2.3. Случайные погрешности
Если при измерении величины в одинаковых условиях и при неизменном ее размере получают различные результаты, то это показатель наличия случайных погрешностей. Случайные погрешности возникают благодаря одновременному действию многих известных и неизвестных, зависимых и независимых факторов.
Как и всякая случайная величина, случайная погрешность характе ризуется распределением плотности вероятности, определяющей вероят ность появления различных ее значений.
Рассмотрим понятия, связанные с характеристиками распределения. Абсцисса кривой распределения Дяа%, слева от которой находится а % площади кривой, называется а %-ным квантилем. Следовательно, ве
роятность того, что |
случайная |
величина Ах находится в диапазоне от |
|
— оо. до Алга%, равна |
а, т. е. |
|
|
|
р(— ОО < |
Ах< Дха%) = |
. |
Абсцисса медианы — вертикали, делящей площадь кривой распреде ления пополам, является 50 %-ным квантилем Длгбо%.
Интерквантильным промежутком называется разность между а %-ным и. (100 — й) %-ным квантилями. Между вертикалями симметричного центрированного распределения, ограничивающими интерквантильный промежуток, находится (100 — 2а) % площади кривой распределения.
Доверительной вероятностью рдОВназывают вероятность нахождения случайной величины Ах в допустимой зоне внутри доверительных гра ниц — Д*г1, + АхГ2 , т . е.
Рдов ( Axri <С Ах <С Дхгг).
Доверительную вероятность при заданных граничных значениях по грешности ± Ахр находят по известному значению среднего квадратиче ского отклонения по таблицам для нормального распределения и Стьюдента.
Значение непрерывной случайной величины, при которой плотность вероятности максимальна, называется модой (Д£).
Если случайная погрешность является композицией более четырех независимых и равновеликих погрешностей, то приближенно она подчи
няется нормальному распределению. |
Нормальное |
распределение цент |
|
рированной случайной величины При М [Дл:1 = 0 |
описывается выраже |
||
нием |
|
|
|
р{Ах) = |
1 |
Лх* |
|
2а3 |
|
||
оУг2я |
|
||
где а — среднее квадратическое отклонение случайной величины Ах. Нормальному распределению (рис' 1) свойственны симметрия и моно тонное убывание плотности вероятности. Первое заключается в том, что при большом числе измерений равновероятно появление случайных по грешностей, равных по величине и противоположных по знаку, а вто рое — вероятность появления малых погрешностей больше, чем больших,. Рассмотрим характерные особенности нормального распределений!
1.Мода распределения, т. е. р (Дх)
при Ал: = О |
1 |
|
|
р (А*) = |
Ах = О. |
||
|
оУ2л ’
2.Между вертикалями, проведен ными через квантили
Д ^ 5% = |
— 2/3а |
И |
Д * 75% = + % о , |
|
|
находится половина площади кривой нор |
2/3 а называется вероятной |
||||
мального |
распределения. Значение Ахв = |
||||
погрешностью. |
|
|
|
|
|
3. |
Между |
вертикалями, проведенными через |
квантили Дхо.15%= |
||
= —За и Дхээ.85%= |
-г За, находится 99,7 |
% площади |
кривой нормаль |
||
ного распределения.
Нормально распределены погрешности от тепловых шумов, нестабиль ности параметров звеньев, кратковременной нестабильности напряжения питания и др.
Случайную погрешность можно выявить математической обработкой измерений.
В результате многократных равноточных измерений постоянной ве личины х получаем выборку xlt х2, ..., хп, каждый член которой состоит из истинного значения измеряемой величины х и случайной составля ющей погрешности измерения Ах(. При этом полагаем, что систематическая погрешность исключена. Тогда
хг = X + Ахх\
х2= X + Ах2;
Хм= X Т" Ахп.
Эта совокупность при л ->■ оо называется генеральной совокупностью результатов наблюдений и характеризуется математическим ожиданием М (х), дисперсией D (х), средним квадратическим отклонением а (х) или другими вероятными характеристиками. Но поскольку в реальных ус.-
.ловиях. п Ф оо, по данным выборки определяют только статистические оценки указанных параметров, которые отклоняются случайным образом от своих истинных значений.
В математической статистике доказано, что для оценки истинного значения математического ожидания измеряемой величины X служит •среднее арифметическое'выборки хм, которое и принимается равным ре зультату измерения (для равноточных измерений)
Хм = Ш V xt = X + 1fn V Axit t=\
или
Хм —*^ Д^рш
И
