книги / Эконометрика. Начальный курс

Вкачестве примера рассмотрим следующие матрицы Н , г для

к= 3, g = 2 :

Это условие соответствует системе двух линейных ограничений:

{А =2,

\P i ~ P з = 0 .

Из (3.4), (3.7), (3 8) видно, что вектор P O L S имеет нормальное распределение со средним Р и матрицей ковариаций <т2( Х ' Х ) ~ 1.

POLS ~ Н(р, а2( Х ' Х у 1).

Бели справедлива гипотеза Но: Н р —г = О, то статистика F в (3.39) не должна принимать слишком больших значений, а именно, с вероятностью 1 - а имеем F < Fa(q,n—k), где Fa(q,n—k) есть 100а%-ная точка распределения Фишера F(q,n —к).

Из (3.21), (3.37), снова используя независимость /3 и е, полу­

Условие F < Fa( q , n - к) задает 100(1 - а)%-ную доверитель­ ную область для коэффициентов 0 .

Так как в числителе (3.40) стоит неотрицательно определенная квадратичная форма от 0 *, то эта доверительная область является выпуклым множеством.

В случае Н = I статистика F в (3.40) выглядит следующим образом:

ф - Р У ( Х ' Х ) ф - Р ) / к efe/{n - к)

В этом случае доверительная область является эллипсоидом в fc-мерном пространстве коэффициентов /3.

Но: Pk-q+1 = Pk—q+2 - • • • = Pk = 0. Гипотеза является, ко­ нечно, частным случаем общей линейной гипотезы JFf/З = г. Эту гипотезу приходится проверять наиболее часто, и она представ­ ляет самостоятельный интерес.

Разобьем все матрицы с размером по одной из сторон к на

В этих обозначениях числитель дроби в выражении (3.40) для F при условии, что верна нулевая гипотеза Но: 0 2 = О, имеет вид

Здесь через M \ обозначена матрица ортогонального проектиро­ вания на TTJ- — ортогональное дополнение к подпространству 7гj в Rn (порожденному к - q столбцами матрицы X]). При выво­ де (3.41) мы использовали формулу (ЛА.18): (Q 22)-1 = Q 22 —

Q2lQnQ\2-

Докажем теперь, что (3.41) равно е*'е* —е'е, где е* — остатки «короткой» регрессии (только на X i), а е — остатки «длинной» регрессии (на X = [Xi Х 2]). В самом деле,

е* = М \у = Mi(Xi/3i + Х 2/32 + е)

= М гХ Д + М 1Х 2З 2 + M ie = М хХ 23 2 + е

Х 2е = О (остатки ортогональны регрессорам). Таким образом,

Здесь ESSR — сумма квадратов остатков «короткой» (restric­ ted) регрессии; ESSUR — сумма квадратов остатков «длинной»

(unrestricted) регрессии.

Как и ранее (см. (2.32)), F -статистику (3.44) можно выразить через коэффициенты детерминации R2 для «короткой» и «длин­ ной» регрессий:

ничениями Н(3 = г. МНК при этом состоит в минимизации функ­ ции ESS (3.2) при условии Н(3 = г.

Упражнение. Докажите, что представления (3.44), (3.45) для F- статистики справедливы в общем случае произвольного линейно­ го ограничения Н(3 = г. (Указание: линейной заменой регрессо­ ров сведите общий случай к рассмотренному выше случаю огра­ ничения вида Afc-,+i = Pk-q+2 = ••• = & - 0 .)

Но: d/3 = 0 ,c — к х 1 вектор. Эта гипотеза также является част­ ным случаем общей линейной гипотезы Н/3 = г для 1хк матрицы Н = с'. Соответственно для проверки гипотезы можно использо­ вать F -статистику (3.39), которая в данном случае распределена по закону Фишера F ( l,n - к).

Эту гипотезу можно проверять, используя также t-статистику, аналогичную (3.34). Заметим, что d(3 ~ N(dfi,cr^ ) , как линей­ ная комбинация совмесгно нормально распределенных случай­ ных величин. Дисперсия d В равна <r^,- = V (dfi) = dV(B)c =

cr2d ( X ' X ) ~ ic, оценка дисперсии = d2d ( X ' X ) ~ 1c.

y / J d i X ' X y ' c

Конечно, в данном случае t-статистика эквивалентна F -стати- стике.

Но: Р' = Р"; а' = <т" (т ест Чоу (Chow)). Предположим, у нас есть две выборки данных. По каждой выборке мы строим регрессионную модель. Вопрос, который нас интересует: верно ли, что эти две модели совпадают? Рассмотрим модели:

в первой выборке n наблюдений и т наблюдений во второй. На­ пример, у — заработная плата, Х{ — регрессоры (возраст, стаж, уровень образования и т. п.), и пусть первая выборка относится к женщинам, вторая — к мужчинам. Вопрос: следует ли из оцен­ ки моделей (3.48а), (3.486), что модель зависимости зарплаты от регрессоров одна и та же для мужчин и женщин?

Сведем эту ситуацию к общей схеме проверки линейных ограничений на параметры модели. Регрессией без ограничений здесь является объединение двух регрессий (3.48а), (3.486), т. е. ESSUR = ESSi + ESS2, число степеней свободы при этом равно (п — к) + (т — к) = п + т — 2к. Предположим теперь, что верна нулевая гипотеза. Тогда регрессия с ограничениями записывается одним уравнением

Оценивая (3.49), получаем ESSR. Тогда, учитывая, что нало­ жено к ограничений иа параметры модели, получаем (ср. (3.44))

Если F -статистика (3.50) больше критического значении Fc = Fa(k,п + т - 2к), то нулевая гипотеза отвергается иа уровне зна­ чимости а. В этом случае мы не можем объединить две выборки в одну.

Рассмотрим пример исследования, использующего модель множественной регрессии.

Пример. Рынок квартир в М оскве (см. Каргин, Онацкий, 1996). Данные для этого исследования собраны студентами РЭШ в 1994 и 1996 гг.

После проведенного анализа была выбрана логарифмическая форма модели, как более соответствующая данным:

LOGPRICE = Д, + j9|LOGLIVSP + &LOGPLAN

+&LOGKITSP + &LOGDIST + &FLOOR + AJBRICK

+(JyTiALi + /EfeLIFT + /JjRl + /?ioR2 + /3nR3 + /I12R4 + £. (*)

Здесь LOGPRICE — логарифм цены квартиры (в долл. США), LOGLIVSP — логарифм жилой площади (в кв. м), LOGPLAN — логарифм площади нежилых помещений (в кв.м), LOGKITSP — логарифм площади кухни (в кв. м), LOGDIST — логарифм рассто­ яния от центра Москвы (в км). Включены также бинарные, «фик­ тивные» переменные (см. п. 4.2), принимающие значения 0 или 1: FLOOR — принимает значение 1 , если квартира расположена на первом или на последнем этаже, BRICK —принимает значение 1 , если квартира находится в кирпичном доме, BAL — принимает значение 1 , если в квартире есть балкон, LIFT — принимает зна­ чение 1 , если в доме есть лифт, R1 —принимает значение 1 для однокомнатных квартир и 0 для всех остальных, R2, R3, R4 —ана­ логичные переменные для двух-, трех- и четырехкомнатных квар­ тир.

Результаты оценивания уравнения (*) для 464 наблюдений, от­ носящихся к 1996 г., приведены в таблице 3.1.

Из анализа t-статистик видно, что все коэффициенты, кро­ ме коэффициентов при R1 и R2, значимы иа 5%-ном уровне (см. (3.34)).

Коэффициент при LOGLFVSP, равный 0.67, означает, что уве­ личение жилой площади квартиры на 1 % увеличивает ее цену на 0.67%. Иначе говоря, эластичность цены квартиры по жилой пло­ щади равна 0.67.

Несколько сложнее объяснить значение коэффициентов при LOGPLAN и LOGKITSP. Для их объяснения мы решили исполь­ зовать следующий пример. Предположим, что есть две квартиры с одинаковой кухней, скажем 9 кв. м, но разными по площади осталь­ ными вспомогательными помещениями. Например, в первой квар­ тире эта площадь равна 1 1 кв. м, а во второй 1 2 кв. м. Таким об­ разом, во второй квартире общая площадь вспомогательных поме­ щений (21 кв.м) на 5% больше, чем в первой. Такое увеличение площади, с фиксированной площадью кухни, в соответствии с на­ шей моделью должно привести к увеличению цены второй квар­ тиры по сравнению с первой на 5 • 0.431 = 2.15%. Теперь предста­ вим себе, что имеется третья квартира с кухней 1 0 кв. м и пло­ щадью остальных вспомогательных помещений 1 1 кв.м. Общая площадь вспомогательных помещений в такой квартире, как и в предыдущем случае, 21 кв. м. Однако теперь мы ожидаем увели­ чение цены третьей квартиры по сравнению с первой квартирой на

88 Гл. 3. Модель множественной регрессии

5 ■0.431 + 5-0.147 = 2.89%, то есть увеличение площади вспомо­ гательных помещений за счет кухни приводит к большему увели­ чению цены квартиры, чем такое же увеличение за счет, скажем, коридора.

Отрицательное значение коэффициента при LOGDIST (-0.114) означает, что увеличение расстояния от центра города иа 1 %умень­ шает цену квартиры на 0.11%. Эксперты считают, что в действи­ тельности цена квартиры зависит также от «качества» района, в котором она расположена, а не только от ее расстояния от центра, однако влияние фактора «качества» не рассматривалось в данном исследовании.

Ниже (п. 4.2) мы вернемся к этому примеру для интерпретации коэффициентов при «фиктивных» переменных.

Существует мнение экспертов, что рынок квартир достаточно отчетливо делится на три сектора, рынок однокомнатных квартир, рынок квартир среднего размера (от 2 до 4 комнат) и рынок боль­ ших квартир. Для проверки этого утверждения тестируем с помо­ щью Р-статистики (3.39) гипотезу Но, что коэффициенты при R2,

который показывает, что мы не можем отвергнуть гипотезу, что для квартир с числом комнат 2-4 формулы (*) расчета цены сов­ падают. Однако тестирование гипотезы Но: 0д = /Зю о совпадении формул для одно- и двухкомнатных квартир дает следующее зна­ чение Р-статистики:

Р-статистика 3.03188 Р-значение 0.0823,

С вероятностью ошибиться, меньшей 10%, можно отвергнуть гипотезу о совпадении формул (*) для одно- и двухкомнатных квартир.

Упражнения

3.1. Рассмотрим уравнения:

где yt — годовой доход t-го индивидуума, wt — число его рабочих недель в году, st — полное число лет, потраченных им иа образование.

а) Покажите, что для соответствующих МНК-оценок выполнены со­ отношения: 7 1 = 0 и 7 3 = /3j, 72 = 02 — 1.

б) Покажите, что остатки этих регрессий совпадают.

в) При каких условиях коэффициент детерминации R 2 в первой ре­ грессии будет больше коэффициента детерминации второй ре­ грессии? Что при этом можно сказать о качестве подгонки?

3.2. Покажите, что в регрессии на прогнозные значения у* и констан­ ту свободный член равен 0 , а угловой коэффициент равен 1 .

3.3. Дано регрессионное уравнение yt = 0xt + et, t = 1 ,... ,Т. Ошиб­ ки et — независимые одинаково распределенные нормальные величи­ ны. Мы хотим проверить гипотезу, что после наблюдения с номером п значение параметра 0 изменилось. Сумма квадратов остатков с ограни­ чением ESSR получается из регрессии у на * по всем Т наблюдениям. Для нахождения ESSUR используются две разные процедуры: 1 ) оцени­ ваем суммы квадратов остатков регрессий по двум подпериодам ESSi и ESS2, затем их складываем: ESSUR = ESSi + ESS2; 2 ) переписываем уравнение в виде

yt — 0i%tdti + thxtdtz + fit)

где

Далее мы получаем ESSUR как сумму квадратов остатков этой ре­ грессии по всем Т наблюдениям.

Докажите, что эти две процедуры дают одинаковые значения F- статистик.

Покажите также, что тот же результат может быть получен, если регрессия без ограничений записана в виде yt = 0 \x t + Sxtdt2+ et, где

6= 02-(h-

3.4.Регрессия зависимой переменной у на три независимые переменные на основе п = 30 наблюдений дала следующие результаты:

а) Заполните пропуски

б ) Истинны или ложны следующие утверждения (если ложны, ис­ правьте их):

1 ) Оценка коэффициента при xi есть 1.2. Другие исследовате­ ли могут собрать другие данные и построить другие оценки этого коэффициента. Распределение этих оценок сосредото­ чено вокруг истинного значения 1.2. Поэтому оценка назы­ вается несмещенной.

2)Если есть априорная уверенность в том, что xi не влияет на у, то представляется разумным отвергнуть нулевую гипоте­ зу Но: Pi = 0 на 5%-ном уровне значимости.

3)Если есть априорная уверенность в том, что хг влияет на у, то представляется более разумным использовать оценку 1 .0 , чем принимать нулевую гипотезу HQ: Рт. — 0 .

3.5.Бюджетное обследование пяти случайно выбранных семей дало следующие результаты (в тыс. руб.):

а) Оцените регрессию 5 на У и W .

б) Спрогнозируйте накопления семьи, имеющей доход 40 тыс. руб. и имущество стоимостью 25 тыс. руб.

к) Предположим, что доход семьи возрос на 10 тмс. руб., в то время как стоимость имущества не изменилась. Оцените, как возрастут ее накопления.

г) Оцените, как возрастут накопления семьи, если ее доход вырос на 5 тыс. руб., а стоимость имущества увеличилась на 15 тыс.руб.

д) Найдите сумму квадратов остатков и постройте оценку дисперсии регрессии.

3.6. Рассмотрим регрессию S = 0\ + ДгУ + P^W + е из предыдущего упражнения 3.5.