9278
.pdf80
Это есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа,
которое означает: давление в газе пропорционально средней энергии теплового движения молекул и числу молекул в единице объема.
§ 6. Средняя квадратичная скорость. Распределение Максвелла молекул по скоростям
Выше мы говорили о средней энергии теплового движения молекул. Дело в том, что молекулы движутся неупорядоченно, т.е. их скорости имеют не только случайные направления, но и величину. Спрашивается: какой смысл имеет величина υ2, если разные молекулы имеют разные значения скорости?
Если газ содержит N молекул и занимает объем V, то концентрация молекул равна n=N/V. Предположим, что N1 молекул имеют величину скорости, равную υ1,
N2 молекул - скорость υ2… Nk молекул – значение скорости υk. Естественно, что
N1 + N2 + … +Nk = N. В таком случае число молекул первой группы N1',
достигающих площадки ∆S за время ∆t, будет равно: k′ = ^h
W x .
Та же величина для молекул второй группы будет k′! = 16 k}! ! ,
далее до молекул k-й группы, из которых достигнет площадки за время ∆t: k′Ž = 16 k}Ž Ž .
Изменение импульса молекулы каждой группы также будет различным: 2< , 2< !,…, 2< Ž. Поэтому суммарное изменение импульса следует записать в виде
суммы:
Δo = Δo + Δo! + + ΔoŽ = 2< p kJ + !kJ! + + ŽkJŽr = k! ! + + kŽ !)
! Ž ,
то есть вместо формулы (5.1) получим выражение:
†• (k ! +
x
81
= = †x• (k ! + k! !! + + kŽ Ž!).
Учитывая, что n=N/V и сравнивая полученное выражение с формулой (5.1), придем к выводу, что под υ2 следует понимать сумму:
( кв)! = |
^h‘h,’^,‘,,’ ’^“‘, |
^h |
^, |
^“ |
Ž! |
. |
(6.1) |
|
^ |
“ = ^ |
! + ^ |
!! + + ^ |
|
|
|||
Таким образом, при упрощенном выводе формулы (5.1) мы заменили реальные скорости частиц некоторой средней скоростью, которая согласно только что полученной формуле, является средней квадратичной скоростью, квадрат которой равен среднему арифметическому квадратов скоростей всех молекул газа. Средняя энергия теплового движения молекул равна кинетической энергии молекулы,
движущейся со средней квадратичной скоростью.
В действительности молекулы могут иметь не дискретные, а непрерывные значения скоростей. Следовательно, в реальности число групп k молекул, имеющих разные скорости, бесконечно велико k→∞. В этом случае относительные доли числа молекул N1/N, N2/N, …, имеющих соответствующие скорости, следует
заменить аналогичной величиной dF(υ):
F;( ) =
которая равна числу молекул, имеющих величину модуля скорости большую υ-dυ, и меньшую υ+dυ, деленную на полное число частиц. Понятно, что чем больше величина dυ, тем больше dF(υ): dF(υ)=f(υ) dυ, где f(υ) - функция, характеризующая распределение молекул по величине скорости.
С учетом сказанного формула (6.1) в этом случае может быть переписана в
виде (сумма преобразуется в интеграл): |
|
( кв)2 = ^ ” !Fk( ) = ^ ” !F;( ) = ”– !F•( )F , |
(6.2) |
причем интегрирование проводится по всем возможным значениям модуля скорости. В случае идеального газа, находящегося в тепловом равновесии, функция f(υ) была
получена Дж. Максвеллом и имеет вид:
•( ) = 4— ˜!™šy[ › /! exp˜− !šy[‘,› ∙ !,
где µ - молярная образом, величина значением:
( кв)!
|
|
|
82 |
|
|
масса |
газа, |
а T - |
равновесная |
температура. |
Таким |
( кв)! |
для |
одноатомного идеального газа определится |
|||
= 4— ˜ |
m |
› /! Ÿ– |
• ∙ exp − m ! |
¡ F = 3~t. |
|
|
2—~t |
|
2~t |
m |
|
Таким образом, средняя квадратичная скорость молекул одноатомного газа равна:
кв = ¢ šy[ .
Далее мы получим этот результат элементарными методами, что показывает справедливость упрощенного подхода, примененного при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории.
§ 7. Сопоставление с уравнением Клапейрона-Менделеева
Воспользовавшись тем, что концентрация молекул n=N/V, основное уравнение
молекулярно-кинетической теории можно записать в виде:
=} = 23 k•.
Сравнивая это выражение с уравнением состояния идеального газа (4.107, приходим
к выводу, что:
• = 32 <m ~tk .
С другой стороны, число молекул газа можно выразить через число молей и число |
|||
Авогадро: |
k = £ ∙ kl = †[ |
∙ kl. Поэтому для средней кинетической |
энергии |
молекул получим формулу: |
• = ! šy^_. |
|
|
|
|
(7.1) |
|
Напомним, что согласно формуле (4.7), универсальная газовая постоянная R относится к одному молю газа, содержащему Nа молекул. Из последнего выражения видно, что удобно ввести новую постоянную k, представляющую собой универсальную газовую постоянную в расчете на одну молекулу:
|
83 |
|
|
š |
= 1.38 ∙ 10! |
Дж |
(7.2) |
: = ^_ |
¤ |
|
|
Фундаментальная постоянная k называется постоянной Больцмана. |
|
||
Теперь формулу (7.1) можно записать в виде: |
|
|
|
|
• = ! :t. |
|
(7.3) |
Интересно, что средняя кинетическая энергия молекул газа определяется только температурой газа. Следовательно, если два газа имеют молекулы разной массы, то среднеквадратичная скорость больше у газа с более легкими молекулами.
В заключение данного пункта приведем альтернативную форму уравнения состояния идеального газа, которую можно получить, если в уравнении (4.10) заменить универсальную газовую постоянную, воспользовавшись выражением
(7.2):
р=nkT. |
(7.4) |
Такое же соотношение получится, если подставить величину ε из формулы (7.3)
восновное уравнение молекулярно-кинетической теории.
§8. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Внутренняя
энергия идеального газа
Как было показано ранее, средняя кинетическая энергия ε поступательного движения молекулы идеального газа может быть выражена через среднюю квадратичную скорость υ:
•= †•!‘,.
Сдругой стороны, квадрат любого вектора можно представить, как сумму квадратов
его координат: |
! = ! + ¥! + ¦!. |
|
|
! = ¥! = ¦!. |
|
Беспорядочность движения по всем направлениям означает, что |
||
Следовательно, ! = ¥! = ¦! = ‘,.
84
! |
! |
! |
С другой стороны, величины †•‘§,, |
†•‘¨,, |
†•‘©, представляют собой энергию |
поступательного движения вдоль каждой из трех осей координат или энергию, приходящуюся на одну степень свободы.
Числом степеней свободы называется число независимых координат,
которые необходимо задать для определения положения тела в пространстве.
Положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами - тремя степенями свободы. Для того, чтобы задать положение гантельки (т.е. тела, состоящего из двух жестко связанных материальных точек), необходимо задать положение ее центра масс (три координаты) и еще два угла, которые составляет ось гантельки с двумя из осей координат (угол с третьей осью координат не является независимым) - 5 степеней свободы. В общем случае несимметричное твердое тело имеет 6 степеней свободы.
В случае поступательного движения молекул газа, как мы уяснили, на каждую
степень свободы приходится 1/3 общей энергии молекулы, т.е.
• = :t
! .
Если молекула состоит из двух и более атомов, полное число степеней свободы i увеличивается:
i = iпост + iвр.
При этом в тепловом равновесии на каждую степень свободы по-прежнему будет
приходиться энергия ε0. Таким образом, с учетом возможности вращательного
движения сложных молекул средняя энергия ε движения одной молекулы равна:
• = • ∙ ª = ª :t
2 , i = iпост + iвр.
Из сказанного ясно, что энергия движения двухатомных молекул равна 5:t/2 (iвр = 2), а трех и более атомных молекул - 3kT (iвр=3).
Внутренняя энергия идеального газа. Как уже говорилось, расстояние между молекулами газа при нормальных условиях примерно в 10 раз больше характерного размера молекул. Это означает, что молекулы находятся далеко друг от друга и силой взаимодействия между ними, а, следовательно, энергией их взаимодействия можно
85 |
|
пренебречь. Именно такая модель невзаимодействующих |
молекул |
соответствует идеальному газу. |
|
Внутренняя энергия идеального газа представляет собой суммарную кинетическую энергию всех молекул данной массы газа.
Средняя кинетическая энергия одной молекулы равна
• = E :t
! ,
где i - число степеней свободы.
I = 3 - для газов, молекулы которых состоят из одного атома и не имеют вращательных степеней свободы (это имеет место для всех инертных газов, например, He;
I = 5 -для O2, N2, H2 и большинства других простых газов, имеющих двухатомные молекулы;
I = 6 - для CO2, паров воды H2O и других газов, имеющих трех-и более атомные молекулы.
Поскольку в одном моле газа содержится Nа молекул, внутренняя энергия
одного моля газа равна:
«[ = kl ∙ • = ª ∙ kl ∙ :t2 = ª~t2 .
Если масса газа равна m, это составляет ν=m/μ молей. Следовательно, внутренняя энергия «† массы m газа определится формулой:
«† = £ ∙ «[ = E † ~t
! [ .
Важно! Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не меняется при изменении объема и давления (если при этом T=const).
86
Примеры решения задач
Задача 1. Определить плотность кислорода при давлении 1.3 ∙ 107 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул равна 1.4 ∙ 10 м/с.
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
®! |
|
|
|
Давление газа, согласно МКТ, определяется как: |
||||||||||||
= = 1.3 ∙ 107 Па |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = { ∙ < ! . |
|||||
кв = 1.4 ∙ 10 м/с |
|
|
|
Запишем массу молекулы: |
|
†, где m – общая масса |
||||||||||
__________________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< = ^ |
|
|
¯− ? |
|
|
|
кислорода, N – число молекул, содержащихся в массе m. |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Концентрация кислорода |
|
|
|
: { = ^x, где объем кислорода V можно записать через |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
массу и плотность: } = †± . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда концентрация: { = ^x = †^ ¯. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим массу < и концентрацию { в уравнение для давления: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
k < |
∙ |
! |
1 |
∙ ¯ |
! |
|
|||
|
|
|
= = 3 |
∙ < ¯ ∙ k |
|
= 3 |
|
|
||||||||
Отсюда искомая плотность: |
q |
∙ . ∙ € |
Па |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
¯ = |
, |
0.2 кг/м |
. |
||||||||||
|
|
|
‘ |
, = |
f |
, |
|
, |
/с |
|
||||||
Ответ: ¯ 0.2 кг/м . |
|
|
|
( .•∙ ) |
|
м |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 2. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю квадратичную скорость молекул водорода при температуре 27°С.
²!
Дано:
= 27
кв − ?
Решение:
• = E :t
Средняя кинетическая энергия молекул газа: ! .
Водород – двухатомный газ, ª = 5. Переведём температуру в Кельвины:
87
t = + 273 = 27 + 273 = 300 ³
С учетом того, что постоянная Больцмана
: = 1.38 ∙ 10i! Дж/К,
средняя кинетическая энергия:
• = 7 ∙ 1.38 ∙ 10i! Дж/К ∙ 300 К = 1.035 ∙ 10! Дж
! .
Средняя квадратичная скорость:
ср = ¢ šy[ .
Для водорода m = 2 ∙ 10i кг/моль. Получим:
ср = ¢∙6.∙ 1934 м/с !∙gf .
Ответ: • = 1.035 ∙ 10! Дж, ср 1934 м/с.
Задача 3. Из баллона со сжатым водородом емкостью 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре 7° C манометр показывал давление 105 Па. Через некоторое время, при температуре 14°C, манометр показал такое же давление. Определить утечку газа, считая газ идеальным.
Дано:
²}!= 10 л= 7! = 14
= = 107 Па
Решение: |
|
|
|
|
|
Заметим, что объем баллона не меняется: |
м |
|
|||
|
|
i! |
|||
|
|
< |
|
|
|
Запишем уравнение} = }состояния! = } = 10долутечки= 10 |
: |
|
|||
|
= } = |
m ~t (1) |
|
|
|
и после утечки: |
|
<! |
|
|
|
|
= } = |
m ~t! (2) |
|
|
|
В уравнениях (1) и (2) равны левые части, значит равны и правые:
†h ~t = †, ~t! <! = < yh
[ [ , значит y,
С другой стороны, масса m1 газа до утечки может быть найдена из (1):
88
<= = }m
~t
Следовательно, можно найти массу газа, покинувшего баллон:
∆< = < − <! = < − < tt! = < ´1 − tt!µ = =~t}m ´1 − tt!µ
Подставляя данные, получим: ∆< = 1.05 ∙ 10iW кг
Ответ: ∆< = 1.05 ∙ 10iW кг.
Задача 3. Какую температуру T имеет азот массой 2 г, занимающего объем 820 см3 при давлении 0,2 МПа? Газ рассматривать как а) идеальный; б) реальный.
Дано:
N2
m= 2 г = 2·10-3кг
V= 820 см3 = 8,2·10-4м3 Р= 0.2 МПа = 2·105 Па
_____________________
Та, Тб=?
Решение
Найдем молярную массу азота: µ=2,8·10-2кг/моль. Случай а). Для идеального газа можно использовать уравнение Менделеева-Клайперона:
pV = mμ RTa
Отсюда выразим температуру:
|
|
T = μ pV |
, |
|
|
|
|
a |
mR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8 ×102 |
×8.2 ×10−4 × 2 ×105 |
|||
T = |
|
|
|
|
= 280К . |
|
×10−3 ×8.31 |
|
|||
a |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||
Случай б). Для реального газа запишем уравнение Ван-Дер-Ваальса:
|
aν 2 |
|
|
p + |
|
|
(V |
|
2 |
||
|
V |
|
|
|
|
|
|
−νb)=νRTб |
ν = |
m |
|
|
μ . |
||||
, |
|
|||
Значения параметров а и b определим по критическим параметрам для азота:
b = |
RT |
|
|
a = |
27R 2T 2 |
|
|
k |
|
k |
|
||
|
|
|
||||
|
8 pk , |
|
64 pk . |
|||
Критические значения параметров рк, Тк возьмем из таблицы: рк=3,4·106Па, Тк=126К.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
27 ×8,32 ×1262 |
= 0,136Па × м6 |
/ моль. |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
64 × 3,4 ×106 |
|
|
||||||
b = |
|
8,3 ×126 |
= 3,85 ×10−5 М 3 / моль. |
||||||||
8 × 3,4 ×106 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ν=0,71 моль |
|
||||
|
|
|
|
|
|
аν 2 |
|
|
|
||
Т |
б |
= |
р + |
|
|
(V −νb) /(νR) = 280K |
|||||
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Совпадение Та и Тб в данном случае объясняется малой величиной давления, при котором реальный газ ведет себя как идеальный.
Ответ: Ta = Тб = 280К .
Задачи для самостоятельного решения
1.Какое количество вещества (в молях) содержится в алюминиевой детали массой 5,4 кг?
2.Какой объем занимают 100 моль ртути?
3.Зная число Авогадро, определите объем и диаметр атомов золота.
4.В сосуде вместимостью 0,3 л при температуре 290 К находится некоторый газ. На сколько понизится давление газа в сосуде, если из него из-за утечки выйдет 1019 молекул?
5.Смесь водорода и гелия находится в сосуде объемом 10 л. Общая масса смеси 2 г. Температура в сосуде 270С. Определить давление смеси, если отношение массы водорода к массе гелия равно 1,5.
6.Азот массой 7г находится под давлением 0,1 МПа и температуре 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем 10 л. Определить: 1) объем газа до расширения: 2) температуру газа после расширения; 3) плотность газа до и после расширения.
7.При какой температуре молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре 100 К?
8.Определить число молекул ртути, содержащихся в воздухе объемом 1 м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре 20 0С, если давление насыщенного