книги / Механика грунтов, основания и фундаменты.-1

дх 2&х ’ д у ~ 2Ау ’

Индексация при обозначении функции соответствует нумерации узлов конечно-разностной сетки.

Поскольку определяющие дифференциальные уравнения содер­ жат все необходимые константы (например, упругие характеристики

231

К и G в задачах теории упругости), то эти константы входят

ив конечно-разностные соотношения.

Витоге дифференциальные уравнения краевой задачи заменяют­ ся конечно-разностными соотношениями, объединяющимися в си­ стему линейных алгебраических уравнений . Введение гра­ ничных условий в виде фиксированных значений переменных или

их производных на границах расчетной области делает систему уравнений определенной. Чаще всего в качестве неизвестных в .зада­ чах механики грунтов фигурируют перемещения, значения которых для каждого узла конечно-разностной сетки находятся в результате решения системы уравнений известными методами линейной алгеб­ ры. Через, найденные перемещения вычисляются относительные деформации и напряжения, т. е. задача,о напряженно-деформиро­ ванном состоянии оказывается решенной.

Характеристики свойств среды могут быть как одинаковыми во всей расчетной области, так и различными на отдельных ее участ­ ках. Это позволяет решать МКР Задачи для неоднородных сред. Обладая большими возможностями, МКР тем не менее получил меньшее распространение при решении задач механики грунтов, чем МКЭ. Объяснение причин этого выходит за рамки учебника. Но стоит сказать о том, что особенности построения конечно-разност­ ных сеток создают определенные трудности при воспроизведении сложных границ расчетной области, участков, резко отличающихся по физико-механическим свойствам. Точность решения в основном определяется густотой конечно-разностной сетки и не может быть повышена другими способами. Но при решении некоторых классов задач МКР применяется весьма эффективно.

Метод конечных элементов, МКЭ является мощным средством решения широкого круга задач, описываемых дифференциальными уравнениями. Возникновение этого метода связано с проблемами авиастроения и космических исследований. Первые сведения о МКЭ были опубликованы в 1956 г. в статье М. Тернера, Р. Клафа, Г. Мартина и Л. Топпа. Дальнейшее развитие метода связано с фундаментальными трудами Д. Аргириса, О. Зенкевича, Р. Мелоша, Д. Одена и др. По-видймому, первые в СССР приложения МКЭ к расчетам сооружений и оснований приводятся в работах

Л.А. Розина* и С. Б. Ухова**.

Втечение последних 20 лет МКЭ активно применяется для решения научных и прикладных задач во многих областях знаний, глубокое развитие получили теория метода, процедура его примене­ ния. Среди изданной на русском языке литературы теоретические

*Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. Л., 1971.

**Ухов С. Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов.— М.: МИСИ, 1973.

232

основы МКЭ, пожалуй, наилучшим образом изложены в работе К. Васвдзу (1987), в которой дана общая -формулировка решения задач механики сплошных деформируемых сред. Конечно-элемент­ ные процедуры исчерпывающе описаны, в частности, в квите К. Бате и £. Вилсона (1982). Для начального знакомства с МКЭ полезна книга Л. Сегерлинда (1979). В настоящее время основы МКЭ рассматриваются в учебниках и курсах теории упругости и пластичности.

Сейчас МКЭ широко применяется для решения задач механи­ ки грунтов. Первой успешной попыткой систематизации знаний в этой области в отечественной литературе явилась монография А. Б. Фадеева (1987). С использованием МКЭ, как отмечает А. Б. Фадеев, связана каждая третья публикация в области геотех-

При решении задач МКЭ расчетная область, которая может представлять собой грунтовый массив, систему типа «фундамент — основание» или «сооружение — основание» и т. и, разбивается на

233

где [А] — матрица жестко­ сти системы элементов; {U} — вектор компонент пе­ ремещений узловых точек; {F} — вектор компонент сил, приложенных в узлах.

Вектор {А} суммирует за­ данные воздействия от со­ средоточенных, поверхност­ ных и объемных сил и таким образом может быть опре­ делен. Матрица жесткости {X} формируется с исполь­ зованием соотношения

кости элем ента, и сумми­ рование выполняется по специальным правилам для всей системы

из Е элементов. Матрица к® для каждого элемента однозначно определяется его конфигурацией, задаваемой координатами узлов, и характеристиками деформационных свойств материала в пре­ делах элемента.

Система линейных алгебраических уравнений (8.3) формируется

ирешается на ЭВМ при-заданных граничных условиях задачи.

Врезультате решения определяются компоненты вектора переме­

щений {{/), после чего вычисляются, относительные деформации и напряжения в каждом элементе:

(8-5)

где {ew} н {ow} — соответственно векторы компонент относпгельных деформаций и напряжений в элементе; [5м] — матрица, опре­

деляемая через координаты узлов элемента; [D(e)] — матрица дефор­ мационных характеристик материала элемента.

При решении задач, основанных на предположении о линейной деформируемости грунта, формализация решения МКР и МКЭ осуществляется достаточно просто. К настоящему времени раз­ работаны многочисленные вычислительные программы, реализу­ ющие подобные решения. В случае нелинейных задач процедура расчета усложняется. Основные положения решения таких задач будут рассмотрены ниже.

Некоторые практические рекомендации. В отличие от задач стро­ ительной механики, где рассчитываемые элементы конструкций

235

имеют конечные размеры, в механике грунтов объектом исследова­ ний является практически не ограниченный в размерах грунтовый массив, взаимодействующий с сооружением. В то же время как в МКР, так и в МКЭ в качестве расчетных рассматриваются об­ ласти, имеющие конечные размеры. Это приводит к необходимости ограничивать размеры расчетного участка массива (расчетной об­ ласти), но таким образом, чтобы влияние искусственно введенных границ не приводило к значительному искажению результатов ре­ шения.

Численные методы позволяют решать краевые задачи для неод­ нородных сред. Характер неоднородности, связанный с наличием в расчетной области участков с различными физико-механическими свойствами материалов, учитывается при назначении конечно-раз­ ностных сеток или конечно-элементной дискретизации. От качества сетки в большой степени зависит точность окончательных резуль­ татов. Сетку разбивки назначают так, чтобы в пределах одного элемента среда была однородной. На участках области, где желате­ льно получить более точные результаты, а также в зонах, где ожидаются наибольшие градиенты напряжений, производится ло­ кальное сгущение сетки.

Назначение граничных условий производится с учетом особен­ ностей решаемой задачи. На участках свободных границ расчет­ ной области могут быть заданы внешние силовые воздействия. На внутреннем контуре, который «вырезает» расчетную область из полупространства, граничные условия обычно вводятся в виде фиксированных значений одной или двух компонент перемеще­ ний узлов (часто равных нулю), хотя возможны и другие вариан­ ты их назначения. После задания граничных условий система урав­ нений становится определенной и решается методами линейной алгебры относительно неизвестных компонент перемещений. Далее через перемещения узлов определяются относительные деформации и напряжения, например в МКЭ, с использованием соотношений (8.5).

Методы решения задач нелинейной механики грунтов. В изложен­ ном выше виде аппарат МКР и МКЭ позволяет рассчитывать напряженно-деформированное состояние расчетной области (напри­ мер, массива грунта или системы «сооружение — основание») при использовании модели линейного деформирования грунта. Уже и в этом случае очевидно преимущество численных методов перед аналитическими, поскольку первые позволяют решать задачи для неоднородных, систем. Решение физически нелинейных задач меха­ ники грунтов выполняется специальными способами, сводящимися к итерационным процессам вычислений.

Итерационный процесс представляет собой последовательное выполнение приближений (итераций). Если зависимость между напряжениями и деформациями для грунта линейна и деформаци-

236

онные свойства грунта определяются постоянными значениями мо­ дулей объемной деформации и сдвига К и G, то решение матрич­ ного уравнения МКР или МКЭ, например (8.3), позволяет получить окончательный результат в первой же итерации. В случае физичес­ кой нелинейности материала выполняется последовательность ите­ раций, но в каждой итерации производится анализ напряженнодеформированного состояния в узлах (МКР) или в элементах (МКЭ), и система уравнений преобразуется таким образом, чтобы удовлетворялись нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями, а также условия равновесия. Итерационный про­ цесс заканчивается, когда достигнута заданная точность решения. Некоторые методы решения физически нелинейных задач рассмат­ риваются ниже на примере деформационной модели грунтов (см. § 3.3). Будем считать, что расчет ведется МКЭ.

М етод переменной жесткости. Рассмотрим задачу о расчете напряженно-деформированного состояния грунтового массива. Для простоты изложения предположим, что массив однороден и свойст­ ва грунта описываются нелинейными диаграммами объемного сжа­ тия и формоизменения, определенными экспериментально. Решение осуществляется последовательным выполнением итераций. В каж­ дой итерации рассматривается квазиупругая задача с фиксирован­ ными в данной итерации значениями показателей K E G.

Перед выполнением первой итерации встает вопрос о выборе начальных значений характеристик К и G. Их часто назначают соответствующими наклону начальных участков диаграмм дефор­ мирования. Например, по диаграмме E „ = f(a m) (ряс. 8.4) начальный модуль объемной деформации Кхможет быть принят равным tgoti. Аналогично по диаграмме формоизменения назначается начальный модуль сдвига Gx.

После выполнения первой итерации оказываются известными напряжения и деформации в элементах, причем точки, соответст­ вующие напряжениям ат и деформациям втв элементах, согласно упругому закону деформирования, должны находиться на луче, проведенном под углом ахк оси вт, т. е. отклоняться от криволиней­ ного графика Ет=/(<гт). Предположим, что для некоторого элемента эта точка заняла положение Г (рис. 8.4) с координатами (е^, <тщ). Сохраняя постоянным среднее напряжение ощ, сместим точку Г на кривую ет = / ( О в положение 1 и определим новое значение модуля как К2= tga2 (рис. 8.4), который часто называют секущим мо­ дулем.

Естественно, что по результатам первой итерации напряжения и деформации в различных элементах будут различными, вследст­ вие чего будут различными и значения секущих модулей. Проведем повторное решение задачи (вторая итерация) с полученными значе­ ниями секущих модулей и найдем для рассматриваемого элемента

237

точку 2 на графике, лежащую уже ближе к опытной кривой. Скор­ ректировав снова значение секущего модуля J£3= tg a 3, выполним следующую итерацию и получим точку 3’. Дальнейшая последова­ тельность решений строится аналогично, асимптотически прибли­ жаясь к точному решению. Анализ реальных краевых задач включа­ ет одновременное рассмотрение диаграмм объемных деформаций

иформоизменения и изменение от итерации к итерации секущих модулей К и G для каждого элемента.

Решение некоторых практических задач требует учета последова­ тельности приложения нагрузок (разгрузка основания при разра­ ботке котлована, поэтапное нагружение при возведении сооружения

ит. д.). В этом случае в расчетах осуществляется так называемое инкрементальное нагружение, т. е. нагрузка прикладывается от­ дельными шагами (инкрементами) {AF} и на каждом шаге нагруже­ ния выполняется итерационное решение нелинейной задачи. В ре­

зультате на каждом шаге определяются непосредственно не полные перемещения {С/}, а их приращения {АС/}, соответствующие шагу нагружения, и для каждого элемента вычисляются приращения деформаций {As} и напряжений {Ас}.

Рассмотрим ход решения задачи на примере анализа диаг­ раммы формоизменения (рис. 8.5). Пусть начальное значение моду­ ля сдвига характеризуется величиной G i=tg Предположим, что после первого шага нагружения {AFi} в некотором элементе получено напряженно-деформированное состояние, соответству­ ющее точке 1 с координатами уп и хп. При этом определены векторы перемещений {Ui}, деформаций {sj} и напряжений {ci}.

На следующем шаге к расчетной области прикладывается вто­ рой инкремент нагрузки {AF2}. Проведя первую итерацию при

238

модуле сдвига С7Ь определим приращения векторов перемещений {А£/2}, деформаций {Дб2} и напряжений {Дод}, через которые вычис­ лим полные значения напряжений и деформаций, а затем сдвиговые деформации у'а и напряжения Тд. Соответствующая им точка 2' показана на рис. 8.5. Поскольку точка 2' отклоняется от диаграммы у,=/(т,), т. е. значения у'а и Тд не соответствуют «истинным», приме­ няется итерационный процесс, аналогичный описанному выше. Раз­ ница с предыдущим заключается в том, что итерации выполняются для каждого инкремента нагружения. В следующих итерациях на­ значаются модули сдвига, соответствующие тангенсам углов а2, а3 и т. д. и называемые касательными или тангенциальными модулями.

Сходимость описанных выше итерационных процессов доста­ точно быстрая. Вместе с тем, поскольку изменяются параметры деформационных свойств, в каждой итерации приходится заново формировать матрицу жесткости системы и производить ее обраще­ ние для получения промежуточных решений. Избежать многократ­ ного повторения этого цикла, требующего больших затрат машин­ ного времени, позволяют методы, описанные ниже.

М етод начальны х напряжений. В этом методе итерацион­ ный процесс сопровождается изменением вектора нагрузки. Идея заключается в том, что после получения упругого решения (точка Г на рис. 8.6, а) определяется отклонение полученных значений напря­ жений от «истинных» (Ат,]). Разница между полученными и «истин­ ными» напряжениями перераспределяется в соответствии с упругим законом в узлы элемента в виде узловых сил, которые добавляются к вектору нагрузки. Последующая итерация выполняется сизменен­ ным вектором нагрузки без дополнительной модификации матрицы жесткости. Характер процесса сходимости решения иллюстрируется на рис. 8.6, а. При общей экономии времени на проведение одной итерации число итераций, необходимое для достижения заданной точности решения, оказывается большим, чем в методе переменной жесткости.

М етод начальны х деформаций. Этот метод во многом сходен с методом начальных напряжений, но здесь после получения упругого решения определяется отклонение вычисленных дефор­ маций от «истинных» (Aem,). Полученное отклонение (рис. 8.6, 6) с помощью упругого закона пересчитывается в соответствующий дефицит напряжений с дальнейшим преобразованием в дополни­ тельные узловые силы. По своей эффективности метод начальных деформаций аналогичен методу начальных напряжений.

239

диаграмм вида ат— ^ на рис. 8.6, б. Изложенные методы могут применяться в расчетах раздельно или в комбинации как для моде­ лей деформационного типа, так и при использовании более слож­ ных моделей грунтов.

Реализация численных методов расчетов на ЭВМ. Даже поверх­ ностное знакомство с численными методами свидетельст вует о том, что решение задач сопровождается обработкой огромных объемов числовой информации. В первую очередь это связано с необходимо­ стью формирования и решения систем уравнений с большим числом неизвестных. Количество хранимой и обрабатываемой информации возрастает при решении нелинейных задач механики грунтов итера­ ционными методами, поэтому реализация расчетов возможна толь­ ко с применением высокопроизводительных ЭВМ. Примечательно, что развитие теории, совершенствование аппарата и расширение сфер приложения численных методов проходили параллельно с раз­ витием вычислительной техники.

Очень важной особенностью численных методов является то, что определенные этапы решений однотипны для различных задач и приложений методов. Они могут быть описаны стандартными алгоритмами и оформлены в виде самостоятельных подпрограмм. Примером этого в МКЭ служат входящие во многие вычислитель­ ные комплексы библиотеки подпрограмм, выполняющих обработку разнообразных типов конечных элементов: формирование матриц жесткости и векторов нагрузки, вычисление деформаций и напряже­ ний в элементах и т. д. Тот же принцип используется при расшире­ нии пакета подпрограмм, реализующих введение в расчет различ­ ных моделей механического поведения грунтов и других матери­ алов. Некоторые подпрограммы являются стандартными и исполь­ зуются вне зависимости от особенностей задачи, например подпрог­ раммы построения сетки элементов или решения систем линейных алгебраических уравнений. Функции основной программы сводятся

240