Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 395 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

		$ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ		41
		Н е к о т о р ы е г е о м е т р и ч е с к и е з а д а ч и
415.	Дан правильный треугольник со стороной а; из трех
высот его		строится новый правильный треугольник и так		п раз.
Найти	предел суммы площадей всех		треугольников при я -*-о о .
416.	В	круг радиуса R вписан	квадрат, в квадрат	вписан

круг, в этот круг опять вписан квадрат и так п раз. Найти пре дел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех

квадратов	при п-*~ оо.
. 417. В	равнобедренный прямоугольный треугольник, основа

ние которого разбито на 2п равных частей, вписана ступенчатая фигура (рис. 15). Доказать, что при неограниченно возрастаю щем п разность между площадью треугольника и площадью сту пенчатой фигуры бесконечно мала.

	Рис.	15	Рис. 16
418. В	равнобедренном прямоугольном		треугольнике, катет
которого	равен а,	гипотенуза разделена на	п равных частей и

из точек деления проведены прямые, параллельные катетам. При этом получается ломаная AKLMNOPQRTB (рис. 16). Длина этой

ломаной	при любом п равна 2а, значит, и предел ее длины ра
вен 2а.	Но, с другой стороны, при неограниченном возрастании п
ломаная	неограниченно приближается к гипотенузе треугольника.

Следовательно, длина гипотенузы равна сумме длин катетов. Найти ошибку в рассуждении.

419. Отрезок АВ длины а разделен п точками на равные части, и из этих точек проведены лучи под углами я/2и (рис. 17). Найти предел длины получившейся ломаной линии при неограни ченном возрастании п. Сравнить с результатом предыдущей задачи.


	420.	Отрезок АВ длины а разделен на п равных частей. На
каждом		частичном		отрезке построена дуга окружности, равная
л /п	радиан		(рис.	18). Найти предел длины получившейся линии
при	я - * о о .		Как	изменится результат, если на каждом частичном

отрезке будет строиться полуокружность?

421. Окружность радиуса	R разделена п точками М и Мг, ...
. . . , Мп на равные части. Из	каждой такой точки проведена дуга

42		ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
окружности	радиуса г до пересечения с дугами, построенными
в соседних	точках (рис. 19). Найти			предел длины получившейся
замкнутой линии при неограниченном возрастании п.
422.	Два	круга	с радиусами	R и г (/ ?> г) касаются в начале
координат	оси	OY и	расположены	правее нее (рис. 20). Какого

порядка относительно х при х -» -0 будут бесконечно малый отре зок ММ' и бесконечно малый угол а?

4A A A A A /V V V N A g

Рис. 17

423. Центр окружности соединен отрезком прямой ОР с точ кой Р, лежащей вне окружности. Из точки Р проведена каса тельная Р Т к окружности и из точки Т опущен перпендикуляр TN на прямую ОР. Доказать, что отрезки АР и AN, где А — точка пересечения прямой ОР с окружностью,— эквивалентные бесконечно малые при Р -*■ А.

424. В конечных и в средней точках дуги АВ окружности проведены касательные и точки А и В соединены хордой. Дока зать, что отношение площадей образовавшихся при этом двух треугольников стремится к 4 при неограниченном уменьшении дуги АВ.

	В ы ч и с л и т е л ь н ы е з а д а ч и
425.	Исходя из эквивалентности при х ~у 0 функций Y 1			1
и у х ,	вычислить	приближенно: 1) \|/105; 2)	3)	V 260;
4) V I6 3 2 ; 5)		6) ]^ 0Д 2Т .

$ 4.	НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ	43
426. Показать, что	ft	и xjn —
426. Показать, что	при х -» -0 функции y l + x — 1	и xjn —

эквивалентные бесконечно малые. Воспользоваться этим для при

ближенного вычисления корней:		1)	У 1047;	2)	У 8144;	3)	У 1,1;
4) У 1080. Найти значение	этих	же	корней	с	помощью логариф
мических таблиц. Сравнить	результаты.
427. Использовать эквивалентность 1 п (1 + х ) и х						при	х -> 0

для приближенного вычисления натуральных логарифмов следую

щих	чисел: 1,01; 1,02; 1,1; 1,2. Найти	десятичные логарифмы
этих	же чисел и сравнить с табличными	данными.

ГЛАВА III

ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. Производная. Скорость изменения функции

				Н е к о т о р ы е з а д а ч и ф и з и к и
	428. Дано уравнение прямолинейного движения							точки:
						s = 5/+ 6.
	Определить среднюю скорость движения: а) за первые 6 секунд,
б)	за	промежуток			времени	от конца 3-й до конца б-й секунды.
	429. Точка М удаляется от неподвижной точки А так, что
расстояние AM растет пропорционально квадрату времени. По
истечении 2 мин от начала						движения расстояние		AM равнялось
12 м.		Найти среднюю скорость движения:					а) за	первые	5	мин,
б)	за	промежуток			времени	от / = 4 мин до	t — 1 мин, в)		за	про
межуток			времени		от t~t\ до / = /2.				з
	430.
			Дано уравнение прямолинейного движения: s = /3 - f у .
	Найти			среднюю скорость		движения за промежуток времени от
if =	4 до		^	4 + Л/, полагая		А/= 2; 1; 0,1; 0,03.			ар.
	431.		Свободно		падающее	тело движется				где
							по закону s = ^ -,

g ( = 9 ,8 0 м/с2) есть ускорение силы тяжести. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от / = 5 с до (t-\-At) с, полагая Д/= 1 с; 0,1 с; 0,05 с; 0,001 с; найти скорость падающего тела в конце 5-й секунды, в конце 10-й секунды. Получить фор мулу для скорости падающего тела для любого момента времени t.

432. Имеется тонкий неоднородный стержень АВ. Длина его L = 2Q см. Масса отрезка AM растет пропорционально квадрату расстояния точки М от точки А, причем известно, что масса отрезка AM = 2 см равна 8 г. Найти: а) среднюю линейную плотность отрезка стержня AM = 2 см; б) среднюю линейную плотность всего стержня; в) плотность стержня в точке М.

433. В тонком неоднородном стержнеАВ длиной	30 см масса
(в граммах) распределена по закону т = ЗР + 51, где		I —длина
части стержня, отсчитываемая от точки А. Найти:	1)	среднюю
линейную плотность стержня; 2) линейную плотность:	а) в точке,

$ 1. ПРОИЗВОДНАЯ. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ

отстоящей от точки А на расстоянии 1 = 5 см, б) в самой точке А, в) в конце стержня.

434. Количество тепла Q (в джоулях), необходимого для нагре вания 1 кг воды от 0 до /°С, определяется формулой

Q= 4186,8 (/ + 0,00002/* + 0,0000003/®).

Вычислить теплоемкость воды для / = 30°, / = 100°.

435*. Угловую скорость равномерного вращения определяют как отношение угла поворота к соответствующему промежутку времени . Дать определение угловой скорости неравномерного вращения.

436. Если бы процесс радиоактивного распада протекал равномерног то поя скоростью распада следовало бы понимать количе

ство вещества, разложившегося в единицу времени. На самом деле процесс протекает неравномерно. Дать определение скорости радиоактивного распада.

437. Сила постоянного тока определяется как количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в единицу времени. Дать определение силы переменного тока.

438. Термическим коэффициентом линейного расширения стержня называют приращение единицы его длины при повышении темпе ратуры на 1 °С, если предположить равномерность теплового рас ширения. На самом же деле процесс протекает неравномерно. Пусть / = /(/), где / —длина стержня, / —температура. Дать определение коэффициента линейного расширения.

439. Коэффициентом растяжения пружины называют прираще ние единицы длины пружины под действием единичной силы, действующей на каждый квадратный сантиметр сечения пружины. При этом предполагается пропорциональность растяжения дейст вующему усилию (закон Гука). Дать определение коэффициента

растяжения			k в случае уклонения от закона Гука. (Пусть							/ —
длина	пружины, S — площадь поперечного сечения, Р —растяги
вающая		сила	и / = ф(Р).)
			П р о и з в о д н а я ф у н к ц и я
440.		Найти приращение функции у = х3					в точке Хх = 2, полагая
приращение			Ах независимой		переменной		равным: 1)	2;	2)	1;
3) 0,5; 4) 0,1.
441.		Найти отношение			для	функций:
1)	у = 2 х3 —х* + 1			при х = 1;		Аде = 0,1;
2)	у = --			при х = 2 ;		А* = 0,01;
3)	y = V x			при х = 4;		Ах = 0,4.
Показать,			что при	Д х -*-0	предел этого отношения			в	первом
случае	равен		4, во втором равен			— 1/4, в	третьем равен	1/4.


46		ГЛ. lit . ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
442. Дана		функция			у= х*.	Найта	приближенные			значения
производной в		точке х = 3, полагая последовательно Дх								равным:
а) 0,5;	б) 0,1; в) 0,01; г) 0,001.						f* (— 3/2).
443.	/(х) = х2;		найти		f (5);	(— 2);
444.	/ (х) =	х*;	найти		/'(1); /'(О); / '( - ^ 2 ) ;				/'(1/3).
445.	/ (х )= х 2. В			какой точке		/(х) = /'(х)?
446.	Проверить,			что	для функции /(х) = х*				справедливо соот-
иошение f (a + b ) = f ( a ) + f (&)•						Будет	ли это		тождество	справед
ливым для функции /(х) = х*?
447.	Найти производную функции # = sinx								при х = 0.
448.	Найти производную функции у = lgx							при х = 1.
449.	Найта	производную функции у = 1 0 *						при х = 0.
450.	Известно,		что /(0) = 0 и существует						предел выражения

~при х -» -0 . Доказать, что этот предел равен /'(0).

451. Доказать теорему: если /(х) и <р(х) при х = 0 равны нулю [/{О) = 0, ф (0) = 0] и имеют производные при х = 0, причем Ф' (0) ^ 0, то

452. Доказать, что если /(х) имеет производную при х = а, то

lim xf (а)—о/ (х) - / ( a ) - a / ' (а).

X-*в х—й

453.Доказать, что производная четной функции есть нечеткая

функция, а производная нечетной функции — четная функция.

	Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л п р о и з в о д н о й
	454. Найти угловой			коэффициент касательной,				проведенной
к	параболе	г/ = х2:	1)	в начале	координат; 2)	в	точке (3,		9);
3)	в точке	(— 2, 4);	4)	в точках	пересечения	ее	с	прямой	у =

*= Зх — 2.

455.В каких точках угловой коэффициент касательной к куби ческой параболе у — х* равен 3?

456.В какой точке касательная к параболе у = х *: 1) парал лельна оси Ох, 2) образует с осью Ох угол 45°?

457.Может ли касательная к кубической параболе у = х3 составлять с осью Ох тупой угол?

458.	Под	какими	углами пересекаются парабола у = хг и пря
мая Зх — у —2 = 0?				параболыу = х 3 и
459.	Под	какими углами пересекаются
t/2 = х?				у = \ /х с пара
460.	Под каким		углом пересекается гипербола

болой y = sV x i

	$ 2 . ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЯ	47
461. Написать	уравнения касательной и нормали, проведенных
к кривой у = х3	в точке с абсциссой 2. Найти	подкасательную

иподнормаль.

462.При каком значении независимой переменной касательные

ккривым у = х2 и у = х 3 параллельны?


463.	В какой точке касательная к параболе								у = х?‘.	1)	парал
лельна	прямой	i/ = 4x — 5;			2)	перпендикулярна			к прямой		2х —
— 6i/-f5 = 0; 3)		образует с			прямой		Зх — i/-f 1 = 0		угол	45°?
464.	Доказать,		что	подкасательная,				соответствующая			любой
точке параболы у = ах2,				равна		половине		абсциссы точки касания.
Используя это		обстоятельство,				дать	способ построения			касатель
ной к параболе в данной ее точке.
465.	Доказать,		что	нормаль к			параболе в		любой	ее	точке

служит биссектрисой угла, составленного фокальным радиусом точки и прямой, параллельной оси параболы и проходящей через данную точку.

	§ 2. Дифференцирование функций
		С т е п е н н ы е ф у н к ц и и
В задачах	этого	раздела х,	у, г, (, и, и, s —независимые пере
менные; а, Ь,	с, d,	т, п, р, q	— постоянные.

466.Продифференцировать функцию:

Зх2 — 5х +

2) х4 —

л® +

2,5л:а — 0 ,З х + 0 ,1 ; 3) ах3 + Ьх-\-с;

У 7 + К 2 ; 5) 2 V x — ^ + V 3 ; 6) 0 , 8 у ^ - ^ + ^-2;

«7\

хг

т?

tnx2

| пх У х

У х .

Q. « и Н - я * + 4 0

™ . о\

г *

р г л-

о\

• Ш‘

■ X

У'х '

У~х

Р + Ч

V x ( x * - V x + l);

Ю) °,1<

И)

(х — 0,5)2;

12)

13)

(у + I)2 (V— 1);

14)

0 , 5 - 3 ( а - X ) 2;

15)

16) (S i± JL )\

467.

/(*) =

3 x - 2 V x ; найти /(1); /'(1);

/(4); /'(4); /(а2); /'(а1)-

468.

/(0

; найти / ( -

1); /' ( -

1); Г (2); /'

469.

/ (г )=

—~ 3г~^—

найти /' (- [) .

470.

/ (х) = 4 — 5х 4- 2х* — х*. Показать,

что

В задачах 471— 489 продифференцировать указанные функции.

ГЛ. Ш . ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ

47t.

1) у = (х2 — 3* + 3) (JC®+ 2х

1).

у = (х3 - З х + 2)(х* + х2 -1У,

3) 0 =

4 )

= ( jfx + 2 x ) ( l + V ^ +

3x);

~\v л - г - Л/ч. . . .

у =

(д:*х2 -—1 1) (дга*

-— 4) (ха2 - 99);;

i/ = ( l + V Ajf ) ( l + V r2 x ) ( l+ V A3x)«

472. у = ?±±{.

473.

У= -зг& ‘

х— Г

47d

о _ 3^+1

475.

ы — 5гр5^ТГ-

S -----^ Г Г *

47в-

- г Л

477.

2 =

з (^ —Г) +

(■** — 1) (1 — х),

478- “ - т а

479. » = £ £ .

и2—ы-4-1

481.

48°- » - ^ л -

и = - а 2 — .

482.

483.

2 =

(2+t + ^.

V Д

*ос

2х*

484’

8 =

485.

У — ь2 —х^

„п„

2*з).

487.

у — ( [ _ ж2)( 1 _

, ап

а2Ь2сг

488-

» - £ $ * £ * ■

48У‘

У ~ (х —а)(х'-Ь)(х_с)*

(\)

490.

f(x) = (x* + x + \ )(x 2 - x + \ y ,

найти

f’ (0)

н f

491.

F (JC) =

(д: — 1) (х — 2) (дс — 3); найти

F' (0),

F' (1) и

р , {2)

492.

F (х) =

найти

<°) и

( -

О-

493.

s(/) =

^ - y

y ; найти

s ' (0) и s ' (2).

494.

у (х) =

(1 +

л:8) (5 — ^ ) ;

найти

у’ (1)

и у' (а).

495.

р (ф) =

т ^

;

найти р '(2)

и р '(0).

496.

ф ( г ) = ^ | ;

найти ф'(1).

497.

z (t)= {V P +

l)/; найти г'(0 ).

задачах

498— 513 продифференцировать данные функции.

498.

(х -

а) (х - Ь ) ( x - c ) ( x - d ) ;

(*а + 1)*;

(\_ *)*>,

( I +

2х)30;

(1 - х2)10;

6) (5*3+ х2-

4)»;

7) (*з _

х)*;

8 ) ( 7 ^ - 1

+ 6)*;

9) s = ( P - i + 3)‘ ;

10) » - g ± j ) * ;

i 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

11) у = ( ± ± § ) в; 12) у = (2х* + 3*2 + 6* + 1)4.

_____ (*-И)2

«"■ ^ т т й -

503. у — У"1 — г*.

«>505. и = ^ Y z ^ j m >

507. y = - = L = . V at—х*

^509. W= - 7 = = L = . y У 1—ж*—x*

511. У = 7= — .

СЗДЛ

500. S —(1_ ^ 2.

502.	i , = b p .
504.	г/ =	(l —2x *) ■
5oe* y =		(F~ ^ qri)»'
508*	У = '\/'T+1^5'
510.	у	\+x
510.	у	V \—х‘
		V \—х‘
512.	и =	------ Л = .
		о _ ^ в 2+р*

- m	F - 77= = =		+ 77 —5:-- = .
	*/2ж— 1		/(x 2 + 2 )«
514.	и(ц) =	(уг +	1’+ 2)3/а; найти и' (1).
515.	у(х) =	у Г~ н а й т и		у '(2).
516.	1/(х) =	\|/Г	найти	У (0).

Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и

В задачах 517— 546 продифференцировать данные функции.

517.У == sinx + cosx.

519.У =_ t?xX *

521.	2 =_ sin а ,	а
	а	sin а '
523	X
523	У sin ж+ cos ж*
525.	У == COS2 X.
527.		1	ч
527.	У == cosx — g-cosdx.
529.	У = =*- tg3 х -		tg x + х.

531.У =- sec2 x + cosec2 x.

533.У*= acos-^.

518. У

1 — cos ж*

e 520. P = Фsin ф + СОвф.

522. s =		sin t
		1 cos t *
KOI	У	X sin X
		1 + 1 ё ж*

526. У= y t g 4 X .

« 528.	У= 3sin2x —sin8x,
530.	У= x sec2 x — tgx.
532.	У= sin3x.
e 534.	У= 3sin(3x+5).

50	ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ

535.

537.

,539.

541.

543.

545.

547.

	t g £ ± i .		536.	i/ =	lA + 2 t g jc .
y =	sin-i-.		588.	£/=	sin (sin x).
у = cos34x.			540.	y = Y igK2 ‘
			540.	y = Y igK2 ‘
д =	sin	1 + x2.	542.	у =	ctg \fT+x*.
y = ( l +		sin2 x)4.	544.	y =	\| /"l + t g ^ x + - ^ .
^ =	„ i _ V T		* 546.	i/ =	sin2 (cos3x).
^ =	cos2 -— — .		* 546.	i/ =	sin2 (cos3x).
		l + У *
Вывести		формулы

(sinnx cos tix)' = n sin ^ x cos (n +	1)*‘.
(sinnx sin nx)! = n sin"-1 x sin (n +	1) Jc;
(cosnxsinnx)' = ti cos^ x cos (n +	l)*i

(cos" X cos nx)' = — n COS'1-1 X sin (n + 1) X.

О б р а т н ы е т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и

В задачах 548— 572 продифференцировать данные функции.

548.	t/ =	x arcsin x.	549.	_arcsin х
548.	t/ =	x arcsin x.	549.	У	arccosх‘
				У	arccosх‘
550.	y —(arcsin x)2.		я 551.	г/ =	х arcsinx +	l/ 7 x2
552.		1	553.	y =	xsi nx arctgx.
552.	H= ------:--- .		553.	y =	xsi nx arctgx.
	a	arcsin x
554.		arccosж	555.	y = V x arctgx.
554.	У	x •	555.	y = V x arctgx.
	У	x •
556.	у =	(arccos x + arcsin x)n.
557.	у =	arcsec x.	558.	'/ = y ^ 7 2- a r c tg x .
		arcsin х			1
559.			*'560.		X
559.	У	У 1—X2’	*'560.	У	arctg x "
561.	у =	arcsin (x — 1).	562.	у =arccos 2x— 1
					/ 3	*
563.	i/ =	arctg x*.	564.		. 2
563.	i/ =	arctg x*.	564.	y = arcsin—.
565.	t/ =	arcsin (sinx).	566.	jf= a rc tg 2 -~.
567.	t/ = V^l — (arccos x)2.		568.		/ ~ x
567.	t/ = V^l — (arccos x)2.		568.		T + ~ x -
					T + ~ x -
569.	у =	^ У arcsin У^х2 +	2х.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 395 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб1Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб8Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб24Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб1Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб41Сборник задач по подземной гидравлике..pdf