книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf
|
|
|
|
|
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ |
51 |
|||||||
П |
570. |
f/= |
arcsin r H |
|
^ |
L |
571. |
у = arccos Ь+вС014 |
|||||
|
|
* |
|
|
1—сое a s m |
J |
|
|
|
|
|||
7 |
572. |
I/ = |
arctg (x — Y 1 + |
л:2). |
|
|
|
|
|||||
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л о г а р и ф м и ч е с к и е ф у н к ц и и |
|
|||||||
|
В задачах 573— 597 |
продифференцировать данные функции* |
|||||||||||
|
573. |
у = х 2 log3x. |
|
|
|
574. |
у —In2* . |
|
|||||
|
575. |
у = х lgx . |
|
|
|
а 576. |
у = |
У Ш . |
|
||||
*577 . |
1/= =^— 1. |
|
|
|
578. |
0 = |
xsin x ln ,» . |
|
|||||
|
|
* |
loga |
х' |
|
|
|
п л |
|
tax |
|
||
|
579. |
W= T-L . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
S80. |
У= ^ г . |
|
|||||||
|
|
э |
In* |
|
|
|
|
|
|||||
|
581. |
0 = |
^ |
2 |
* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
1 + ln jc * |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
583. |
у = хп\ах. |
|
|
|
584. |
y = V |
1 + ln2x. |
|
||||
<*585. |
0 = |
1п(1 — 2х). |
|
|
* 586. |
у = |
In (*2 — 4x). |
|
|||||
|
587, |
у = |
In sin х. |
|
|
|
588. |
у = |
logj (*4 — !)• |
|
|||
|
589. |
0 = |
ln tg x . |
|
|
|
590. |
у = |
In arccos 2x. |
|
|||
|
591. |
f/=ln4sinx. |
|
|
|
592. |
у = |
arctg[ln (ax + |
6)]. |
||||
|
593. |
y = |
(l + |
ln sm x)n. |
|
594. |
у = |
loga (logs (logs *)]. |
|||||
|
595. |
y = In arctgV |
1 + |
x2. |
596. |
у = |
arcsin2 [In (a8+ |
x*)J. |
|||||
0 |
597. |
0 = |
j / |
l n s i n |
^ . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
П о к а з а т е л ь н ы е ф у н к ц и и |
|
|||||||
|
В задачах |
598— 633 |
продифференцировать данные функции. |
||||||||||
|
598. |
0 = |
2*. |
599. |
1/=1(К |
600. |
0 — 3* . |
|
|||||
|
601- |
У= р . |
|
•602. |
у = х -10*. |
603. |
у = хе*. |
|
|||||
|
604. |
0 - ± |
|
, д е |
|
.. |
*®+2* |
606. |
0 = е* c o s* . |
|
|||
|
|
‘ 6W . |
у = —^ ~ . |
|
|||||||||
|
607. |
у = ~ . |
с 608. |
у —COS х |
60»- |
У= ^Г,- |
|
||||||
|
|
v |
sin * |
|
|
|
|
|
|
||||
610. |
0 = х3— 3*. |
612. |
0 = (х2— 2х + 3)е*. |
|
1 —1СИ |
6|4- |
® = г + д а - |
616.у = хех (cosx + sinx),
618.0 = 1 О 2* '3.
611. |
y = Y 1+ е » . |
|
613. |
0 = |
1+е* |
|
|
1 — е*' |
615. |
у = |
е* |
1 + *2‘ |
||
617.0 = <г*.
619.y = gVx + i.
52 |
|
ГЛ. Ш . ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ |
|
||||
620. |
£/= sin (2JC). |
621. |
t/ = 3sin |
|
|||
622. |
y= asin4 |
623. |
y = e*rcsin2*. |
|
|||
624. |
t/= 2*\ |
625. |
y = 0 t t . |
|
|||
626. |
i/= sin(e*,+8*-»). |
627. |
y = |
10‘- sin'M. |
|||
628. |
у==e^*"<a*s+ **+«). |
* 629. |
i/ = |
In sin |
arctge3*. |
||
630. |
y = a e ~ b"x\ |
631. |
t/=x2e-*Va‘. |
||||
632. |
y = |
A e ~ k,x s i n ( m + a ) . |
633. |
y = |
axxf1. |
|
|
|
|
Г и п е р б о л и ч е с к и е |
функции |
|
|||
В задачах 634—649 продифференцировать данные функции. |
|||||||
634. |
у = sh3x. |
635. |
y= ln ch x . |
|
|||
636. |
y = arctg(thx). |
637. |
£/= th (1 - x 2). |
||||
638. |
y= sh2x + ch2x. |
639. |
r/=ch(shx). |
|
|||
640. |
y = V chx. |
641. |
y = e * ,x. |
|
|||
642. |
y = th (In x). |
643. |
t/= JCsh JC— chx. |
||||
644. |
*/= >/ (1 + th2 x)3. |
645. |
il— |
|
|
||
646. |
= |
th* |
647. |
^ i t h x + O t a b t p S * . |
|||
thx' |
|||||||
|
|
|
* 2 |
‘ |
8 1—/ 2 th * |
||
648. |
у = |
-- ch 2x + У х sh 2x. |
649. |
у = x2^3* csch x. |
|||
Ло г а р и ф м и ч е с к о е диффе ре н ц и ро в а н и е
Взадачах 650—666 продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования.
650.у = хх‘.
652.у = (sin хУ®5*.
654.t/ = (x + l)2'*.
656. //= ( x - 2 ) * V T + i
( д с - 5 )» |
' |
658. у = (дс+1)3^ —
V ix -W
— arc sin x 660•y=Yh+ arc sin JC
662. y = x sln*.
664. y = 2 x v *.
651.y = x xX.
653.у = (In x)*.
655.t/ = xV*sin2x.
657.y = x,n*
659.y = J ^ x s i n x j A —e*-
661.y=xU *.
« * > • ( r b ) “ -
665. y = (x 2+ l ) s,n*.
*66. */— у
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ |
53 |
Р а з н ы е ф у н к ц и и
В задачах 667— 770 продифференцировать данные функции.
^ 667. |
у = ( 1 + j/ "х)\ |
668. |
y = |
a t g ( £ + |
ft). |
||
669. |
у = |
]/ 1 + |
2р х . |
У 670. |
у = |
arctg (х2 — Зх + 2). |
|
671. |
y = |
lg(x —cosx). |
672. |
y = 3 co s2x —cos3x. |
|||
673. |
у = |
5 tg -д- + |
tg -g . |
0 674. |
у = |
а ?Л ^ |
, |
|
|
|
|
|
|
V x+ Vx |
|
675.y = sin-|-sin2x.
677.у = х*У х«-% .
679.y = ( y x + ^ l ° .
681. у = е2*+3 (х2 - х + ^-).
*6 8 3 . y = -j= arctg |
||
я |
/ з |
b l - x 2 |
685.y = sin2~- c tg y .
687.y = ln (x + ]/ a2 + x2). #689. y = ] A + tg2x + tg4x.
691.у = j arctg x + i arctg
693.y = arcsin ]/sin x.
695.y = x — Y 1 —xa arcsin x.
676.y = sinxeC0S*.
678.y = e~*' lnx.
? 6 8 0 . у = arctg
682. у
2 sin2 x cos2x ‘
. t g f + c t g l 684. у = X
686. у = e/4x» + 2
Зх4 ‘
688.y = xarctgV /x .
690.y = co s2 x ln x .
692.у = arcsin (n sinx).
694.у = j^sine3x—
_ |
arcsin x |
696. У = C O S |
2— • |
? 697. |
у = X+ V x + ] / x . |
||
699. |
y = sin2 |
1 — In x |
|
701. |
у = arctg |
у |
1 — x |
|
|
|
l + x - |
698.у = arccos |/"1 — 3x.
700.у = loga (x2 — sin x).
702. y =l\nn- x+V ~ x-
703. |
у = x arcsin (lnx). |
704. |
y = tg 1 —ex |
|
|
|
|
l+ e *' |
|
705. |
y = cosx Y \ + s in ax. |
*706. у = 0 , 4 ( c o s |
— sin 0,8xj\ |
|
707. |
y = x -1 0 ’/*. |
708. |
у = |
|
|
|
|
tg*2x* |
|
709. |
у = In arctg |
710. у = Inx+y‘— |
• |
|
54
711. у
713. у
715. у
717. у
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
J/T+7 )7 I+3.
1
V l + sin2x
In sin x
In co s*'
arc sin 4x 1 — 4 * '
712. g = x *Y \ + V x .
714. |
у = х3 arctg х3. |
716. |
i^ a r c s in x + l/ l — x2. |
|
i |
718. |
y = elnx. |
719. |
у = |
ln 1—e* |
|
720. |
|
|
|
|
|
|
|
a* |
■ |
|
|
|
|
|
|
721. |
д |
sin2x sin x2. |
|
722. |
y = |
2c°SJC |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
cos 2x |
|
723. |
у |
|
|
|
724. |
J/ = |
j |
In \zrx — -2 |
arctg x. |
725. |
у |
2lnx• |
726. |
у = V {a — x) (x — b) — (a — b) arctg J/^ ^ |
|||||
727. |
|
sin3* |
|
|
— о |
. . _ у ш |
|
||
у — о •й--------• |
|
728. |
у = е ' |
1+ |
|
||||
|
|
2 sma х cos я |
|
|
v |
|
|
|
|
729. |
у = l/a* — х2 — a arccos —. |
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
|
я |
|
|
|
|
730. |
л = |
y - p + i - ln ( i + |
/ 7 T |
5 ) . |
|
|
|
||
731. |
I/ |
sin2 x |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
1 -f-ctg x |
1 + |
t gx * |
|
|
|
|
|
||
732. |
г/ |
In (x -}- ]/x2 — 1) — Vx* —Г |
|
|
|
||||
733. |
£ |
eajc (asin x — cos x). |
734, |
y = xel~ cos*. |
|
||||
735. |
л |
1 |
|
|
736. |
t/ = e*(sin3x —3co s3x). |
|||
arctg e~2x' |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
737. |
у = |
3x3 arcs in x + |
(x2 + |
2) V 1 —**• |
|
|
|
||
738. |
у |
|
|
739. y = 2arcsin x - 2 - У |
2 + 4 Х - Х 1 |
||||
V1+ e - ^
740.t/=ln(eJccosx + e_J'sin x ).
741. |
1 + f J T f e |
742. j, = |
_ J ------- |
^ |
1 |
* |
COS (JC — COS X ) |
743.у
745.ц
74 6 . у _
748.у
|
ll __ |
a* sin x cos3 x. |
744. y = [/ 9 - f 6 y ^ * |
A; — ln^a^ + l + ]^e2x+ 4ex + 0 - |
|
garctg Y \ + m (2i -t- 3). |
747. |
In tg J —ctg X In (1 + |
sin x) — x. |
|
|
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ |
55 |
||
749. |
у = 2 In (2л: — 3 У 1 — 4х2) — 6 arcs in 2х. |
|
|||
750. |
у. |
Зх2— 1 + |
In V" 1 + х2 + |
arctg х. |
|
|
|
Зх3 |
|
x+ l |
|
|
|
|
|
|
|
751. |
у = у (3 — х) У 1 — 2х — х2 + 2 arcsin У 2 ' |
|
|||
752. |
r/ = |
ln (x s in x ]/ l — x2). |
753. у — X У I + |
х2 sin х. |
|
754- |
х = |
^ 9 + |
т г ^ * |
у = 755/ 0- |
+ ^ ) 3. |
756. |
|
1 |
+ |
|
|
уV *
|
|
sin х |
| |
3 sin x |
| |
3 |
|
1 +tg — |
|
|
|
757. |
I/: |
|
6 |
2 |
|
|
|||||
: |
r |
it —„ 2 |
" Г |
я |
i n |
|
x ■ |
|
|||
|
|
’ 4oos4x ~ |
8cos2x ~ |
8 |
|
1 —*g у |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
758. |
у- |
xe* arctg x |
|
|
|
|
|
|
(l _ x2) gsx-i cos я |
||
|
|
|
|
/ 0a‘ |
У |
|
(arccosx)3 |
||||
|
|
ln2x |
|
|
|
|
|
|
|||
760. |
y = x ^ V |
+ |
aa)a + |
^ |
|
K x 2 + ф + |
~ |
ln(x + ]/x2 + a2)- |
|||
761. |
i/ = |
x (arcsin x)2 — 2x + |
2 "У 1 — x2 arcsin x. |
||||||||
762. |
(/ = |
In cos arctge- ^~ |
* . |
« |
763. |
у = ^ ^ a r c t g (& * |
|||||
764. |
y = |
^-ln |
* + 1 |
|
|
1 |
. 2 x — 1 |
|
|||
|
|
-arctg- |
|
|
|
||||||
|
|
3 У х 2— x + 1 |
|
У З “* ^ 6 У з |
|
|
|||||
765. |
г _ 1 „ ^ |
Ш = |
^ |
+ 2 |
|
|
^ |
- ______ |
|||
|
|
/ 1 + Х + / 1 - Х |
|
arct8/ |
|||||||
766. |
у = |
(tg 2x)Ctg ^ • |
|
|
|
767. |
у = У |
0 = = . |
|||
™- |
|
|
|
|
W +arctgyr)- |
||
769. |
у = arccos |
■ |
|
|
|
|
|
_ _ л |
|
x |
, 1 . |
( l+ 2 x ) a |
, У З „ , 4 x — l |
||
7 7 0 . |
у — |
1 + 8 д з + 12 n |
1 — 2 x + 4 x 2 |
"I" |
|
6 a r c t® |
|
771. |
Доказать, |
что функция у —In ■ |
I |
^ |
|||
|
— удовлетворяет соотно- |
||||||
шению ху' + |
1 = е у. |
|
|
|
|
|
|
772. Доказать, |
что функция |
|
|
|
|||
|
|
i/ = y - f y x ] / rx2+ l + l n } / x |
+ >Ax2 -i-l |
||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
удовлетворяет соотношению 2 у = ху' + lnt/*.
56 |
ГЛ. 111. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ |
773.Доказать, что функция у — —г=== удовлетворяет соотно-
шению (1 — х2) у' — ху = 1.
774*. |
Вычислить |
суммы |
|
а) |
1 + |
2х + Зх2 + |
•••+ пх1-1; |
б) |
2 + 2-Зх + 3-4х2 + ... + п (п - 1 )х " - 2. |
||
О б р а т н ы е ф у н к ц и и
775. Допустим, что правило дифференцирования степеннбй функции установлено только для целого положительного показа
теля. Вывести |
формулу дифференцирования корня, используя пра |
||||
вило дифференцирования обратной |
функции. |
|
|||
776. |
х = garcsinу. найти выражение для ^ через у\ через х. |
||||
|
|
ds |
через s. |
|
|
777. t = 2 —3 s - fs 3; выразить ^ |
|
||||
МПА |
I f |
1 - V |
_ |
dti dv |
I |
778. |
к = 2 |
пробрить соотношение |
= |
||
779. |
Зная, |
что функции arcsin ]/ * |
и sin2 х —взаимно обратные |
||
функции |
и что (sin2лс)' = sin 2лс, найти |
(arcsinУ * ) ’. |
|
||
780. |
Обозначим функцию, обратную степенно-показательной |
||||
функции у = х х, символом а(х), т. е. положим, что |
из у = хх сле |
||||
дует х = а (у ). |
Найти формулу для |
производной от |
функции у — |
||
=<*(*).
781.Функции, обратные гиперболическим, обозначаются сим
волами Arshx, Arch х, Arth х. Найти производные этих функций.
782. s = te~‘\ найти
1 |
dx |
783.y = -f+ x *’ Выразить ^ через х; через у. Показать спра ведливость соотношения ^ ^ = 1.
784.х = у>— 4у-\- 1. Найти
785. |
t = arcsin 2*. Найти выражение для |
~ |
через s‘, |
через t. |
||
786. |
Проверить справедливость |
соотношения |
^ - ^ = 1 , если х |
|||
и у связаны зависимостью: |
3) г/ = In (хг - |
|
|
|||
1) у = хг + ах + Ь\ |
2) у = х~п\ |
1). |
|
|||
|
Ф у н к ц и и , з а д а н н ы е н е я в н о |
|
||||
787. |
Убедиться |
дифференцированием |
в том, что |
производные |
||
от обеих частей равенства sin2x = |
1 — cos2* |
тождественно равны |
||||
между |
собой. |
|
|
|
|
|
$ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ |
57 |
788. |
Убедиться дифференцированием |
в том, что производные |
|
от обеих |
частей равенства |
|
|
|
2 sinax — 1 |
cos х (2 sin х-\- 1) |
tgX |
|
cos х |
1 + sin х - |
|
тождественно равны друг другу.
789.Чему равен угловой коэффициент касательной, проведен-
жу-д
ной к эллипсу у + д = 1 в |
точке (1, у 2 )? |
|
|
|
|
||||||
790. |
Чему |
равен |
угловой |
коэффициент касательной к |
гипер |
||||||
боле дсу—а (а ФО), |
проведенной |
в точке |
(о, |
1)? |
|
|
|
||||
791. |
Чему |
равен |
угловой |
коэффициент касательной к окруж |
|||||||
ности |
( х - 1 ) 2 + (у + |
3)г = 1 7 , |
проведенной |
в точке (2, |
1)? |
|
|||||
В |
задачах |
792 — 812 найти |
производные |
функций у, |
задан |
||||||
ных неявно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
762. |
; , + | г = 1. |
|
|
793. |
х1/2 + у1'2 = |
я1'2. |
|
||||
794. |
х’* + < /- З а л у = а . |
|
795. |
y2cosx = a2 sin3x: |
|||||||
796 |
|
у3 —Зг/ + 2ах = 0. |
|
797. |
у'1 —2ху + |
Ьг = 0. |
|
||||
* 798. |
xi -\-yi = xtyl. |
|
799. |
х3 + |
ахгу + |
Ьху2 + |
у3 = 0. |
||||
800. |
sin (хг/) - f cos (хг/)= tg (х + |
у )л 801. |
2 х+ |
2 ^= 2д,+«. |
|
||||||
802. |
2у In у = х. |
|
|
803. |
х— ?/=arcs iп х— arcsin у. |
||||||
804. |
ху= ух. |
|
|
*805. |
y — cos(x + y). |
|
|||||
806. |
cos (ху) = х. |
|
|
807. |
^/Я + 1/2/3= !а2/3_ |
|
|||||
808. |
г/= 1+хеУ.___ |
|
809. |
jiesin у—cos«/+cos2t/=0. |
|||||||
810. |
tg-|p — "|/~г + й |
|
811. |
у sin х — cos (х — у) = 0. |
|||||||
812.у = x + arctgy.
813.Убедиться в том, что функция у, определенная уравне
нием ху—1п у = 1, удовлетворяет также соотношению
y* + ( x y - l ) d£ = 0 .
П р и м е н е н и я п р о и з в о д н о й |
|
||||||
814. На параболе у==х? взяты две точки с |
абсциссами x i= 1, |
||||||
х4 = 3. Через эти |
точки проведена |
секущая. В |
какой |
точке пара |
|||
болы касательная |
к |
ней будет параллельна проведенной секущей? |
|||||
815. Через фокус |
параболы |
проведена хорда, перпендикуляр |
|||||
ная к оси параболы. Через |
точки |
пересечения |
этой |
хорды с па |
|||
раболой проведены касательные. Доказать, что эти |
касательные |
||||||
пересекаются под |
прямым углом. |
|
|
|
|||
816. Составить |
уравнения |
касательной и нормали |
к гиперболе |
||||
у = 1 /х в точке с |
абсциссой |
х = — 1/2. Найти |
подкасательную и |
||||
поднормаль. |
|
|
|
|
|
|
|
817. Показать, |
что отрезок |
касательной к |
гиперболе t/ = ^ , |
||||
заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
53ГЛ. Ш . ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ
818.Показать, что для гиперболы ху—а площадь треуголь ника, образованного любой касательной и координатными осями, равна квадрату полуоси гиперболы.
819.Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от
начального пункта через t с равно s = -^-<4 — 4*8+ 16**.
а) |
В какие моменты точка была в |
начальном пункте? б) В ка |
||||||||
кие моменты ее скорость равна нулю? |
|
|
|
|||||||
820. |
Тело |
массой 3 кг |
движется |
прямолинейно |
по закону |
|||||
|
|
|
|
|
s = l + * + |
*2; |
|
|
|
|
s выражено в |
сантиметрах, t —в секундах. Определить кинетиче |
|||||||||
скую энергию (-у - ) тела через 5 с после начала движения. |
||||||||||
821. |
Угол |
а |
поворота |
шкива |
в зависимости от времени t задан |
|||||
функцией а = *2 + 3* — 5. |
Найти |
угловую |
скорость |
при |
t —5 с. |
|||||
822. |
Колесо |
вращается так, |
что |
угол |
поворота |
пропорциона |
||||
лен квадрату |
времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. |
|||||||||
Найти угловую |
скорость |
о) через 32 с после начала движения. |
||||||||
823. |
Угол |
б, |
на который поворачивается колесо через t о равен |
|||||||
9 = a t2 -Ы -\-с, |
где |
а, Ь, |
с —положительные постоянные. |
Найти |
||||||
угловую |
скорость |
(о движения |
колеса. В |
какой момент времени |
||||||
угловая |
скорость будет равна нулю? |
|
|
|
|
|||||
824.Количество электричества, протекшее через проводник,
начиная с момента времени f = 0, дается формулой
Q = 2 t* + Z t+ l (Кл).
Найти силу тока в конце пятой секунды. |
|
|
|
|
||||
825. |
На линии у = х2 (х — 2)2 найти точки, |
в которых |
каса |
|||||
тельные |
параллельны |
оси абсцисс. |
|
|
|
|
||
826. |
Показать, |
что |
линия у = х 6+ 5 х — 12 |
во |
всех своих |
точ |
||
ках наклонена к оси Ох под острым углом. |
|
|
|
|
||||
827. |
В каких |
точках линии у = х3-|-х — 2 |
касательная |
к |
ней |
|||
параллельна прямой у = 4 х — 1. |
|
|
|
|
||||
828. Составить уравнения касательных к линии у = х — |
в точ |
|||||||
ках ее пересечения с осью абсцисс. |
|
|
|
|
||||
829. |
Составить |
уравнение касательной к линии у = х 3+ Зх* —5, |
||||||
перпендикулярной |
к прямой 2х — 6 у + 1 = 0 . |
|
|
|
|
|||
В |
задачах 830 — 833 составить уравнения |
касательной и нор |
||||||
мали |
к данным линиям. |
|
|
|
|
|||
830.у = sinx в точке М (х0, уо).
831.у = 1пх в точке М (х0, уо)-
832.у — в точке с абсциссой х = 2д.
833. Уг = 2 а ~—х (циссоиДа) в точке М (х0, у0).
S 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ |
|
ао |
||||
834. Показать, |
что |
подкасательная |
к параболе |
n-го порядка |
||
у = хп равна -i-й |
части |
абсциссы |
точки |
касания. Дать |
способ по |
|
строения касательной к линии у — хп. |
|
линии у — ха‘, |
||||
835. Найти подкасательные |
и поднормали к |
|||||
у2 = х3\ ху2= 1. Дать способы построения касательных |
к этим ли |
|||||
ниям.
836. Составить уравнения касательной и нормали к параболе х2 = Аау в ее точке (х0, у0); показать, что касательная в точке
оабсциссой х0 = 2от имеет уравнение х = ~--\-ат.
837.Хорда параболы у = х 2 —2 *-f-5 соединяет точки с абсцис сами *х = 1, х2 = 3. Составить уравнение касательной к параболе, параллельной хорде.
|
838. Составить |
уравнение |
нормали |
к |
линии |
у = |
— |
в |
точке в абсциссой х = 3. |
|
|
|
у = |
|
|
|
839. Составить |
уравнение |
нормали |
к |
линии |
— ]/ *-(-2 |
|
в |
точке ее пересечения о биссектрисой первого координатного |
||||||
угла. |
|
|
|
|
|
|
|
840.Составить уравнение нормали к параболе у = х 2 —6х + 6, перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вер шиной параболы.
841.Показать, что нормали к линии у = х2 - х - \ - 1, проведен
ные |
в точках |
о абсциссами *1 = 0, |
х2 = — 1 и х3 — 5/2, пересека |
|||
ются |
в |
одной |
точке. |
|
|
|
842. |
В точках |
пересечения прямой х —у + 1 = 0 |
и параболы |
|||
у = х2 — 4х + 5 |
проведены нормали к параболе. Найти площадь |
|||||
треугольника, |
образованного нормалями и хордой, стягивающей |
|||||
указанные точки пересечения. |
|
гиперболе у = |
||||
843. |
Показать, |
что касательные, |
проведенные к |
|||
=в точках ее пересечения с осями координат, параллельны
между |
собой. |
|
|
Y 1О |
|
844. |
Провести касательную к |
|
|
||
гиперболе #==-£■=■ так, чтобы |
|||||
она прошла через начало координат. |
|
X-у-о |
|||
|
|
||||
845. |
На |
линии у = -^ х? найти |
точку, |
в которой касательная |
|
параллельна |
оси абсцисс. |
|
|
|
|
846. |
Найти уравнение касательной к линии |
|
|||
|
|
х2(х + у )= а 2 ( х - у ) |
|
|
|
в начале координат. |
|
14-Зх2 |
|||
847. |
|
Доказать, что касательные к |
|||
|
линии |
у ^ - щ —f , проведен |
|||
ные в точках, для которых у = 1, |
пересекаются |
в начале коор |
|||
динат. |
|
|
|
|
|
60 |
ГJi. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ |
||||||
848. |
Провести |
нормаль |
к линии у = х\пх параллельно прямой |
||||
2к — 2// + 3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
849. |
Найти расстояние от |
начала координат до нормали к лИч |
|||||
нии у = е2х-\-х2, проведенной |
в точке х = 0. |
|
|||||
850. |
Построить график |
функции у = sin (2х — л/3) и найти |
|||||
точку пересечения |
касательных к |
графику, |
проведенных в точках |
||||
с абсциссой Xi = 0 |
и х3 = 5л/12. |
у = а& * |
(а и Ь— постоянные) |
||||
851. |
Показать, |
что |
у |
линии |
|||
подкасательная во |
всех |
точках имеет постоянную длину. |
|||||
852.Показать, что поднормаль линии у=х\п(сх) (с — произ вольная константа) в любой точке данной линии есть четвертая пропорциональная к абсциссе, ординате и сумме абсциссы и орди наты этой точки,
853.Показать, что любая касательная к линии у = \ V х —4*а
пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала коор динат.
854. Показать, что касательная к
дг2 у-
|
эллипсу |
а;>+ b 2 |
= 1 в точке М (х0, |
Уо) |
||
|
имеет уравнение |
- f ^1- = 1. |
|
|||
|
855. |
Показать, |
что |
касательная |
||
|
|
х% |
„2 |
1 вточкеЛ4(х0,г/0) |
||
|
кгиперболе - j — |
= |
||||
|
имеет уравнение ~ |
— УУа = 1 |
|
|||
|
856. |
Доказать, |
что |
нормаль |
к |
|
Рис21 |
эллипсу |
в любой |
его |
точке делит |
||
|
пополам |
угол между фокальными ра |
||||
диусами (рис. 21) этой точки. Вывести отсюда способ построения касательной и нормали к эллипсу.
|
857. |
Составить |
|
|
|
|
£2 £#2 |
||
|
уравнения касательных к гиперболе у — у = 1, |
||||||||
перпендикулярных |
к |
прямой 2х + 4у —3 = 0. |
|
||||||
|
858. |
Через начало координат проведена прямая, параллель |
|||||||
ная |
касательной |
к |
кривой |
в |
произвольной |
ее точке М. Найти |
|||
геометрическое место |
точек |
Р |
пересечения этой прямой с прямой, |
||||||
параллельной оси ординат и проходящей через точку М. |
|||||||||
|
Найти |
такие |
геометрические места для а) |
параболы у1 = 2 рх, |
|||||
б) |
логарифмики |
у = |
logi, х, |
в) окружности х2 + у2 = а2, г) трактрисы |
|||||
у = V а1 —А'2 — о |
In -----—------- . |
|
|
||||||
|
В задачах 859 — 864 найти |
углы, под которыми пересекаются |
|||||||
данные |
линии. |
|
|
*34.4*4.8 |
|
||||
|
|
|
*+ 1 |
|
|
||||
|
859. |
1) |
У= ^т2 |
и у = |
|
16 |
|
||