книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ

Ю . Н . Н е м и ш

Э Л Е М Е Н Т Ы

М Е Х А Н И К И

К У С О Ч Н О ­

Н Е К А Н О Н И Ч Е С К И М И П О В Е Р Х Н О С Т Я М И Р А З Д Е Л А

КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1939

В настоящей монографии сделана попытка систематизировать и обобщить резуль­ таты теоретических исследований автора и его учеников в области механики кусочно­ однородных тел с неканоническими поверхностями раздела. При этом дана постанов­ ка новых классов трехмерных краевых задач теории упругости, теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных неканонических областей, развиты эффект­ ные приближенные аналитические методы их решения и изложены критерии оценки точности приближенных числовых результатов. Получены аналитические решения конкретных классов краевых задач и на их основе исследованы характерные механи­ ческие эффекты (в том числе краевые), вызванные геометрической формой поверхно­ стей раздела и отличительными особенностями механических свойств кусочно-одно­ родных тел. Монография состоит из десяти глав.

Гл. 1 носит вспомогательный характер. Она основана на известных в научной ли­ тературе сведениях и результатах исследований [13, 41, 45, 57, 130, 131, 145, 156 и др.]. Ее цель — показать практическую важность предмета исследований, положен­ ного в основу монографии. Здесь дана условная классификация неканонических по­ верхностей раздела, изложены механизмы их образования, приведены характерные конкретные примеры неканонических поверхностей раздела в горных массивах, в композитных материалах с мелкомасштабными отклонениями в структуре и некото­ рых элементах конструкций (волнообразных оболочках, сильфонах, гофрированных волноводах, шестернях, элементах трехслойных конструкций с гофрированным за­ полнителем).

В гл. 2 рассмотрены трехмерные краевые задачи механики кусочно-однородных тел с ортогональными поверхностями раздела (к ним условно отнесены такие поверх­ ности, которые совпадают с одной из координатных поверхностей используемой кри­ волинейной ортогональной системы координат). При этом исследованы широкие классы краевых задач для кусочно-однородных (многослойных и миогосвязных) не­ канонических областей с поверхностями раздела, близкими к круговым цилиндри­ ческим и сферическим. Уравнения контуров их поперечных или меридианных сече­ ний записываются на основе соответствующих конформно отображающих функций. Для решения указанных классов краевых задач развит приближенный аналитический метод — первый вариант метода возмущения формы границы (МВФГ). Идейная ос­ нова этого метода заложена в работе А. Н. Гузя [21], где он первоначально предло­ жен для решения соответствующих краевых задач теории оболочек. Его дальнейшее распространение на родственные классы трехмерных краевых задач механики дефор­ мируемых тел, ограниченных неканоническими поверхностями, отражено в работах [23—25, 63, 64, 66, 71 и др.]* В работах [73, 79, 80] этот подход развит применитель­ но к решению трехмерных краевых задач для кусочно-однородных неканонических областей с поверхностями раздела, близкими к круговым цилиндрическим и сфери­ ческим. В этой главе также приведены соответствующие дифференциальные опера­ торы в произвольном приближении [72, 74], которые необходимы для решения кра­ евых задач с требуемой точностью.

Гл. 3 посвящена трехмерным краевым задачам механики кусочно-однородных тел с неортогональными поверхностями раздела (так условно названы поверхности, ко­ торые в общем случае не совпадают с координатными поверхностями используемой криволинейной ортогональной системы координат). К указанному классу относятся границы раздела, близкие к плоским, круговым цилиндрическим, сферическим и ко­ ническим. Для решения указанных классов задач развит второй вариант МВФГ. Применительно к пространственным краевым задачам для деформируемых тел, огра­ ниченных неортогональными поверхностями, указанный приближенный подход раз-

4

работан в работах [70, 75, 85, 88]. При этом построены дифференциальные операторы граничных условий в произвольном приближении, необходимые для решения крае­ вых задач с требуемой точностью. Распространение этого подхода на краевые задачи для многослойных и многосвязных тел с неортогоиальными поверхностями раздела дано в работах [73, 79, 80, 87, 88]. Установлена взаимосвязь развитых вариантов МВФГ в частных случаях. Характерной особенностью первого и второго вариантов МВФГ является их независимость от уравнений состояния, равновесия или движения тела. Это позволяет использовать их для решения широких классов краевых задач механики кусочно-однородных деформируемых тел. При этом поставленная краевая задача для кусочно-однородной неканонической области сводится к рекуррентной последовательности краевых задач для соответствующей кусочно-однородной кано­ нической области, причем в каждом приближении аналитическая структура основных уравнений остается неизменной, а поправки входят только в правые части краевых условий. Следовательно, на каждом этапе итерационного процесса можно использо­ вать хорошо аппробированные аналитические методы, разработанные применительно к решению краевых задач для кусочно-однородных тел с соответствующими канони­ ческими поверхностями раздела.

Отметим, что в гл, 2 и 3 рассмотрены случаи как идеального, так и неидеального контакта на поверхностях раздела.

В гл. 4 исследованы трехмерные краевые задачи теории теплопроводности для кусочно-однородных ортогональных и неортогональных неканонических областей. При этом изучены случаи, когда на поверхностях раздела выполняются условия иде­ ального и неидеального тепловых контактов. Для решения указанных классов за­ дач излагается первый (для ортогональных поверхностей раздела) и второй (для неор­ тогональных поверхностей раздела) варианты МВФГ. При таком подходе функции, описывающие температурные поля рассматриваемых кусочно-однородных тел, опре­ деляются в виде рядов по степеням некоторого безразмерного малого параметра, ха­ рактеризующего отклонение рассматриваемой границы раздела от соответствующей канонической поверхности. Краевые задачи статической термоупругости для кусочно­ однородных неканонических областей рассматриваются как задачи теории упругости с условными объемными силами (имеющими потенциал), которые определяются через известное температурное поле. Для их решения применяются развитые в гл. 2 и 3 со­ ответствующие варианты МВФГ, причем рассматриваются случаи как идеального (полное сцепление), так и неидеального (проскальзывание без отрыва) механическо­ го контакта. Исследуются практически важные частные случаи. В основу этой главы

применении разработанных вариантов МВФГ с другими аналитическими методами в неклассических краевых задачах механики кусочно-однородных тел с неканониче­ скими поверхностями раздела. К таковым условно отнесены три рассмотренных клас­ са краевых задач. В первый из них включены краевые задачи для тел конечных .раз­ меров с неканоническими поверхностями раздела. Для их решения на первом этапе используется МВФГ, который сводит исходную задачу к последовательности кра­ евых задач для тел конечных размеров, ограниченных соответствующими координат­ ными поверхностями. Затем в каждом приближении применяется метод суперпози­ ции [19, 154], который сводит задачу к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Такой подход, основанный на совместном применении второго варианта МВФГ и принципа суперпозиции, впервые применен в работах [11,89, 91]. Ко

5

второму классу отнесены краевые задачи для физически нелинейных и криволинейно ортотропных упругих тел с ортогональными и неортогоиальными поверхностями раздела, близкими к каноническим, решения которых ищутся МВФГ в сочетании с методом возмущения упругих свойств, разработанным в работах [65, 68, 69, 129].

Практическая реализация такого подхода осуществлена в работах [66, 67, 77]. К разряду неклассических отнесены также связанные краевые задачи механики на­ сыщенных пористых сред с неканоническими выработками в случае нестационарной фильтрации жидкости или газа. При этом используется замкнутая система уравнений модели такой среды, полученная в работе [141]. На первоначальном этапе решения поставленных задач применяется метод интегрального преобразования Лапласа по времени. Затем для решения краевых задач для неканонической области в простран­ стве изображений используется МВФГ. Такой подход реализован в работах [34, 35, 95, 96, 143, 144], причем влияние взаимосвязи процессов деформации и фильтрации на напряженное состояние насыщенной среды и давление в жидкости исследовано в [95, 96].

В гл. 6 изучаются некоторые вопросы эффективности применения развитых вари­ антов МВФГ в пространственных краевых задачах для кусочно-однородных некано­ нических областей. В частности, одним из таких приемов является сравнительный анализ приближенных числовых результатов на основе соответствующих точных ре­ шений, полученных для эллипсоидальных областей [44, 48, 59, 149]. Вторым эффек­ тивным средством является построение мажорантных оценок и исследование практи­ ческой сходимости МВФГ (под этим понимается определение процентного вклада каждого из найденных приближений в сумму их абсолютных значений, условно при­ нятую за 100 %). На основе этого предложен один из возможных критериев оценки точности приближенных решений. На конкретных примерах подтверждена эффек­ тивность развитых вариантов МВФГ.

Последующие четыре главы содержат результаты приближенных аналитических решений конкретных краевых задач механики кусочно-однородных тел с ортогональ­ ными и неортогональными поверхностями раздела. На основе их численной реализа­ ции на ЭВМ выявлены характерные механические эффекты, вызванные преимущест­ венно особенностями геометрии неканонических поверхностей раздела.

Так, в гл. 7 исследуется напряженное состояние упругих тел конечных и беско­ нечных размеров с поверхностями раздела, близкими к круговым цилиндрическим.

трехслойных цилиндров под действием радиального давления, изменяющегося вдоль оси по периодическому закону 199]. Рассмотрены частные случаи [113, 116]. Дана по­ становка и получены приближенные аналитические решения осесимметричных кра­ евых задач для поперечно гофрированных двухслойных и трехслойных изотропных и трансверсально изотропных цилиндров. В результате численной реализации полу­ ченных решений в широком диапазоне изменения механических и геометрических па­ раметров исследована зависимость напряженного состояния цилиндра от амплиту­ ды и частоты гофрировки поверхности раздела, от толщины слоев и других факторов [55, 100, 112]. Исследованы практически важные частные случаи [ПО, 111]. Изучены краевые эффекты в сплошных и полых цилиндрах конечных размеров с боковыми и торцевыми осесимметричными выточками. Показано влияние толщины цилиндра, геометрии выточки и расстояния ее от торцов на концентрацию напряжений [10, 11» 89, 90, 93, 94].

6

Г л а в а 1

ПРИРОДА И МЕХАНИЗМ Ы ОБРАЗО ВАН ИЯ НЕКОТОРЫХ НЕКАНОНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ РА ЗД ЕЛ А

Осветить с достаточной полнотой природу и механизмы образования

многие примеры из смежных областей естественных н аук могли бы вывести нас за пределы сформулированного в предисловии предмета исследования.

Механизмы образования неканонических поверхностей раздела условно разделим на естественные, технологические и инж енерны е. К естественным отнесем те поверхности раздела, которые образова­ лись под влиянием определенных природных условий (без участия че­ ловека). К ним, в частности, относятся границы естественных полос­ тей и инородных включений (пород) в горных массивах.

К технологическим отнесем те поверхности раздела, которые воз­ никли в результате некоторых особенностей технологического процес­ са, например волнистые поверхности раздела, образованны е при свар ­ ке взрывом металлов (и неметаллов), неидеальной формы поверхности волокон и слоев композитных материалов с мелкомасш табными от­ клонениями в структуре и др.

К инженерным отнесем поверхности раздела в элементах конструк­ ций, которые возникли в результате определенных инж енерны х реш е­ ний, а именно: элементы конструкций (например, в виде тонкостенны х и толстостенных оболочек и пластин) с криволинейными отверстиями,

ностями раздела. Основанием для этого служ ат как теоретические, так

8

3 4 S

верхностей в направлении сварки, Ук = Уд.

Высокоскоростное соударение метаемой части металла с непод­ вижной развивает в окрестности движущейся вершины угла у давле­ ние порядка 102— 10* кбар. Вызываемое им всестороннее неравномерное -сжатие с наиболее благоприятными условиями для пластического те­ чения в направлении процесса сварки (благодаря наличию свободной поверхности перед вершиной угла у и возникновению тангенциальной составляющей скорости Ус) заставляет металл поверхностных слоев обеих соударяющихся частей вместе деформироваться со скоростью Ук, что приводит к тесному сближению свариваемых частей.

На рис. 1.3 изображен двухслойный образец 145], полученный при экспериментах в результате одновременного обжатия двух конусов из разных металлов. На нем видна основная особенность, характери­ зующая сварку,— волнообразование на поверхности раздела свари­ ваемых металлов.

Таким образом, реализуется известная способность металлов об­ разовывать прочные соединения (связи) в твердой фазе при создании -между соединяемыми поверхностями физического контакта и условий

10