книги / Эконометрика. Начальный курс

Источник: D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982.

а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции между х\ и xj.

б) Оцените регрессию у на константу и xj.

в) Оцените регрессию у на константу и х^.

г) Оцените регрессию у на константу, xi и х^.

Как можно проинтерпретировать полученные результаты? Можно ли ограничиться только одной из регрессий б) или в)?

4.17. В таблице 4.7 представлены выпуск Q, трудозатраты L и капита­ ловложения К 15 фирм некоторой отрасли.

а) Оцените по этим данным производственную функцию КоббаДугласа Q = a l / 1К&*, вычислите коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации и выборочный коэффициент корреляции между InL и 1пА\

б) Проведите регрессию InQ только на ln/f.

Как можно проинтерпретировать полученные результаты?

/31( /32 — векторы размерности /гь к%, соответственно. Предположим, что у вектора 0 г есть несмещенная оценка /3lt некоррелированная с е, с известной ковариационной матрицей Vi.

а) Вычислите ковариационную матрицу оценки вектора /32, получа­ емой регрессией у - Х ф х на Х 2.

б) Сравните ковариационную матрицу, полученную в а), с ковариа­ ционной матрицей МНК-оценки вектора /32 в исходной модели.

в) Можете ли вы предложить более эффективную оценку вектора /32, чем те, что получены в а) и б)?

г) Как полученные результаты связаны с проблемой мультиколли­ неарности?

4.23. Для проверки гипотезы о том, что удельный выпуск Q/L в ме­ таллургической промышленности зависит от уровня зарплаты W , на основе межстрановых наблюдений была получена регрессия

(в скобках указана стандартная ошибка).

а) Проверьте гипотезу.

б) Было высказано предположение, что приведенное выше уравне­ ние содержит ошибки спецификации, поскольку оно не учитывает разницу в эффективности между странами, которая оказывает влияние на удельный выпуск и положительно коррелирована с зарплатой. Как это предположение повлияет на ваш вывод?

4.24. Модель

Vt — 01 + 02^12 + 0 зФз + 04^4 + 0ьXt + £t

оценивается с помощью обычного метода наименьших квадратов на основе ежеквартальных наблюдений, где dti, i = 2, 3, 4 — фиктивные переменные для соответствующих кварталов, т. е.

а) Почему в модель не включена переменная dt1?

б) Покажите, что оценка Рь совпадает с МНК-оценкой коэффициен­ та /?в регрессии yl = а+Рх^ +щ, где у£ —остатки регрессии yt на dt2,dt3,dt4 и константу, a —остатки регрессии xt на dt2,dt3,du

иконстанту.

4.25.О программе исследований к разных удобрений, предназначен­ ных для повышения урожайности лимонных бананов, использованы в

опытах на п = nj + • • ■+ п* опытных участках. Удобрение номер а (а = 1,. .,к) использовалось на п, опытных участках. Для изучения влияния удобрений использовалась регрессионная модель

Vt — 0id\t + ■• ■+ Pkdkti t = l , . . . , n .

Здесь у —урожайность, d, — фиктивная переменная, равная 1 для участка номер а и 0 в других случаях. Известны выборочные средние у, и стандартные отклонения а* для а = 1,.... А:.

У> = 7Г Y l yt' = 2 h h -У,)-

Выразить через известные величины F-статистику для тестирования нулевой гипотезы о равном влиянии всех удобрений (Pi = • = Рк)-

4.26. Вы в скором времени планируете поступить на должность по­ литического аналитика на некую телевизионную станцию. Все телеви­ зионные компании уделяют большое впимание освещению выборов в Конгресс (США), а ваших знаний по этому вопросу недостаточно, что­ бы получить эту работу. Поэтому вы решили рассмотреть несколько регрессионных моделей, чтобы подкрепить свое мнение относительно выборов в Конгресс 1996 года.

Вам понадобится три модели. Каждая из них пытается объяснить различия в проценте голосов, отданных Республиканской партии, среди всех 50 штатов. Т. е. все модели включают 50 наблюдений, каждое со­ ответствует одному штату. У вас также есть четыре типа объясняющих переменных:

1)уровень безработицы для каждого штата;

2)региональные фиктивные переменные, показывающие, что штат находится на северо-востоке, юге, среднем западе или на западе;

в) Протестируйте значимость регрессии в целом.

г) Когда в уравнение были добавлены три фиктивные переменные, соответствующие трем первым кварталам года, величина RSS вы­ росла до 118.20. Проверьте гипотезу о наличии сезонности, сфор­ мулирован необходимые предположении о виде этой сезонности.

д) Для той же исходной модели были раздельно проведены две ре­ грессии на основеданных: 1-й квартал 1971 г.-1-й квартал 1975 г. и 2-й квартал 1975 г-4-й квартал 1976 г., соответственно, и получе­ ны следующие значения сумм квадратов остатков: ESS1 = 11.25, ESS2 = 2.32. Проверьте гипотезу о том, что между первым и вто­ рым кварталами 1975 г. произошло структурное изменение.

4.28. Ниже приведены результаты регрессии W —зарплаты менеджера фирмы, на объем ее продаж S и доход Р (число наблюдений п = 102, в скобках даны стандартные ошибки):

W = 0.50S + 0.4 Р, е'е * 250,

(0 83) (0 83)

(для удобства все переменные представлены в отклонениях от средних). Ввиду большой зависимости между объемами продаж и доходом возни­ кает проблема мультиколлинеарности, что не позволяет точно оценить соответствующие параметры. Для решения этой проблемы было пред­ ложено действовать следующим образом.

1)Провести регрессию Р на S и получить остатки г.

2)Провести регрессию W на S и г.

Обозначим результат последней регрессии W = cjS + с^г.

а) Вычислите с\, сг-

б) Дайте оценку предложенному методу как способу борьбы с мультиколлинеарностыо.

в) Дайте оценку предложенному методу как способу получения бо­ лее точных оценок исходных параметров.

4.29. Файл usa_import.xls содержит данные об объеме импорта Imp (млрд, долл.), валовом национальном продукте GDP (млрд, долл.) и индексе потребительских цен CPI в США за период с 1964 по 1979 г.

а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции между GDP и CPI.

Как можно интерпретировать полученные результаты? Можно ли огра­ ничиться только одной из регрессий б) или в)?

4.30. Построение модели цены колготок в московских оптовых торго­ вых фирмах, осень 1997г. Данные содержатся в файле tig h ts .xls (все­ го 74 наблюдения). Описание переменных содержится в таблице 4.8.

а) Постройте уравнения зависимости цены колготок от их плотно­ сти, состава и производителя. Подберите наиболее подходящую форму модели. Какие проблемы с данными вы при этом встрети­ ли?

б) О помощью построенной модели ответьте на вопрос: верно ли, что цены колготок двух фирм-производителей различаются статисти­ чески достоверно? Какая из фирм устанавливает более высокие цены?

мы Гаусса-Маркова, а именно, доказывается, что в классе всех несмещенных линейных оценок она обладает наименьшей матри­ цей ковариаций. Обобщенный метод наименьших квадратов поз­ воляет с единых позиций изучать некоторые важные классы ре­ грессионных моделей: так называемые модели с гетероскедастичностью, когда матрица О является диагональной, но имеет раз­ ные элементы на главной диагонали, и модели, в которых наблю­ дения имеют смысл временных рядов, а ошибки коррелированы по времени. Эти вопросы изучаются в главе 6. Следует подчерк­ нуть, что практическое использование обобщенного метода наи­ меньших квадратов усложнено тем обстоятельством, что для по­ строения ОМНК-оценки требуется знать матрицу О, которая ре­ ально почти всегда неизвестна. В связи с этим возникает пробле­ ма построения так называемого доступного обобщенного метода наименьших квадратов (Feasible Generalized Least Squares), кото­ рый обсуждается в разделе 5.3.

5.1.Стохастические регрессоры

В предыдущих разделах предполагалось, что независимые пере­ менные (матрица X ) являются неслучайными. Ясно, что такое условие выполнено не всегда, например, во многих ситуациях при измерении независимых переменных могут возникать случайные ошибки. Кроме того, при анализе временных рядов значение ис­ следуемой величины в момент t может зависеть от ее значений в предыдущие моменты времени, т. е. в некоторых уравнениях эти значения выступают в качестве независимых, а в других — в ка­ честве зависимых переменных (модели с датированными перемен­ ными). Поэтому возникает необходимость рассматривать модели со стохастическими регрессорами.

Предлагаемый здесь подход позволяет сохранить, по существу, все основные свойства МНК-оценок в классической регрессии. Условия, накладываемые на систему со стохастическими регрессо­ рами, почти дословно повторяют ограничения стандартной моде­ ли, но только теперь их следует понимать, говоря не совсем стро­

го, в условном смысле (при фиксированной матрице X ). Мы пред­ полагаем, что читателю известны простейшие свойства условных распределений и условных математических ожиданий, использу­ емые ниже (см. приложение МС, п. 2).

Пусть, как и раньше,

у = Х/3 + е ,

где у — п х 1 вектор зависимых переменных, X — п х к матрица независимых переменных, е — п х 1 вектор случайных ошибок. Но теперь будем считать, что элементы матрицы X также яв­ ляются случайными величинами. Предположим, что выполнены следующие условия:

1)Е(е | X ) = О,

2)V (e| X ) = <r2J,

3)при любой реализации (т.е. с вероятностью 1) матрица X имеет ранг к.

Здесь Е (е |Х )—условное математическое ожидание случайно­ го вектора е при фиксированной матрице X , V (e|X ) = Е (ее'|Х )

— его условная ковариационная матрица. Заметим, что условия 1), 2) эквивалентны условиям:

1') Е(у | X ) = Х/3,

V) V(y I X ) = «г2/.

Пусть 3 OLS = 3 = {Х'Х)~1Х ' у — МНК-оценка вектора /3 (которая существует при любой реализации X в силу условия 3)), е == М у — вектор остатков, а2 = е'е/{п — к) — оценка дисперсии, V(/3) = а 2(Х 'Х )-1 — оценка ковариационной матрицы /3. Тогда (ср. (3.7), (3.8))

Е(3 | X ) = Е(/3 + ( Х 'Х ^ Х 'е | X ) = /3 + E ((X 'X )‘ 1X 'e | X )

= /3+ { Х ' Х ) - 1Х'Ще | X) = /3;

V (3 |X ) = V ((X 'X )-1X 'y |X )

= (X ,X ) - 1X 'V (y | Х )Х (Х 'Х )" 1 = а 2(Х 'Х )"1;