книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf§ 6. КРИВИЗНА |
101 |
§6. Кривизна
Взадачах 1529 — 1536 найти кривизну данных линий.
1529. |
Гиперболы |
ху = 4 в |
точке |
(2 ,2 ). |
|
|
|
|
|||||||
1530. |
Эллипса |
Х1 |
ф |
* |
в |
вершинах. |
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
1531. |
у = х%— Ах3 — 18х2 |
в |
начале координат. |
|
|
|
|||||||||
1532. |
у2 — 8 х |
в |
точке |
(9/8, |
|
3). |
1533. у = 1пх в |
точке (1, |
0). |
||||||
1534. |
</== \n(x + V T + x?) |
в |
начале координат. |
|
|
|
|||||||||
1535. |
у = sinx |
в точках, соответствующих экстремальным зна- |
|||||||||||||
гениям функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1536. |
Декартова |
листа |
х3 -\-у3 = 3аху |
в точке || а, -|а]. |
|
||||||||||
В задачах 1537 — 1542 |
найти |
кривизну данных |
линий в про |
||||||||||||
извольной точке (х, у). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1537. |
у = г>. |
|
|
1538. |
|
g |
- g |
= l. |
1539. |
</=lnsecx. |
|||||
1540. |
х2/3 +</2/3 = |
а2'3. |
1541. |
|
g j + g = l . |
1542. |
y = a c h } . |
|
|||||||
В задачах 1543 — 1549 найти |
|
кривизну данных линий. |
|
||||||||||||
1543. |
x = 3t2, y = 3t — t3 |
при |
t = |
1. |
|
|
|
|
|
||||||
1544. |
x = a co s3 t, |
y = asin3t |
|
при |
t = tx. |
|
|
|
|
||||||
1545. |
x = a(cos t-\-t sin t), |
y = a(sin t — tcos t) ири |
t = я/2. |
|
|||||||||||
1546. |
x = 2a cos/ — a cos 2/, |
t/ = 2asin t—asi n2f |
в |
произволь |
|||||||||||
ной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1547. |
р = аф в точке р = 1 , |
|
ф = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
1548. |
р = а<р в |
произвольной |
|
точке. |
|
|
|
|
|
||||||
1549. |
р = а<р* |
в произвольной |
точке. |
|
^/3 |
|
|
|
|||||||
1550. |
Найги радиус кривизны эллипса ^ + |
^ |
в то® |
ег0 |
|||||||||||
= |
|||||||||||||||
точке, в которой |
отрезок |
касательной |
между осями |
координат |
|||||||||||
делится |
точкой касания пополам. |
|
|
|
|
|
|
1551. Показать, что радиус кривизны параболы равен удвоен ному отрезку нормали, заключенному между точками пересечения нормали с параболой и ее директрисой.
1552. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой еа точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
1553. Показать, что радиус кривизны лемнискаты р2 = а2со5 2ф обратно пропорционален соответствующему полярному радиусу.
(554. |
Найти |
окружность |
кривизны |
параболы у = х2 |
в точке |
|
(1,1)- |
Найти |
окружность |
кривизны |
гиперболы х у = 1 |
в точка |
|
1555. |
||||||
(1 , О- |
Найти |
окружность кривизны линии у = ех в точке |
(0, 1). |
|||
1556. |
||||||
1557. |
Найти |
окружность |
кривизны |
линии </= tg x |
в |
точка |
(я/4, 1).
102 |
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ |
1558. Найти окружность кривизны циссоиды (.Ц-fу2) х — 2ау2~ 0
вточке (а, а).
Взадачах 1559 — 1562 найти вершины (точки, в которых кри визна принимает экстремальное значение) данных линий.
1559. |
У х -|- У у = У а . |
1560. |
у= 1пх. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1561. |
у = |
ех . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1562. |
х = |
а (3 cos t - \ - cos 3^). У |
= |
я (3 sin t - f sin 3^). |
|
|
|
|
|
||||||
1563. |
Найти наибольшее значение |
радиуса |
кривизны линии |
||||||||||||
p = asin3 ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1564. |
|
Показать, что кривизна в точке Р линии |
y = f(x) равна |
||||||||||||
|y"cos:ia|, где а — угол, |
образуемый касательной |
к |
линии |
в точ |
|||||||||||
|
|
•Ш,В5) |
ке Р с положительным направлением |
||||||||||||
|
|
оси |
абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1565. |
Показать, |
что |
кривизну |
||||||||
|
|
|
|
линии |
в произвольной |
точке |
можно |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
d s i n a |
|
|
|
|
|
представить выражением k = |
- dx |
||||||||||
|
|
|
|
где |
а |
имеет |
то |
же значение, |
что |
||||||
|
|
|
|
и в |
предыдущей |
задаче. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1566. |
Функция |
f(x) |
определена |
||||||||
|
|
|
|
так: f(x) =гх3в интервале — о о < х ^ 1 , |
|||||||||||
|
|
|
|
/ (х) = |
ах 2+ Ь х + с |
в |
интервале |
1 С |
|||||||
|
|
|
|
< х < |
+ оо. |
Каковы |
должны |
быть |
|||||||
|
|
|
|
а,Ь ,е, для того чтобы линия y = f(x ) |
|||||||||||
|
|
|
|
имела |
везде |
непрерывную |
кривизну. |
||||||||
1567. |
|
Даны |
(рис. 35): дуга |
A M |
окружности |
с |
|
радиусом, рав |
|||||||
ным 5, и с центром |
в точке (0, 5) |
и отрезок |
ВС прямой, |
соеди |
|||||||||||
няющей |
точки 5 ( 1 , |
3) и С(11, 66). Требуется точку М соединить |
|||||||||||||
с точкой |
В дугой параболы так, |
чтобы линия A M ВС имела везде |
|||||||||||||
непрерывную |
кривизну. Найти уравнение искомой параболы (взять |
||||||||||||||
параболу 5-го порядка). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах 1568— 1574 |
найти |
координаты |
центра |
кривизны и |
|||||||||||
уравнение эволюты для данных линий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1568. Парабола п-го порядка у - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1569. |
Гппербола |
|
^ = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1570. |
Астроида x2/3-j-i/2/3 = а2/3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
157!. |
Полукубическая парабола у3 = дх2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1572. |
Парабола х —3/, у = Ц —6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1573. |
Циссоида у2--; |
А'' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1574. |
|
|
2 а |
— х ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линия х = а (1 4-cos2 () sin t , |
y= asin2/cos(. |
|
|
|
|
||||||||||
1575. |
|
Показать, что эволюта трактрисы х = |
— a^lntg 2 -f cos/j, |
g = asint есть цепная линия.
§ 7. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ |
103 |
1576. Показать, что эволюта логарифмической спирали р = аф представляет собой точно такую же спираль, только повернутую на некоторый угол. Можно ли так подобрать а, чтобы эволюта совпала с самой спиралью?
1577. Показать, что любую эвольвенту окружности можно получить путем поворота одной из них на соответствующий угол.
1578. |
Показать, что расстояние некоторой точки |
циклоиды от |
||||
центра кривизны соответствующей |
точки эволюты |
равно удвоен |
||||
ному диаметру производящего круга. |
полукубическая |
|||||
1579. |
Эволютой |
параболы |
г/2 = 4ря служит |
|||
парабола |
ру2 = ~7 (х — 2р)3, Найти |
длину дуги |
полукубической |
|||
параболы от острия до точки |
(х, у). |
|
|
|
||
1580. |
Найти длину эволюты эллипса, полуоси которого равны |
|||||
а и Ь. |
Показать, |
что эволютой астроиды x = a co s3 t, tj=-asin3t |
||||
1581. |
является астроида вдвое больших линейных размеров, повернутая на 45°. Воспользовавшись этим, вычислить длину дуги данной астроиды.
1582*. Показать, что эволюта кардиоиды
х = 2a cos t — a cos 21, у = 2а sinf — a sin2t
есть также кардиоида, подобная данной. Воспользовавшись этим, найти длину дуги всей кардиоиды.
1583*. Доказать теорему: если кривизна дуги некоторой линии либо только возрастает, либо только убывает, то окружности кри визны, соответствующие различным точкам этой дуги, не пересе каются и лежат одна внутри другой.
|
|
§ 7. Вычислительные задачи |
|
|
|
1584. |
Найти |
минимум функции y = xiJ r JE2 + X + 1 |
с точностью |
||
до 0,001. |
Найти |
максимум функции у = х-\-\пх — х3 |
с |
точностью |
|
1585. |
|||||
до 0,001. |
Найти |
наибольшее и наименьшее значения функции |
|||
1586. |
|||||
у = хг -ф 3 cos х в |
интервале (0, зт/2) с точностью до 0,01. |
||||
1587. |
Найти |
наибольшее и |
наименьшее значения |
функции |
|
у ^ х — е*1 в интервале (0,2; 0,5) |
с точностью до 0,001. |
|
|||
1588. |
Найти |
координаты точки перегиба линии |
|
|
У = %№ — № + 19х —30)
в точностью до 0,01.
104 |
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ II ИХ ГРАФИКОВ |
1589. Найти координаты точки перегиба линии
у = 6а2 In х + 2х3 — 9х2
с точностью до 0,01.
1590. Найти с точностью до 0,01 кривизну линии у= J,-в точке
ее пересечения с прямой у = х — 1.
1591. На линии у = 1 п х найти с точностью до 0,001 коорди наты точки, е которой радиус кривизны дайной л и н и и в три раза
больше абсциссы этой точки.
Г Л А В А V '
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл и его простейише свойства
1592. Выразить с помощью ингеграла площадь фигуры, огра
ниченной следующими линиями: |
и параболой у —дс2+ 1; |
|||||||
J) |
осями |
координат, |
прямой |
дс = 3 |
||||
2) осью |
абсцисс, |
прямыми |
х = а, |
х = Ь и линией у = е*-\- 2 |
||||
(Ь > а); |
|
|
и дугой синусоиды у = sin х, соответствующей |
|||||
3) осью абсцисс |
||||||||
первому полупериоду; |
и у = 8 — хг; |
|
||||||
4) |
параболами |
у = х2 |
|
|||||
5) |
параболами |
у = х2 |
и у = У х ; |
|
||||
6) |
линиями у = 1пх и у —In2ж. |
|
||||||
1593. Фигура |
ограничена |
осью абсцисс и прямыми у = 2х, |
||||||
х —4, х = 6 . Найти |
площади |
входящих и выходящих «ступенча |
тых фигур («лестниц»), разбивая отрезок [4, 6] на равные части.
Убедиться, |
что оба полученных выражения стремятся при неогра |
|||||
ниченном |
возрастании п к одному и тому же пределу S — пло |
|||||
щади фигуры. |
Найти абсолютную и относительную погрешности |
|||||
при замене данной площади площадями |
входящих и выходящих |
|||||
«-ступенчатых |
«лестниц». |
|
|
|
||
1594. |
Криволинейная |
трапеция с основанием [2, 3] ограничена |
||||
параболой |
у = х2. Найти |
абсолютную и относительную погрешно |
||||
сти при |
замене данной площади площадью входящей 10-ступен |
|||||
чатой «лестницы». |
|
|
|
|||
1595. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой |
|||||
у = х г/2, |
прямыми х = 3, |
х = 6 |
и осью абсцисс. |
|||
1596. |
Вычислить площадь |
сегмента, |
отсекаемого прямой у = |
|||
■=2.к + 3 |
от параболы у = х2. |
|
|
|||
1597. |
Вычислить площадь параболического сегмента с основа |
|||||
нием |
10 см |
и стрелкой h —б см. (Основанием служит хорда, |
||||
перпендикулярная к оси параболы, рпс. 36.) |
||||||
1598. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = |
= х2 — 4х - f 5, осью абсцисс и прямыми х = 3, х = 5.
1599. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами пара
бол у = ^ х 2 и у = 3 —
106 |
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|||||||
1600. |
Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной параболами |
|||||
у = к1 — 6х + 10 и у = 6а — л-2. |
|
|
|
между параболой у = |
|||||
1601. |
Вычислить площадь, |
заключенную |
|||||||
= а 2 — 2а + 2, касательной |
к |
пей в точке |
(3, |
5), осью ординат и |
|||||
осью абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1602. |
Материальная точка |
движется |
со |
скоростью |
и = 2/ + |
||||
+ 4 см/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 с. |
|||||||||
1603. |
Скорость v |
при |
свободном |
падении |
равна gt. |
Найти |
путь, пройденный за первые 5 с падения.
1604. Скорость движения, пропорциональная квадрату време ни, в конце 4-й секунды равна 1 см/с. Чему равен путь, прой денный за первые 10 с?
1605. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению ее (закон Гука). Растя
гивая пружину на 4 см, произвели |
работу 100 Дж . Какая работа |
|||||||||
|
будет произведена при растяжении пружины |
|||||||||
|
на |
10 |
см? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1806. |
Чтобы растянуть пружину на 2 |
см, |
||||||
|
нужно произвести |
работу 20 Д ж . Насколь |
||||||||
|
ко |
можно растянуть пружину, |
затратив |
ра |
||||||
|
боту 80 Дж? |
|
|
v радиоактивного |
|
|||||
|
|
1607. |
Скорость |
рас |
||||||
|
пада |
является |
заданной функцией |
времени: |
||||||
|
v = н(/). Выразить количество т радиоактив |
|||||||||
|
ного |
вещества, |
распавшегося |
за |
время. от |
|||||
|
момента |
7\> |
до |
момента Ту. а) |
приближен |
|||||
|
н о — суммой, |
б) точно — интегралом. |
|
|||||||
Рис. |
36 |
1608. |
Скорость |
нагревания тела является |
||||||
|
заданной функцией времени ф(/). На сколько |
|||||||||
градусов |
0 нагреется тело |
за |
время от момента ТпДо момента |
Т i? |
Выразить решение: а) приближенно—суммой, б) точно — интегралом.
|
1609. Переменный ток / является заданной функцией времени |
||||||||
/ = /((). Выразить |
(приближенно — суммой |
и точно — интегралом) |
|||||||
количество Q электричества, протекшее через поперечное сечение |
|||||||||
проводника за время Т, считая от начала опыта. |
|
||||||||
|
1610. Напряжение Е переменного тона является заданной |
||||||||
функцией |
времени |
£ = ф (/); ток |
/ —тоже заданной функцией вре |
||||||
мени |
/ |
|
Выразить |
работу |
А тока за |
время от момента То |
|||
до |
момента Т у |
а) |
приближенно — суммой, |
б) точно — интегралом. |
|||||
|
1611. Электрическая |
цепь питается батареей аккумуляторов. |
|||||||
В |
течение |
10 мпп напряжение на клеммах равномерно падает от |
|||||||
/С — 60 В |
до |
£ = 40 В. |
Сопротивление цепи R —20 |
Ом. Найти |
|||||
количество |
электричества, протекшее через |
цепь за 10 |
мин. |
||||||
|
1612. Напряжение электрической цепи равномерно падает, |
||||||||
уменьшаясь на а = 1 , 5 В |
в минуту. Первоначальное напряжение |
||||||||
цепи |
£ 0= 1 2 0 |
В; |
сопротивление |
цепи Я = 60 Ом. Найти работу |
|||||
тока |
за 5 |
мин. |
Индуктивностью |
и емкостью пренебрегаем. |
§ I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА |
107 |
1613. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение до стигает 120 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течение одной минуты.
1614. Прямоугольная стенка аквариума, до краев наполнен ного водой, имеет основание а и высоту Ь. Выразить силу Р дав ления воды на всю стенку: а) приближенно — с помощью суммы, б) точно — с помощью интеграла.
1615. а) Вычислить силу Р , с которой вода, наполняющая аквариум, давит на одну из его стенок. Стенка имеет форму пря
моугольника. Длина |
ее а = 60 см, а |
высота b = 25 см. б) Разде |
лить горизонтальной |
прямой стенку |
аквариума так, чтобы силы |
давления на обе части стенки были одинаковыми. |
||
В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в с у м м и р о в а н и е м |
||
1616. Непосредственным суммированием и последующим пере- |
||
|
|
I |
ходом к пределу вычислить интеграл |
\fex dx. (Интервал интегри- |
|
рования делить на п равных частей.) |
о |
|
|
||
1617. Непосредственным суммированием и последующим пере- |
||
|
ь |
|
ходом к пределу вычислить ^xkdx, где А— целое положительное
а
число (интервал интегрирования делить на части так, чтобы абс циссы точек деления образовывали геометрическую прогрессию).
1618. При |
помощи формулы, полученной в предыдущей задаче, |
||||||||||
вычислить интегралы: |
|
|
а |
|
|
|
|
||||
|
1° |
0 + 2 |
|
|
|
|
г“ , |
2 |
|
||
I) |
$ xdx; |
2) |
J |
xdx; |
3) |
$ |
x2 dx; 4) |
\ -£ • dx; |
|
||
|
О |
а —2 |
|
|
|
а/2 |
|
a |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
т |
|
|
2 5 |
|
|
5) |
^ (З*2 —х + |
l)dx; |
6) |
С |
|
dx> |
7) S |
(2 * + 1 )2 dx; |
|||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
1 |
|
|
8) |
$ (* - а) (х ~ Ь) dx; |
9) |
j |
|
dx' |
10) |
$ |
dx; |
|||
|
а |
|
|
|
|
—а |
|
|
|
О |
|
II) |
\х3 dx; |
12) |
$ f |
dx; |
13) |
| ( y - |
dx. |
|
|||
|
О |
|
|
I |
|
|
|
0 |
|
|
|
1619*. Найти |
lim /1 *+ 2 *+ ---+ я_\ при ^ > |
o. Вычислить при- |
|||||||||
ближенно l5 + |
25 + |
n |
- o o \ |
|
n fc+1 |
1 |
|
|
|
||
. . - + |
1003. |
|
|
|
|
|
1620. Непосредственным суммированием и последующим пере
ходом к пределу вычислить интеграл J y . (Интервал интегриро
108 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
вания долить на части так, чтобы абсциссы точек деления обра зовывали геометрическую прогрессию.)
2
f* dx
1621. Для интеграла 1 -- составить интегральную сумму, раз
бив интервал интегрирования на п равных частей. Сравнив с ре зультатом предыдущей задачи, вычислить
1623*. Непосредственным суммированием и последующим пе реходом к пределу вычислить интегралы:
[В 1) разбивать интервал интегрирования на равные части, в 2) н 3) — как в задаче 1620.]
§ 2. Основные свойства определенного интеграла
Г е о м е т р и ч е с к а я и н т е р п р е т а ц и я о п р е д е л е н н о г о и н т е г р а л а
1624. Выразить при помощи интеграла площадь фигуры, огра ниченной дугой синусоиды, соответствующей интервалу 0 ^ х ^ 2 л , и осью абсцисс.
1625. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубической
параболой у = х3 и прямой у = х. |
|
1626. Вычислить площадь фигуры, |
ограниченной параболами |
у — х'1 — 2х — 3 и у = —-х2 + 6 х — 3. |
ограниченной кривыми и=* |
1627. Вычислить площадь фигуры, |
=х3 — х н у = х4 — 1.
Оц е н к а и н т е г р а л а
10
1628. Доказать, что интеграл
о
g
5
меньше чем -g-.
i |
„ |
, |
2 |
1629. Доказать, что интеграл |
\ex~~xdx заключен |
между |
|
п |
|
V е |
и 2еа.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ЮЗ
В задачах |
1630— 1635 оценить интегралы. |
|||
|
3.5 |
2 |
|
5л/4 |
1630. |
J |
1631. |
>632. |
J ( l+ s in 2x)dx. |
|
1.5 |
0 |
|
я/4 |
|
£/2 |
У з |
|
е |
1633. |
I ~ |
—^dx. 1634. $ |
Jcarctgxdx. |
1635. \x7er~xldx. |
|
1/2 |
У з/З |
|
Ь'« |
1636. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1) |
J x 2dx |
или |
Jx *d x ; |
|
2 ) $x2dx |
или |
|
$ x3dx? |
|
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1637. |
Выяснить, |
какой |
из |
интегралов |
больше: |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
I |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
I) |
§2**dx |
или $2-**dx; |
|
2) $ 2*J dx |
или |
$ 2 х' dx; |
|
||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
3) |
Jin xdx |
или |
$ (ln x )2dx;4) |
$ In xdx или |
$(ln x)2dx? |
||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
l |
|
з |
|
|
_ |
з |
|
|
|
|
|
|
|
______ |
|
|
|
|
|||
1638. |
Доказать, |
что |
$ ]/ l + xadx <"|/"5/2, |
воспользовавшись |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
неравенством |
Коши — Буняковского |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
\ h (х) h |
(х) dx U |
|
l / |
$ 1/i W P d x ] f \ [ h (*)P dx. |
|||||||
|
|
а |
|
|
I |
|
Г |
д |
|
|
r |
a |
|
Убедиться, что применение общего правила дает менее точную оценку.
1639. Доказать, исходя из геометрических соображений, сле дующие предложения:
а) если функция /(х) на отрезке [а, Ь] возрастает и имеет во
гнутый график, то
ь
( b - a ) / ( e ) < J / ( x ) d x < ( & - a ) M + M ;
а
б) если функция /(х) на отрезке [а, Ь] возрастает и имеет вы пуклый график, то
( b - a ) f (a)+ f- (b) < f / (Х) d x < ( b - a ) f (ft). a
3
1+ пользуясь результатом за
дачи 1639.
п о |
|
|
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ и н т е г р а л |
|
||||
|
|
|
|
|
[1 |
______ |
|
|
|
1641. |
Оценить интеграл |
jj|/l ф- x*dx, пользуясь: |
|||||
|
|
|
|
|
|6 |
|
|
|
|
а) основной теоремой об оценке интеграла, |
|
||||||
|
б) |
результатом задачи 1639, |
|
|
||||
|
в) |
неравенством |
Коши — Буняковского (см. задачу 1638). |
|||||
|
|
|
С р е д н е е з н а ч е н и е ф у н к ц и и |
|
||||
|
1642. |
Вычислить среднее значение линейной функции y = kx-\-b |
||||||
на |
отрезке |xi, хф. |
Найти точку, в которой функция принимает |
||||||
это |
значение. |
|
|
|
|
|
||
|
1643. |
Вычислить |
среднее значение квадратичной функции у = |
|||||
— ах1 |
на |
отрезке [хи х2]. В скольких точках интервала функция |
||||||
принимает это значение? |
|
|
|
|||||
|
1644. |
Вычислить |
среднее |
значение функции |
у = 2х2 + Зх-|-3 |
|||
на |
отрезке [1, 4]. |
|
|
|
|
|
||
|
1645. |
Исходя из |
геометрических соображений, вычислить сред |
|||||
нее |
значение функции |
y = Y a 1 —* а на отрезке [— а, а]. |
||||||
|
1646. Исходя из геометрических соображений, указать сред |
|||||||
нее |
значение непрерывной нечетной функции на |
интервале, сим |
||||||
метричном относительно начала |
координат. |
|
||||||
|
1647. Сечение желоба имеет форму параболического сегмента. |
|||||||
Основание его а = 1 |
м, |
глубина |
Л = 1 , 5 м (см. рис. 36 нас . 106). |
|||||
Найти |
среднюю глубину желоба. |
|
||||||
|
1648. Напряжение электрической цепи в течение минуты рав |
|||||||
номерно увеличивается |
от £ 0=ЮО В до Е х= 120 В . Найти сред |
|||||||
нюю силу тока за это |
время. Сопротивление цепи 10 Ом. |
1649. Напряжение электрической цепи равномерно падает, убы вая на 0,4 В в минуту. Начальное напряжение в цепи 100 В . Сопротивление в цепи 5 Ом. Найти среднюю мощность в течение
первого |
часа |
работы. |
|
|
|
|
|
|
И н т е г р а л с п е р е м е н н ы м п р е д е л о м ' |
||||||
1650. |
Вычислить интегралы с |
переменным верхним пределом: |
|||||
X |
|
X |
|
|
^ |
|
|
1) ] х2 dx; |
|
2) ] Xs dx; |
3) |
^ |
dx. |
|
|
1651. Скорость движения тела пропорциональна квадрату вре |
|||||||
мени. Найти |
зависимость |
между |
пройденным расстоянием s и вре |
||||
менем t, |
если |
известно, |
что |
за |
первые 3 с тело |
прошло 18 см, |
|
а движение |
началось в момент ^ = 0. |
|
|||||
1652. |
Сила, |
действующая |
на |
материальную |
точку, меняется |
равномерно относительно пройденного пути. В начале пути она равнялась 100 Н, а когда точка переместилась на 10 м, сила