9278
.pdf30
Спроектировав векторные уравнения на координатные оси, получим систему четырех уравнений:
|
x : |
0 º 0, |
(1) |
|
тело 1: |
|
|
|
|
|
y : |
m1g -T = m1a, |
(2) |
|
|
x : |
T - FTP = m2a, |
(3) |
|
тело 2 : |
||||
|
|
|
||
|
y : |
m2 g - N = 0. |
(4) |
|
|
Уравнение (1) выполняется тождественно. Из уравнения (4) получаем, что
N = m2 g.
Для силы трения скольжения можно записать:
FTP = mN = km2 g.
Решаем систему двух уравнений (2) и (3):
m1 g -T = m1a, |
(2) |
||
T - mm g = m a. |
(3) |
||
|
2 |
2 |
|
Складывая уравнения (2) и (3), получим:
m1g -T + T - mm2 g = m1a + m2a.
Учитывая, что массы тел равны, получим величину ускорения:
m1g −μm2 g = 2m1a,
a = g (1- m) / 2,
a = 9.8 ×(1- 0.1) / 2 @ 4.4 м / с2 .
Силу натяжения нити T можно найти из уравнения (2):
T = m1g - m1a,
T = 1×(9.8 - 4.4) = 5.4 Н.
Ответ: a = 4.4 м / с2 . T =5.4 Н.
Задача 2. На наклонной плоскости, составляющей угол 300 с горизонтом, удерживаются два соприкасающихся бруска так, как показано на рисунке. Массы брусков равны 1 кг и 2 кг, соответственно. Коэффициенты трения брусков о плоскость равны, соответственно, 0,25 и 0,1. Найти силу взаимодействия между брусками, если их отпустить.
|
|
|
|
31 |
|
Дано: |
|
|
Решение: |
α = 30° |
|
|
Сделаем рисунок и расставим силы, действующие на |
|
m1 =1 кг |
|
|
каждое тело отдельно. |
|
m2 =2 кг |
|
|
т.к. μ2 < μ1, то брусок 2 всегда будет прижат к бруску 1. |
|
|
|
|
||
μ1 =0,25 |
|
|
Двигаться они будут как одно целое, т.е. с одинаковыми |
|
|
|
ускорениями. |
||
μ2 =0,1 |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
, R = ? |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
Запишем второй закон Ньютона для первого бруска: |
||||
|
R |
R |
+ N1 + Fтр1 + R1 . |
|
|
m1a |
= m1g |
||
Проецируем на оси:
Ox: m1a = m1g sinα − Fтр1 + R1 , где
Fтр1 = μN1 ,
Oy: 0 =−m1gcosα+N1,
N1 =m1g cosα.
Но
Fтр1 = μ1N1 = μ1m1g cosα .
Тогда получим:
m1a =m1gsinα −μ1m1gcosα +R1.
Второй брусок:
R |
R |
+ N 2 |
+ Fтр2 + R2 , |
m2 a |
= m2 g |
Ox: m2a = m2 g sinα − Fтр2 − R2 ,
Oy: 0 =−m2g cosα +N2 ,
где Fтр2 = μ2 N2 , N2 =m2gcosα.
Fтр2 = μ2 N2 = μ2m2 g cosα .
32
Тогда
m2a =m2gsinα −μ2m2gcosα −R2 .
По третьему закону Ньютона R1 =R2 =R как силы взаимодействия. С учетом этого получим:
m1a = m1g sinα + R − μ1m1g cosαm2a = m2 g sinα − R − μ2m2 g cosα .
Выразим в явном виде искомую силу взаимодействия:
m1 |
= |
m1 g sin α − μ1m1 g cos α + R |
m2 |
|
m2 g sin α − μ2 m2 g cos α − R |
m1m2gsinα −μ2m1m2gcosα =m1m2gsinα +m1R +m2R −μ1m1m2gcosα,
(m1 +m2)R =m1m2(μ1 −μ2)gcosα,
R = m1m2 (μ1 − μ2 ) g cosα . m1 + m2
R = 0,85 H.
Ответ: R = 0,85 H.
Задача 3. Гирька массой 50 г, закрепленная на нити длиной 25 см, двигается с постоянной скоростью в горизонтальной плоскости по круговой траектории (см. рис). Частота вращения составляет 2 об/с. Найти натяжение нити T .
Дано: |
Решение: |
|
|
|
m = 50 г = 5×10−2 кг |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
l = 25см =0.25 м |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
n = 2 об / с = 2с−1 |
|
T |
|
|
|
|
R |
|
|
T = ? |
A |
a |
C |
x |
|
||||
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
mg
Ускорение тела имеет только нормальную составляющую a = an = υ2 
R , поскольку гирька движется с постоянной скоростью (ν = 2об / с =const) . Расставим действующие
на гирьку силы на рисунке и запишем для нее II закон Ньютона.
33
mg +T = ma.
Направим ось x по направлению ускорения a и запишемII закон Ньютона в проекции на эту ось:
T sin α = m an .
Выразим силу T , учитывая при этом, что an = v2 
R :
|
|
m a |
|
m v2 |
(1) |
||
T = sin a |
= R sin a . |
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
Выразим линейную скорость движения гирьки |
|
||||||
|
|
υ= Rω, |
|
||||
учитывая, что ее угловая скорость равна |
|
|
|
||||
|
|
ω= 2πν |
|
||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
||
|
|
υ= 2πRν. |
(2) |
||||
Найдем синус угла α из треугольника АВС: |
|
|
|
||||
|
|
sin a = AC AB = R l. |
(3) |
||||
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), найдем силу натяжения нити. |
|
||||||
T = |
m ×4p2 R2n2 |
= 4p2n2m l. |
|
||||
|
|
||||||
|
|
R × R / l |
|
|
|
||
Подставляя указанные в условиях задачи значения, получим:
T = 4p2n2ml = 4 ×3,142 ×22 ×(5×10−2 )×0, 25 =1,96 H.
Ответ: T =1,96 H.
Задачи для самостоятельного решения
1. Два мальчика растягивают резиновый шнур, прикладывая к его концам силы по 30 Н каждый. Какова жесткость шнура, если его удлинение составило 4 см.
34
2.Чугунное ядро массой 150 кг поднимают со дна озера с постоянной скоростью. Определить, на сколько изменится удлинение троса жесткостью 1 кН/м при переходе из воды в воздух.
3.Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его удлинение составило 10 см. С какой скоростью полетит камень массой 10 г, если жесткость резинового шнура составляет 800 Н/м.
4.На гладком столе лежат два связанных бруска массами 200 г и 300 г. К одному из них приложена горизонтальная сила 10 Н. Коэффициент трения между брусками и поверхностью стола 0,2. Найдите силу натяжения нити, если она приложена: а) к первому бруску; б) ко второму бруску.
5.Два груза массами 700 г и 1000 г связаны нерастяжимой невесомой нитью, переброшенной через неподвижный идеальный блок. С каким ускорением будут двигаться грузы, если коэффициент трения между первым грузом и столом составляет 0,3?
6.Через неподвижный невесомый блок, укрепленный на
вершине пирамиды, перекинута нить с грузами равной массы на концах. Угол B = 30 , угол C = 45 , коэффициент трения между грузами и поверхностью призмы составляет
0,3. Найдите ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силу натяжения нити.
7.Тело лежит на шероховатой горизонтальной поверхности. Определить, на какой угол относительно горизонтали нужно наклонить поверхность, чтобы тело начало скольжение. Коэффициент трения между телом и поверхностью 0,58.
8.На горизонтальном участке дороги от равномерно движущегося поезда массой М = 1000 т оторвался последний вагон массой 40 т, проехал расстояние 200 м и остановился. Вычислите расстояние, которое проехал поезд за время торможения вагона, считая его скорость неизменной.
9.Камень массой 3 кг соскальзывает с ледяного склона высотой 5 м с углом наклона
450 к горизонту и попадает в тележку массой 10 кг. Коэффициент трения камня о склон 0,3. Какую скорость будет иметь тележка сразу после попадания в нее камня?
10.Снаряд, летевший на высоте 40 м горизонтально со скоростью 100 м/с, разрывается на два равных осколка. Один осколок спустя время 1 с падает на землю
35
точно под местом разрыва. Определить скорость другого осколка сразу после разрыва. Сопротивление воздуха не учитывать.
11. Человек массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 1,5 кг со скоростью 5 м/с. Вычислить, на какое расстояние откатится при этом человек, если коэффициент трения коньков о лед 0,02.
Глава 3. Работа и энергия
§ 1. Энергия, работа, мощность
Энергия — универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.
В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других – переходит в другую форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) другому телу, равна энергии, полученной вторым телом.
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила ;, составляющая некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:
А = Fss = Fs cos α (1.1)
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов, чтобы их можно было считать прямолинейными, а
36
действующую силу в любой точке данного элемента — постоянной. Тогда элементарная работа (рис. 13)
dAi = Fsidsi = Fi dsi cosαi
FI
VI
αi FSi
а работа переменной силы на всем пути MN будет равна сумме элементарных работ:
|
|
N |
|
N |
|
|
dsi |
A = |
|
Fsi dsi = |
|
Fi dsi cosαi |
(1.2) |
|
|
|
|
|||
|
|
M |
|
M |
|
|
|
Рис. 13 |
Для вычисления |
этого |
интеграла |
надо |
знать |
|||||||
|
зависимость Fs от s вдоль траектории МN. Если эта |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
зависимость представлена графически (рис. 14), то |
||||||||
Fs |
искомая работа А определяется заштрихованной на |
||||||||||||
графике площадью. Если, |
например, тело движется |
||||||||||||
|
|
|
|
dA |
|||||||||
|
|
|
|
|
прямолинейно, сила F = const и α = const, то получим |
||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
A = Fds cosα = F cosα ds = Fs cosα , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где s — пройденный телом путь (см. также формулу |
||||||||
|
|
|
|
ds |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(1.1)). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Из формулы (1.2) следует, |
|
что при α < π/2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
;DE |
|
|
|
|||
работа силы положительна, в этом случае составляющая |
|
|
совпадает по |
||||||||||
направлению с вектором |
скорости движения . |
Если α |
> π/2, |
то |
|
работа |
силы |
||||||
отрицательна, в этом случае работа совершается против данной силы. При α = π/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю. Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м.
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность N есть физическая величина, равная отношению работы А к промежутку времени t, за который она совершена:
N = A .
|
|
|
|
t |
; |
|
|
|
|
|
|
Если тело движется с постоянной скоростью V под действием силы , то мощность |
|||||
может быть выражена формулой |
|
|
|
|
|
N = A = |
Fs |
|
s |
= F υ , |
(1.3) |
|
|
|
|||
t |
t |
|
s |
|
|
|
|
|
|||
|
|
37 |
|
|
т. е. равна произведению проекции силы |
на направление перемещения на скорость |
|||
тела. |
|
|
|
|
В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени t |
||||
совершается неодинаковая работа А) вводится понятие мгновенной мощности: |
||||
N = lim |
A = |
dA |
. |
(1.4) |
|
||||
t →0 |
t |
dt |
|
|
Если мгновенная мощность (1.4) не постоянна, то формула (1.3) определяет среднюю мощность <N>. Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).
§ 2. Кинетическая и потенциальная энергии
Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела.
Если сила ; действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью , то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы ; на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до , идет на увеличение кинетической энергии тела, т. е.
dA = dT.
Используя скалярную запись второго закона Ньютона F = m dυ и умножая обе dt
части равенства на перемещение ds, получим
m dυ ds = Fds = dA . dt
Так как υ = ds , то dt
dA = mυdυ = dT
и
υ
T = mυdυ = mυ2 / 2 .
0
38 |
|
|
|
Таким образом, для тела массой m, движущегося |
со |
скоростью |
v, |
кинетическая энергия |
|
|
|
T = mυ2 / 2. |
|
(2.1) |
|
Из формулы (2.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
При выводе формулы (2.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, – консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными; примером их являются силы трения.
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П, которая определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию какого-то определенного положения тела считают
39
равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.
Потенциальная энергия тела обычно определяется работой, которую совершили бы действующие на него внешние силы, преодолевающие консервативные силы взаимодействия, перемещая его из конечного состояния, где потенциальная энергия равна нулю, в данное положение. Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с
обратным знаком, т. е. |
|
dA = - dП, |
(2.2) |
так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поскольку работа dA есть скалярное произведение силы F на перемещение dr, то выражение (2.2) можно
записать в виде |
|
|
;F |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= – dII. |
(2.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Следовательно, если известна функция П( ), то (2.3) полностью определяет |
||||||||
силу F по модулю и направлению. |
|
|
|
|
|
||||
|
В случае консервативных сил |
|
|
|
|
|
|||
|
|
F = − |
∂П , F = − ∂П , F = − |
∂П , |
|||||
|
|
x |
|
∂x |
y |
|
∂y |
z |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
или в векторном виде |
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
||
|
|
|
= – grad П, |
|
|||||
где символом grad П обозначена сумма |
|
|
|
|
|||||
|
|
grad П = |
∂П R |
∂П |
R |
∂П R |
(2.5) |
||
|
|
|
i + |
∂y |
j + |
k , |
|||
|
G , H , : |
|
∂x |
|
∂z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
осей. Вектор, определяемый |
|
где |
— единичные векторы |
координатных |
|||||||
выражением (2.5), называется градиентом скаляра П. Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:
Ñ = |
¶ |
R |
+ |
¶ |
R |
+ |
¶ |
R |
|
|
i |
j |
k . |
(2.6) |
|||||||
¶x |
¶y |
¶z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|