книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

В пятой главе описан подход к численному решению задач дифракции нестационарных акустических волн на упругих обо­ лочках посредством изложенного выше приближенного представ­ ления влияния акустической среды на движение оболочки с по­ мощью поверхностных переходных функций. Гидродинамическое давление на поверхности оболочки определяется приближенно на основе гипотезы тонкого слоя. Интегро-дифференциальные операторы уравнений движения оболочек приближенно заменя­ ются дискретными аналогами на основе разностной аппрокси­ мации производных и формулы трапеций для интегралов типа свертки. Показана сходимость дискретного аналога к исходному интегро-дифференциальному оператору.

Формулировка интегрального краевого условия на сма­ чиваемой поверхности оболочки. При известной переходной функции (2.3.41)-(2.3.42) соотношения для отраженного от по­ верхности и излученного движущейся поверхностью давления принимают вид:

Здесь v\ — компоненты вектора скорости фронта акустической волны в прямоугольной декартовой системе координат Ож*ж2ж3, vn — нормальный к поверхности £* компонент вектора скорости движения поверхности упругого тела в системе криволинейных координат OC'C2C3. нормально связанной с £*.

На основании (5.1.1, 5.1.2) при постановке краевого условия (1.4.53) на криволинейной поверхности £* = S± для тела G фор­ мулируется интегральное смешанное условие следующего вида:

Далее индекс «О» для акустической среды опустим.

Уравнения движения теории оболочек первого порядка.

С использованием условия (5.1.3) на поверхности контакта обо­ лочки с акустической средой дифференциальные уравнения дви­ жения оболочки в рамках модели первого порядка (1.4.109)- (1.4.112) приводятся к следующей системе интегро-дифференци- альных уравнений:

Операторная запись уравнений движения оболочки.

Рассматривается одномерная по пространственной переменной начально-краевая задача нестационарной динамики оболочки, погруженной в акустическую среду. В частности, для криво­ линейной цилиндрической оболочки формулируется плоская задача, для оболочки вращения — осесимметричная задача. В этом случае уравнения движения оболочки (2.4.24) приводятся

где u — вектор обобщенных перемещений точки срединной поверх­ ности оболочки; С — линейный дифференциальный оператор на­ чально-краевой задачи динамики оболочки; р — вектор-функция правых частей; А, В, С — переменные матрицы-коэффициенты при неизвестной и и ее частных производных первого и второго порядка.

Построить аналитическое решение начально-краевой задачи (5.1.8)-(5.1.10) в элементарных или специальных функциях в об­ щем случае невозможно. В большинстве случаев для решения задач, подобных (5.1.8)—(5.1.10), применяются методы конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР). Эффективность МКР при решении гиперболических начально-краевых задач ди­ намики тонких оболочек показана в [64, 65, 66].

Форма записи линейного оператора (5.1.8) зависит в общем случае от применяемой модели оболочки и системы криволиней­ ных координат, нормально связанной с базисной поверхностью оболочки. В рамках данной главы рассматриваются сдвиговые модели оболочки.

Переход к координатной форме записи от исходной ин­ вариантной формы уравнений теории оболочек А-го поряд­ ка (1.4.99)—(1.4.105) является формальной операцией и может быть автоматизирован на основе системы компьютерной алгеб­ ры, поддерживающей операции тензорного анализа, например, [93]. При этом программная процедура, формирующая систему уравнений начально-краевой задачи (5.1.8)—(5.1.10), использу­ ет в качестве входных данных параметризацию базисной по­ верхности оболочки и выдает в качестве выходных данных матрицы-коэффициенты А, В, С линейного оператора С. Таким образом, решение задачи от построения разрешающих уравнений в произвольной криволинейной системе координат до их числен­ ного интегрирования полностью автоматизировано.

5.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов

Известно [106], что решение нестационарной задачи динами­ ки оболочки в рамках модели, учитывающей поперечный сдвиг и приводящей к системе уравнений движения гиперболического

типа, при разрывной правой части непрерывно и быстро из­ меняется на некотором малом временном интервале в окрест­ ности начального состояния. С течением времени решение за­ метно сглаживается. Следовательно, для численного решения поставленной начально-краевой задачи на достаточно большом временном интервале применение специальных разностных схем и приемов подавления нефизических осцилляций в окрестности разрыва решения не является необходимым.

В то же время уравнения (5.1.8), соответствующие теории оболочек не ниже 1 порядка, содержат в ряде членов множи­

тель h , где h — толщина, отнесенная к наибольшему радиу-

— _2

су кривизны базисной поверхности. Для тонких оболочек h имеет достаточно большую величину. Такая структура урав­ нений порождает осциллирующие компоненты решения вида ехр(±гг//г),_медленно затухающие во времени. Численное ре­ шение при h ~ 0,001 на достаточно протяженном временном интервале становится неустойчивым [90]. В рамках данной ра­ боты тонкие оболочки с относительной толщиной /г ~ С), 001 не рассматриваются, тогда как в [88] показано, что при h ^ 0,01 устойчивость численного решения зависит от членов уравне­

ний с множителем h не столь существенно. В этом случае использование классической явной конечно-разностной схемы «крест» без выделения быстро осциллирующих компонентов ре­ шения [64, 65, 66] представляется возможным и с точки зрения простоты реализации и экономии машинного времени вполне целесообразным.

Исходная начально-краевая задача определена в области

ной сеток с постоянными шагами hT и h^. Следовательно, непре­ рывная вектор-функция двух аргументов и(£,т) приближенно

представляется сеточной функцией

U? = u (Ci.Tfc), 4, G - f • TfcGccf.

Решение уравнений относительно неизвестной сеточной функции на основании явной конечно-разностной схемы типа «крест» определяется соотношением

U f +1 = hi Ly + h - % • U f + / f - U f - 1. (5.2.3)

Здесь Lij — конечно-разностный оператор, аппроксимирую­ щий дифференциальный оператор С задачи (5.1.8), вид которого определяется структурой операторов А, В, С (5.1.8) и разност­ ными аналогами производных по пространственной переменной, в общем случае имеющих вид

где £[•] — исходный дифференциальный оператор, и(£) — неиз­ вестная функция (аргумент т здесь и далее условно не приво­ дится), Lfj — разностный оператор на шаблоне Ш/1(^) в точке е е w f с Щ пространственной разностной сетки. Погрешность аппроксимации дифференциального оператора Си разностным оператором Lу [143] определяется соотношением

пространственных узлов сетки, на котором аппроксимируются дифференциальные операторы по пространственным перемен­ ным. Обычно используются шаблоны на нечетном числе узлов (3, 5, ...). При расширении шаблона (увеличении числа узлов) порядок аппроксимации повышается, однако требуются большие ресурсы и меньший шаг по временной переменной в соответствии с условием устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви. Более то­ го, ниже будет показано, что увеличение порядка аппроксима­ ции за счет увеличения количества узлов в шаблоне понижает запас устойчивости конечно-разностной схемы. Соответственно использование шаблонов с большим числом узлов нецелесообраз­ но. Ниже рассматриваются трехточечный и пятиточечный явные шаблоны по пространственным переменным.

Для прилежащих к краям отрезка [£_,£+] узлов сетки со^ используется разностное представление производных «правыми» разностными соотношениями для записи производных в узлах

-[N/2], —[N/2] + 1:

и представление «левыми» конечно-разностными соотношениями

Для обоих шаблонов аппроксимация дифференциального опе­ ратора второго порядка по времени имеет вид:

5.3. Сходимость разностных схем

Как доказано в [74], конечно-разностный дискретный аналог начально-краевой задачи (5.2.3) для дифференциальных уравне­ ний (5.1.8) на сетке ш сходится, т. е. при /г^ —^ 0 и ^ > и, при одновременном выполнении условий аппроксимации исходного оператора разностным и устойчивости схемы.

Исследование порядка аппроксимации разностной схемы.

Порядок аппроксимации начально-краевой задачи (5.1.8), (5.1.10) разностной схемой на явном пятиточечном шаблоне (рис. 5.1,6) определим, предполагая функцию и(£,т) достаточно гладкой:

и (£ ± 2fi£, т) = и(£, т) ± 2/i£<9£u(£, т) + 2/г|<9|и(£, т) ±

± ^ h p l u(£, г) + |/4<9| U (£, т ) ± ^ Л ^ |и ( £ , т) +

+ 0 h\ ■, (5.3.2)

и (£, т ± /гт) = и(£, г) ± /гт<9ти(£, т) + ^<9^и(£, т) ±

± ^ ^ и ( С ,т ) + 0(/г“). (5.3.3)

Подставляя эти разложения в конечно-разностные операторы (5.2.8) и (5.2.11), получим второй порядок аппроксимации по времени и четвертый по пространственной переменной.

В этих условиях определенной на множестве [0,оо) х [£_,£+] начально-краевой задаче

1 3 0 Гл. 5. Построение схем численного решения задач

Для приграничных узлов сетки г = —[N/2] + 1, i = [N/ 2] — 1 при произвольных краевых условиях разностный оператор задачи имеет вид

где [u]/j — значения точного решения в узлах конечно-разностной сетки. Оценим погрешность аппроксимации решения конечно­ разностного аналога дифференциальной задачи на основе следу­

представление (5.3.10)—(5.3.12) оператора ChvSh^ и разложение