Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

13.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

2.3. Гипотеза тонкого слоя и функция влияния

Введем следующие безразмерные параметры

.	УсхО	. р = Л .			_ Г	= С		х	X
V a 0 =	С	. р = Л .		с		8	’	х	Т	(2.3.4)
	С		р с			8	’		Т
	ct		8
	ct		8					in i €
Т = У ’			1 = т ,	а =				in i €
(далее тильда везде, где не указано особо, опущена).
Введение			величин	т а	связано	с тем,	что		криволинейные

координаты £" по физическому смыслу имеют размерность дли ны L в некоторой действительной степени т а. Параметр 7 характеризует толщину тонкого слоя и предполагается малым.

Для компонент метрического тензора gij и g										будем иметь:
= R,; •R j = дх11дх”
	дС		d$j '81)77) --						2—nij—г
	=	L2 —т1—тл д х т дх					^тп	—gij L	2—nij—г		(2.3.5)
					дС	д?.	^тп	—gij L
			g i j	_	g ij ]Пц+т}-2
При этом в силу (1.4.17) справедливы следующие соотноше
ния:		g i3 =		0,	g-33 =		g-33= l .				(2.3.6)
		g i3 =		0,	g-33 =		g-33= l .				(2.3.6)
Подставим данные выражения в (2.3.3) и получим уравнения
движения в безразмерном виде:
	йю =	- 7	дкр	g kk ,		*30 =		- д 3р,
р = - ^ = i d a			va0g ak				+ d c (vmyfg)			,	(2.3.7)
/ = §£,		да = — , дк = ~ ,						к = 1, 2.
J	дТ		э с				д£к

Как следует из (2.3.7), при малости параметра 7 члены урав нений дают различный вклад в общий результат. В частности, в нулевом приближении можно положить 7 = 0. Тогда получим разрешающие уравнения теории тонкого слоя для произвольной гладкой поверхности П:

*«о = 0, г;30 = -д{р, а	= 1 ,2 ,	(2.3.8)
Р = ~ ~ ^ dc(v3oVs)	■	(2.3.9)

Получим дифференциальное уравнение относительно давле ния р. Для этого продифференцируем по времени последнее

62 Гя. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

уравнение (2.3.7) и с учетом выражений для компонент вектора скорости vkQ получим:

Р = ^ = 1 2д« g aKV g d KP + d c ( J g d cp) .

(2.3.10)

Как следует из (2.3.10), в случае ограниченности произ водных первое слагаемое в правой части имеет более высокий порядок малости 0(-у2), чем второе. Поэтому данным слагаемым в первом приближении также можно пренебречь. Следовательно, разрешающее уравнение гипотезы тонкого слоя для давления примет вид:

Р =	(y/gdcp) = % р + ^ d cg d cp.	(2.3.11)
Полученное уравнение запишем в виде:
р = да Р + 2А ( С , Одср, А ( е , С) = ± d cg.		(2.3.12)

Вычислим коэффициент А(£аХ)- Используя выражение определителя метрического тензора g (1.4.19) через определи тель метрического тензора о поверхности П, получим:

адс 1 -2 (Н + (2К 2 _	_ н + с к
4а 1 ^ 2(Н + ( 2К 2	(2.3.13)
4а 1 ^ 2(Н + ( 2К 2	1- -< II - С К

Воспользуемся тем, что решение ищется в достаточно тонком слое около поверхности П. Поэтому значение коэффициента А в первом приближении можно «заморозить», взяв его значение 7l(C“ .Co) ПРИ фиксированном ( = Со- В частности, возьмем зна чение коэффициента на поверхности П, т. е. при £ = 0:

А 0 (С) = А ( С ,0 ) = - Н .

(2.3.14)

Средняя кривизна поверхности Я является инвариантной ве личиной и не зависит от вида параметризации. Поэтому разреша ющие уравнения теории тонкого слоя определяются только внут ренней геометрией поверхности, в данном случае кривизной Я.

В акустической среде волновому уравнению (2.3.10) удовле творяет не только давление р, но и скалярный потенциал вектора скорости ip. Поэтому в теории тонкого слоя акустической среды справедливо также следующее уравнение:

ф = да(р + 2 А { е Л ) д ^ ^

(2.3.15)

где параметр «(£“ ,£) также может быть «заморожен» и опреде ляется средней кривизной Я (2.3.14).

2.3. Гипотеза тонкого слоя и функция влияния

Построим поверхностные функции влияния первого и второго рода для акустической среды (2.1.13) и (2.1.15) в рамках гипо тезы тонкого слоя, границей которой является гладкая выпуклая

поверхность П. Для этого решим следующую начально-краевую задачу:

		=	d a G {k) + 2^o(C“)5cG<fc),				(2.3.16)
		G(fc) t=о =		G(k) t=о = 0 ,			(2.3.17)
№fet>n + <^2fcP)\|c=o = Ж Ж С 1 - СоЖС2 -					Co)-		(2.3.18)
G ^ k \ t , r )	= 0	(1),	r ^ o c ,	г2 = ® < ( C a	) ®	i	( C / S ) (2. .3.19)
Здесь G ^ k \ r ,	t ) —	давление в среде, причем при k				=	1 на границе

области П задана нормальная составляющая вектора скорости

vn = (V ,n)|c=0 = V3o|c=0 = <ЖЖС‘ -СоЖ С2

(2.3.20)

*зо = - d cG^k\

а при к = 1 — давление р:

(2.3.21)

Применим к задаче (2.3.16)—(2.3.19) преобразование Лапласа по времени t. Тогда в пространстве изображений получим сле дующую краевую задачу (s — параметр преобразования, чертой обозначена трансформанта по Лапласу):

		+ 2А0{Са) ^ -		-	s2G(k) = 0 ,	(2.3.22)
			“С
	№«зо + 62кр)\|с=0 = (С‘ -				СоЖС2 - Со)-	(2.3.23)
	Щ г , з - ф	= 0(1)	г-> оо,	г2 = x i{ e ) x i{£k),		(2.3.24)
где в силу (2.3.20)					_
			W30 =	- i f .		(2.3.25)
	Общее решение уравнения (2.3.22) имеет вид:
	G(k){C, s- ф		= c \ k)e~XlC+ c f }еАЖ			(2.3.26)
	ж Ж с 2ж ж - Ж +Ч (ж > + 4 ) ( е ) + *2 и = 1, 2).
						(2.3.27)
В	выражении	(2.3.27)	ветвь	корня выбирается из		условия
Re	> о.

64 Гл. 2. Поверхностные функции влияния Для акустической среды

Так как решение (2.3.26) описывает расходящиеся волны, за тухающие на бесконечности, то для удовлетворения граничному

условию (2.3.24) необходимо принять = 0. И, следовательно, общее решение (2.3.26) с учетом ограниченности примет вид:

		G{k)	Za,8\Zg		= c \ k)e~XlC.		(2.3.28)
Константу С 1(к) найдем из граничного условия (2.3.23):
	с \ к)	S		8Ц 1	С о Ж ^ - С о ) -		(2.3.29)
		<$ifcA + d^kS
Тогда для давления				и компоненты вектора скорости
получим следующие выражения:
<	= & к) = б ^ т			г ^ л 1- d m		2 - ® .	(23т
^	= * * = ; е		т	Ж	£1 - £0 ^	Т - ё>.	<2.3.30

Полагая в (2.3.30) и (2.3.31) £ = 0, найдем значения соответ ствующих функций влияния на поверхности П:

Ч к = Ч к)			Ф т 2 - Со),	(2.3.32)
G{vk = G [ k)			С0ЖС2 - Со2) ,	(2.3.33)
_	____ 1____	_	_____Ai_____	(2 3 34)
Р0	SikXi+Sue’	v0	s(8ik\i+ 8 2ks)'	K ■■ ’

В частности, для I и II краевых задач получим следующие выражения.

— I краевая задача (к = 1):

	М	1	■(1)	1	(2.3.35)
	М	А0+ А\ + s2	F г>0		(2.3.35)
		А0+ А\ + s2
— II краевая задача (& = 2):
- ы 2) _ i	^(2) _ Ai _ А0+ А0 + S2				0.	>
F P0 - Т	р v0 — ~ —		А 0 =		0.	>
F P0 - Т		S			(2.3.36)
					(2.3.36)
Найдем функции влияния первого рода (& = 1). Оригинал
функции	Ж в (2.3.35) может		быть	вычислен	аналити-

2.3. Гипотеза тонкого слоя и функция влияния					65
чески в замкнутой форме. Для		этого		представим	выражение
s) в следующем виде:
	__М_ .		'	+
д4о +	—	2			Mi + •
	А! + .			М + 1
					(2.3.37)
Оригиналы первых двух слагаемых табличные [62]:
Ао	а		= JQ(AQT),		(2.3.38)
, .	AQT,

М + s'1

где JQ{Z) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Для определения оригинала третьего слагаемого в (2.3.37)

воспользуемся теоремой о произведении изображений по Лапла су [59]. Тогда в силу (2.3.38) будем иметь:

Ап

t)Jo(A()t)dt. (2.3.39)

S 2 Ag + s2

Вычисление интеграла в (2.3.39) приводит к следующему результату:

(т - t)J0(A0t)dt = т2 J0(z) - | [JQ(Z)M\(Z ) - J\{z)Jfo{z)\ -

--Г -М * ), (2.3.40)

Ло

Z = А 0т,

где J\ (z) — функции Бесселя; Жо(г), Ж\ (z) — функции Струве соответствующего порядка [139].

Для переходной функции G^Q из (2.3.37)-(2.3.40) оконча тельно получим:

G<‘)(e1,e 2, r ; ^ ) =		F<;)(e1,C2,r)3 (e 1- ^ ) ^		2 - e 02).	(2-3.41)
£2, т)	= Q(T )RP (Z),		Rp(z) = Q(z) - z [1 +		J, (2)],
Q(z) = J0(z)	+ z 2	J0(z) -	J [Jo(г)Жх(г) -	J i ( z W 0(z)) ,
					(2.3.42)

где 0(f) —функция Хевисайда. Вычисление оригинала функции

— ( 2)

F v0 сводится к разобранному случаю. Для этого представим

3 С. И. Жаворонок, М. Ю. Куприков, А. Л. Медведский, Л.Н. Рабинский

66 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

в виде:
сК2) _ А0+	А2+ s2 _	Ао	1		а 02	(2.3.43)
Г v O --------------	2----------------	Г Н-----	„	+ „		(2.3.43)
	3	s	Ао + s 2	s2	A Q + S 2

Из сравнения формул (2.3.43) и (2.3.37) следует, что ори

гинал функции F^Q отличается от F^Q только знаком первого слагаемого в (2.3.37). Поэтому для поверхностной функции вли яния GjfJ будем иметь следующее представление:

в ^ И ' . ( г,г - , ф = ^ ( ( К ( г, т ) Ц ( ' - ф Ц ( г - ( 1 ), (2.3.44)

Г $ ( { ',£ 2,т) = е(т)Я „М .

		Rv(z) =		Q(z) + z [1 -		J\{z) \,	(2.3.45)
где Q(z) определено в (2.3.42).
Входящие	в	(2.3.41)		и	(2.3.44)	производные	функций
F ^ , r ) и			имеют вид:
^	)( е \т )		= <5(т) + л оя ;(,)0 (г ),				(2з4б)
Г % \ е ,т ) = 8(т) + А о К ( * М т ) ,
R'Jz) = Q'(z) -		zJ0(z) -		1,	R'v(z) =	Q'(z) - zJ0(z) + 1,
							(2.3.47)
Q'(z) = - J {(z) + 22			J0{z) - J		[Jo(z)-mz) ~ M z W o H ] ■
Найденные поверхностные функция влияния G^Q и							поз

воляют вычислить давление на поверхности П ро в I краевой за даче при заданных граничных условиях на П вида vn = w(CJ>r )> а также определить нормальную составляющую вектора скорости во II краевой задаче, если известно давление р = q { i ^ r ) на поверхности П:

Р о ( е , т) = | dt 11 G $ ( e , r - t ; $)w((*,t)Vgd&d£, 02 =

0 D

d t	£o)i(£2 - d ) u ,( £ 2,i)v^d£irf«o =

0 D

68 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

2.4. Использование поверхностных функций влияния

внестационарных задачах дифракции

Вбольшинстве задач дифракции, как правило, предполагает

ся, что влияние внешних массовых сил мало f J = 0 (см. (2.1.1)) и в начальный момент времени среды находятся в невозму щенном состоянии, что соответствует однородным начальным условиям (2.1.3). Таким образом, задача взаимодействия являет ся задачей о распространении граничных возмущений, согласно терминологии [26], и имеет следующий вид:

CJu J = 0;		(2.4.1)
UJ t=0 = atuJ t=0 = 0,	J = 0,1;	(2.4.2)
B 'u 1 n = B0u0 + B0u2	n= g -	(2.4.3)

Здесь вектор u* соответствует возмущениям, распространя ющимся в теле GoОн удовлетворяет начальной задаче Коши (2.4.1), (2.4.2) при J = 0. Например, в задачах дифракции этот вектор характеризует параметры волны, падающей на тело G\.

Далее будут рассмотрены уравнения движения сплошных сред, напряженное состояние которых характеризуется тензором напряжений S J = a y K i K j . При этом предполагаются существу ющими линейные операторы S J , связывающие тензоры напряже ния S J с векторами перемещения сu J :

S J = S Ju J, u J = S J ^ l S J .

(2.4.4)

Решение задачи (2.4.1)—(2.4.3) будем строить с помощью поверхностных функций влияния для тела Go.

Рассмотрим теперь применение разработанного математиче ского аппарата к описанию движения твердых и деформируемых тел, в том числе упругих оболочек, в акустической среде в форме интегро-дифференциальных уравнений, где ядрами интеграль ных операторов являются поверхностные функции влияния.

Динамика деформируемого тела в акустической среде.

Пусть тело Go — акустическая среда, и ее движение описывается уравнением для потенциала вектора скорости ip, которое запи шем в операторном виде:

Ср = 0.

(2.4.5)

Начальные условия полагаем однородными:

<P\t=o = ° . д М ь = о = ° -

(2.4.6)

2.4. Использование поверхностных функций влияния			69
Тогда поверхностной функцией влияния первого рода будем
называть давление
G p (£ U 2,i) = P ( £ U 2.£3.*) .		= - р д М п ,	(2-4.7)
удовлетворяющее следующим краевым условиям:
« o n = ^ 1M(€2) W	(vo = ^ R i,	v0 = V ® <р),	(2.4.8)
где р — плотность среды;	р — давление; VQ — вектор		скорости
в акустической среде.
Под функцией влияния второго рода будем понимать компо
ненты вектора скорости на поверхности тела
G W (CU 2,) = 5 ($ и 2,£3.<) й3_ .,			(2.4.9)

если они удовлетворяют следующим краевым условиям:

p|n = 5 ( £ W ) 5 ( r ) .

(2.4.10)

Если рассматривается контакт упругой G \ и акустической Go сред, то на граничной поверхности ставятся условия непротекания (см. (1.5.3)), которые в скалярном виде представляются так:

d t u ] =	v $ V +I Q	п	a f = -	( p o + p * o ) l n .
П	Q.	п	n	(2.4.11)
	v \ 3 n = 0, j = 2 , 3.

Функции влияния Gp и Gv<k позволяют установить следую щую связь между давлением и компонентами вектора скорости на поверхности П:

ро(& 01п = G p & 0 * * * »о(& 0 п ;

(2.4.12)

«о(& 0 п = С „ >3(§,*) * **ро($Л)\П•

Подставив в (2.4.12) соотношения (2.4.11), получаем два ва рианта краевых условий для описания динамики тела G\\

п = -P .o (tO ln ~

—Gp(%, t) * * * dtu\{%,t) -

п ; (2.4.13)

70 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

d t u ](% ,t) п = v l Q(%,t)	п -
- GvMZ't) * * *		+	п - (2.4.14)
При этом для обоих вариантов необходимо потребовать ра
венство нулю касательных напряжений:
^	' п = 0 ,	(j = 2,3).	(2.4.15)

Можно показать, что для акустической среды порядок осо бенностей функций влияния Gp и GVt3 совпадает, поэтому реа лизация какого-либо из вариантов граничных условий (2.4.13) и (2.4.14) определяется методом решения начально-краевой за дачи для упругого тела.

Движение абсолютно твердого тела в акустической среде.

Рассмотрим теперь случай, когда тело G i является абсолютно твердым и помещено в неограниченную акустическую среду Go, при этом граница тела П = dG\ также является координат ной (2.1.5). Здесь знание поверхностных функций влияния для акустической среды с границей П, соответствующей абсолютно твердому телу, также позволяет учесть влияние внешней среды с помощью интегрального соотношения, связывающего главный вектор F 1 и главный момент М 1 внешних сил на поверхности П = dG 1с кинематическими параметрами движения самого тела. В результате необходимость в интегрировании начально-краевой задачи для акустической среды отпадает.

Уравнение движения абсолютно твердого тела записывается

в операторном виде (см. (1.3.1)):
ClT = C^ U ^ V ' W	= f 1(F 1,M 1).	(2.4.16)

Главный вектор F 1 и главный момент М 1 внешних сил, действующих на тело G\ со стороны акустической среды Go, представляются так:

F 1(т) = - \| \| р	г*,т	п 1dS,
ггп	г 1, т	г 1 х п 1dS,	(2.4.17)
М 1(т) = — р	г 1, т	г 1 х п 1dS,
п			(2.4.18)
Р = Р*О+ РО,			(2.4.18)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги