… |
… |
… … |
|
b |
|
|
21 |
22 |
2k |
|
|
|
|
|
ai2 |
… aik |
|
21 |
|
ai1 |
|
|
… |
|||
|
… … … … |
|
bk1 |
|||
|
|
am2 |
|
|
|
|
am1 |
… amk |
|
|
|||
… b |
… b |
|
|
c11 |
|
1 j |
1n |
|
|
|
|
… b2 j |
… b2n |
= |
ci1 |
||
… … … … |
|
|
|
||
… b |
… b |
|
|
|
|
kj |
kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
cm1 |
|
c c
1j
cij cin ,
cmj cmn1n
имеющаяm строк и n столбцов, элемент которой cij , стоящий на
11
пересечении строки i со столбцом j , равен сумме произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B
cij = ai1b1 j + ai2b2 j +…+ aikbkj .
Обратим внимание на то, что число столбцов первого сомножителя должно равняться числу строк второго сомножителя.
1 2 |
5 |
6 |
1 5 + 2 7 |
1 6 + 2 8 |
19 |
22 |
|||||||
Пример. |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
||
3 4 |
7 |
8 |
3 5 |
+ 4 |
7 |
3 6 + 4 8 |
|
|
43 |
50 |
|||
5 |
6 1 |
2 |
5 1+ 6 3 |
5 2 + 6 4 |
|
23 |
34 |
||||||
|
|
|
= |
|
|
3 7 |
2 +8 |
|
= |
|
. |
||
7 |
8 3 |
4 |
7 1+8 |
4 |
|
31 |
46 |
||||||
Отсюда видно, что |
A B ≠ B A. И, вообще, из существования произведения |
||||||||||||
A B совсем не следует существование произведения B A. |
|
||||||||||||
Единичная матрица порядка n – это квадратная матрица |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E = ... ... |
... ... |
... |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
... |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, играет роль «единицы» в алгебре матриц, ибо A E = E A, например:
a |
a |
|
1 |
0 |
a |
a |
|
||
11 |
12 |
|
|
|
|
|
= 11 |
12 |
. |
a21 |
a22 |
|
0 |
1 |
|
a21 |
a22 |
||
1.4. Матрицы и линейные преобразования. Для «оправдания» определения операции умножения матриц рассмотрим связь между матрицами и
линейными преобразованиями.
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xOy . Поставим в соответствие произвольной точке плоскости с координата-
ми (x, y) точку (x′, y′)плоскости x′O′y′,координаты которой определяются следующими линейными соотношениями
12
x′ = a11x + a12 y
y′ = a21x + a22 y,
Задающими так называемое линейное преобразование плоскости. Очевидно, что такое преобразование однозначно определяется его матрицей
a |
a |
|
A = 11 |
12 |
. |
a |
a |
|
21 |
22 |
|
Рассмотрим несколько примеров таких преобразований. Пусть преобразование задано следующим образом:
x′ = x′ = βy y
x′ =1 x + 0 y
или, подробнее, .
y′ = 0 x + β y
1 |
0 |
|
Соответствующая ему матрица A = |
β |
. Это преобразование – «сжатие» |
0 |
|
|
вдоль оси Oy (или к оси Ox ) с коэффициентом β >1(см. рис. 1.1). |
||
y |
|
y′ |
1 1
|
|
|
x |
|
|
|
x′ |
O |
|
1 |
O′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.1 |
|
|
|
|
Преобразование |
x′ = αx |
α |
0 |
|
является «сжатием» |
||
|
с матрицей |
A = |
|
|
|||
|
|
y′ = y |
0 |
1 |
|
|
|
вдоль оси Ox (или к оси Oy). |
|
|
|
|
|||
Матрица |
α |
0 |
соответствует «деформации» плоскости одновре- |
||||
A = |
|
||||||
|
0 |
β |
|
|
|
|
|
менно вдоль оси Ox и Oy.
13
Единичная матрица |
|
1 |
0 |
|
задает тождественное преобразование |
E = |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
{ x′ = x
плоскости y′ = y .
В качестве упражнения напишите формулы преобразования, которое произвольную точку «переводит» в точку, симметричную ей относительно начала координат, и получите соответствующую матрицу.
Аналогичным образом можно интерпретировать линейные преобразования для трех переменных
x′ = a11x + a12 y + a13z
′ = + +
y a21x a22 y a23z .z′ = a31x + a32 y + a33z
Правило умножения матриц естественным образом возникает при решении следующей задачи. Пусть линейное преобразование
|
|
|
|
|
|
x′ = b x + b y |
||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = b21x + b22 y |
||
с матрицей |
B = |
b |
b |
|
|
переводит точку (x, y) в точку (x′, y′), а линейное |
||
11 |
12 |
|
|
|||||
|
|
b21 |
b22 |
|
|
|
|
|
преобразование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′′ = a x′ + a y′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ = a21x′ + a22 y′ |
||
с матрицей |
|
a |
a |
|
|
переводит точку |
(x′, y′) в точку (x′′, y′′). Эти два |
|
A = 11 |
12 |
|
||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
||
преобразования, проведенные друг за другом, переводят точку (x, y) в точку
(x′′, y′′). Очевидно, что результат этих преобразований тоже линейное преоб-
разование. Какова его матрица?
Выразим координаты точки (x′′, y′′) через координаты исходной точки (x, y)
x′′ =
y′′ =
a11 (b11x + b12 y) + a12 (b21x + b22 y) = (a11b11 + a12b21 )x + (a11b12 + a12b22 ) y a21 (b11x + b12 y)+ a22 (b21x + b22 y) = (a21b11 + a22b21 )x + (a21b12 + a22b22 )y
14
Таким образом, матрица результирующего преобразования равна произведению матриц A B исходных преобразований, взятых в соответствующем порядке, т.е.
a |
a |
|
b |
b |
|
a b |
+ a b |
a b |
+ a b |
|
11 |
12 |
|
11 |
12 |
|
= 11 11 |
12 21 |
11 12 |
12 22 |
. |
a21 |
a22 |
b21 |
b22 |
a21b11 |
+ a22b21 |
a21b12 |
+ a22b22 |
|
||
Введенные выше матричные операции обладают следующими свойствами:
(A B) C = A (B C)
α(A B)= (αA) B = A (α B) (A+ B) C = A C + B C.
Определим операцию транспонирования матрицы как замену в ней строк на соответствующие столбцы и наоборот
a |
a … a |
|
|
a |
a |
… a |
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
11 |
21 |
|
m1 |
|
a21 |
a22… a2n |
|
T |
a12 |
a22 … am2 |
||||
A = … … |
… |
, |
A |
= … … |
… |
. |
|||
a |
a |
… a |
|
|
a |
a |
… a |
mn |
|
m1 |
m2 |
mn |
|
|
1n |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матричные операции позволяют, в частности, компактно записывать так называемые квадратичные формы, т.е. выражения вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ x2 |
+ x2 |
= (x x x |
) x |
= XT X , |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
x |
2 |
X = x |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x3 |
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
2 |
+ 2bxy + cy |
2 |
= (x |
a b x |
= X |
T |
AX , |
a b |
X |
x |
|||||||
|
|
y) |
|
|
|
A = |
|
= |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b c y |
|
|
|
|
|
b c |
|
y |
||||
Далее мы продолжим изложение матричной алгебры и определим операцию обращения квадратной матрицы, но прежде нам потребуется ввести понятие определителя матрицы.
15
Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц
Удачные обозначения обладают утончённостью и будят мысль, порой делая это, кажется почти так же, как искусный учитель.
Бертран Рассел (1872-1970гг.)
2.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными.Уже при решении уравнения первой степени
a x = b
возможны три случая:
•если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x = ba ;
•если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение не имеет решения;
•если a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.к. равенство 0 x = 0 выполняется при любых значениях x .
Оказывается, что такие же случаи имеют место при решении системы уравнений с большим числом неизвестных. В стандартной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид
|
a x + b y = c |
(2.1) |
||
|
1 |
1 |
1 , |
|
|
a2x + b2 y = c2 |
|
||
где коэффициенты a1 ,a2 иb1 ,b2 при неизвестных x и y, а также правые части уравнений c1 и c2 – заданные действительные числа.
Решением системы (2.1) называется такая пара чисел x = α , y = β, которая оба уравнения системы (2.1) обращает в тождества. В этом случае говорят, что пара чисел (α,β) «удовлетворяет» системе уравнений (2.1), а система уравнений называется совместной. Если система уравнений не имеет решений, то она называется несовместной. Эта терминология относится к системам произвольного числа уравнений.
Существует несколько способов нахождения решения системы, если оно существует. Проделаем следующие операции:
|
a x + b y = c |
|
b |
||
|
|||||
− |
1 |
1 |
1 |
|
2 . |
a2 x + b2 y = c2 |
|
b1 |
|||
В результате получим
x(a1b2 − a2b1) = c1b2 − c2b1 .
Если число a1b2 − a2b1 ≠ 0, то
16
x = c1b2 − c2b1 (2.2) a1b2 − a2b1
Аналогичным образом, исключая из системы неизвестное x (проверьте!), получим
y = |
a1c2 |
− a2c1 |
. |
(2.3) |
|
|
|||
|
a1b2 |
− a2b1 |
|
|
Формулы (2.2) и (2.3) достаточно громоздки, и от их вида «в глазах рябит». Вот здесь и приходят на помощь те «удачные обозначения», о которых говорил Б. Рассел. Выпишем коэффициенты при неизвестных в виде следующей матрицы:
a |
b |
|
A = 1 |
1 |
. |
a2 |
b2 |
|
Число (A) = a1b2 − a2b1 называется определителем матрицы A и обозначается следующим образом:
a1 |
b1 |
= (A) = a b − a b . |
|||
a2 |
b2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
Для удобства в обозначение определителя включена матрица, которой он соответствует.
Вычислим ещё два определителя матриц, полученных из матрицы A путем замены ее первого и соответственно второго столбца на столбец правой части системы, т.е.
|
= |
c1 |
b1 |
= c b − c b , |
|
= |
|
|
a1 |
c1 |
= a c − c a . |
||||||||||||||||
x |
|
c b |
|
1 2 2 1 |
y |
|
|
|
|
a c |
1 2 1 2 |
||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
Тогда формулы (2.2) и (2.3) в случае, когда |
|
|
|
|
≠ 0, можно представить в ви- |
||||||||||||||||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x = |
|
|
c2 |
b2 |
|
|
|
= |
x |
, |
y = |
|
|
a2 |
c2 |
|
|
= |
y |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a1 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||
17
Эти формулы связаны с именем швейцарского математика Г. Крамера (1704-1752гг.). Сама идея определителя появилась ещё у Г. Лейбница (1646-1716гг.), а название дал в 1812г. О. Коши (1789-1857гг.). Это название довольно естественно: определители , x и y полностью
определяются системой уравнений и, наоборот, по заданным определителям (в принятых обозначениях) можно «восстановить» систему уравнений.
Исследуем полученные формулы. Будем предполагать, что не все коэффициенты при неизвестных одновременно равны нулю. В противном случае система (2.1) примет вид
0 |
x + 0 y = c |
|
1 .(2.4) |
0 |
x + 0 y = c2 |
Тогда, если c1 = c2 = 0 , то решением является любая пара чисел; если же хотя бы одно из чисел c1 или c2 отлично от нуля, то система (2.4) не имеет решений и называется несовместной.
Учитывая принятые обозначения для определителей, имеем два уравнения
|
x = |
x |
|
|
y = |
|
, |
|
y |
|
при условии, что не все входящие в эти уравнения определители равны нулю, или одно из этих уравнений, если все эти определители равны нулю.
Отсюда получаем следующие утверждения:
•если определитель ≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера
x = x , y = y ;
•если определитель = 0 и хотя бы один из определителей x или y отличен от нуля, то система несовместна (пусть, для определённости,
= 0 и x ≠ 0 , тогда получим противоречивое равенство 0 x = x ≠ 0);
•если все три определителя системы равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений: x – любое, а y выражается через x из любого уравнения исходной системы или наоборот: y – любое, а x выражается через y из любого уравнения системы.
Отметим, что определитель обращается в нуль, когда a1b2 − a2b1 = 0 , т.е. элементы какой-то строки (столбца) равны нулю или элементы строк (столбцов) пропорциональны
18
a1 = b1 . a2 b2
С учетом этого переформулируем приведенные выше утверждения в терминах коэффициентов системы:
•если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е.
a1 |
≠ |
b1 |
или a b |
− a b |
≠ 0, то система имеет единственное решение; |
||
|
|
||||||
a2 |
|
b2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
•если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам,
a1 |
= |
b1 |
≠ |
c1 |
( = 0, |
|
≠ 0), или |
|
≠ 0 |
или оба не равны нулю, |
|
a2 |
b2 |
c2 |
x |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то система несовместна;
•если коэффициенты при неизвестных пропорциональны и пропорциональны свободным членам,
a1 |
= |
b1 |
= |
c1 |
( = 0, |
x = 0, |
y = 0), |
|
a |
b |
c |
||||||
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||
то система имеет бесчисленное множество решений.
Эти утверждения становятся очевидными, если вспомнить, что каждое уравнение первой степени задаёт прямую в плоскости xOy , и решить систему (2.1), значит найти общие точки двух прямых. В первом случае прямые пересекаются в одной точке, координаты которой и будут решением системы, во втором – прямые параллельны (решения нет) и, наконец, в третьем случае прямые совпадают, и координаты любой точки на этой общей прямой будут решением системы.
2.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными. Выше мы показали, как вычисляется определитель матрицы второго порядка
(A) = |
a1 |
b1 |
= a b − a b . |
|||
|
a2 |
b2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||
Для вычисления определителя матрицы третьего порядка
|
a11 |
a12 |
|
A = |
a |
21 |
a |
|
|
22 |
|
|
|
|
a32 |
|
a31 |
||
a13 a23 a33
нам потребуются понятия минора и алгебраического дополнения.
19
Пусть мы выбрали некоторый элементaij (этот элемент стоит на пересечении строки i со столбцом j ; пара (i j) его «адрес» в матрице). Вычеркнем теперь строку i и столбец j , где стоит этот элемент, и получим определитель второго порядка. Его называют дополнительным минором элементаaij (или просто минором) и обозначают Mij . Алгебраическим дополнением элемента aij назовем величину
Aij = (−1)i+ j Mij.
Таким образом, алгебраическое дополнение – это минор с соответствующим знаком (+) или (–). Знаки алгебраических дополнений элементов определителя легко определяются просто «глядя» на этот определитель. При этом полезно иметь в виду следующую схему
+− +
− + − ,
+− +
где знаком (+) отмечены места тех элементов, алгебраические дополнения которых равны минорам, взятым с их собственными знаками.
Теперь мы можем дать правило вычисления определителя матрицы третьего порядка
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = (A) = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 , i =1,2,3,
a31 a32 a33
т.е. определитель равняется сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения. Это правило называют разложением определителя по элементам строки.
Оказывается, что разложение по столбцам дает тот же результат:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = (A) = a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j , j =1,2,3.
a31 a32 a33
Где гарантия, что в результате будет получаться одно и то же число? Оказывается, что справедливо следующее утверждение.
20