книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках
..pdf1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 31
Контравариантный базис R а (М) определяется следующим образом:
R “ = A ^ Y^, А?рА-Р = 8°. |
(1.4.15) |
Компоненты тензора обратного преобразования А -1 при па раллельном переносе из точки М е S в точку MQ е So опреде ляются следующими соотношениями:
А?а = (1 - Ы )-1 (1 - к2( Г 1 € - С Ь^бР-ЬР . (1.4.16)
При С = О А = I, где I — единичный тензор.
Таким образом, в точке М € G тела оболочки, заданной радиусом-вектором (1.4.9) при условии (1.4.12), существуют два базиса пространственной системы криволинейных координат (С*>С2>0> связанные линейным преобразованием А, причем базис R a , п является голономным базисом данной системы ко ординат, а базис ra, п — неголономным.
Определим метрический тензор касательной плоскости
Т(М), М i So:
g = g af}R “ R / = 6?КаЩ = ё а/3к ащ ,
(1.4.17)
ga/3 — Ra ' R/3, g aP = R a - R P.
Компоненты метрического тензора g ajз(М) могут быть запи саны в неголономном базисе ra следующим образом:
ga/з = A2-Ap.alS, |
(1.4.18) |
соответственно, определитель метрического тензора g имеет вид
g = a det2 А'@. = a (l - ( k \)2 (I - (к 2)2 =
= а 1 - 2 (Н + ( 2К , (1.4.19)
где Н = — средняя кривизна поверхности So, К = det ba — гауссова кривизна So- Соответственно компоненты тензора об ратного переноса могут быть записаны следующим образом:
А 13' = |
S13 - С W S P - b 13 , |
(1.4.20)
g = ^ r = 1 - 2 (Н + ( 2К. у/а
Лицевые поверхности S± оболочки G в общем случае пере менной толщины 2h = 2h(Mo) в соответствии с (1.4.9) задаются
32 |
Гл. 1. Постановка задач дифракции |
|
следующим образом: |
|
|
S±: |
R± = г (Mo) + h± (M0)n (M o ) . |
(1.4.21) |
Согласно (1.4.3), (1.4.5), (1.4.21) вектор единичной нормали к лицевой поверхности оболочки S± записывается в виде
п± = п±-1 — A apdah± + п , |
(1.4.22) |
п ± = 1 + g aPdah±dph±, h± = h+ \/h - .
Дифференциальные и интегральные операторы в неголономном базисе. Для построения уравнений в системе коорди нат 0 £*£2С необходимо определить градиент вектора и дивер генцию тензора второго ранга в используемом базисе [22, 23, 6, 7, 108, 110, 67]. Оператор «V», как вектор [92], в точке М e G записывается следующим образом:
V = Я ада + пдс = г13А а13да + пд(:. |
(1.4.23) |
||
В соответствии с (1.4.23) градиент вектора и = иага + и^п |
|||
имеет вид |
|
|
|
V ® u = r ^ A ^ d a + |
® (u7r7 + ц^п) = |
|
|
= Аф VaU-y — ba-yU£ Г^Г7 + V |
+ £>7U7 Г^П |
+ |
|
|
+ c^-u7n r7 + д^и^пп. |
(1.4.24) |
Здесь и далее Va — ковариантная производная компонентов тензора в метрике Т ( M Q) , M Q е S Q. Здесь и далее для полиадных произведений вида ui ® U2 ® ... ® ига знак «®» условно опущен.
Таким же образом определяется дивергенция тензора второго ранга s = а а/3гагр + 2сг“^га п + rr^im :
V • s = Y&А фда + пс^ |
• гг7Лг7гл- + <т7^(г7п + пг7) + сг^пп = |
|||||
= |
А% |
V aa ps - |
Ъ8аа К - |
b^asc |
+ dca sc |
YS + |
+ |
A% |
V aaK + ba^ |
-b£<Ti( |
+ 8ca cc |
n. (1.4.25) |
Интеграл от вектора u по подмножеству Gz = [h-,h+\ E Ж определим, используя свойство независимости неголономного
1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 33
базиса га,гз е п от аргумента |
следующим образом: |
|
|||
|
h-j- |
|
h+ |
|
|
u(M )d G z = |
u l (M 0, ( ) r i( M 0) d ( = r i( M 0) |
u t (M 0, ( ) d ( = |
|||
Gz |
h— |
|
h— |
|
|
h-i- |
|
h-i- |
|
|
|
= ra ( M 0) |
u a (M 0,C)dC + n ( M 0) |
u c (M 0,C)dC. |
(1.4.26) |
||
h— |
|
h— |
|
|
|
Аналогично |
определим интеграл от тензора |
второго ран |
|||
га s(М ): |
h+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s (М) dG z = |
а 13 (M Q, С) r i (М0) гj |
(М 0) dC, = |
|
|
|
|
h- |
|
|
|
|
|
|
h+ |
|
|
|
= г* (M 0) r j (М 0) |
а гз (M 0,C)dC = |
|
|
||
|
|
h— |
|
|
|
|
|
h+ |
|
|
|
= r a (M o )rp (M 0) |
a a0 (M 0,C)dC + |
|
|||
|
|
h- |
|
|
|
h-j- |
h+ |
|
|
|
|
r^n |
<TaC (M 0, ( ) d ( |
+ nrf3 |
<T/3C(M0,C)rfC + |
|
|
|
|
h- |
|
|
|
|
|
h+ |
|
|
|
|
|
+ nn |
a ^ ( M o , C ) d C . |
(1-4.27) |
Так же определяются интегралы от тензоров высшего ранга.
Постановка трехмерной начально-краевой задачи теории упругости в специальной системе координат. При постро ении модели оболочки N -го порядка воспользуемся общей по становкой трехмерной начально-краевой задачи линейной теории упругости [43]:
pdtv l = |
V j a i:>+ F 4; |
(1.4.28) |
||
дt £ij = |
\ (ViVj + VjVi); |
(1.4.29) |
||
d t a ij |
= |
C ijkldt£ki-, |
(1.4.30) |
|
|
|
= |
Vi, |
(1.4.31) |
u* t=о = |
uo> |
vi t=о = uo; |
(1.4.32) |
|
|
2 С. И. Жаворонок, М. Ю. Куприков, А. Л. Медведский, Л. Н. Рабинский
34 |
Гл. 1. Постановка задач дифракции |
|
|
|
w*lMeSu — Ui*’ |
(1.4.33) |
|
|
(1.4.34) |
||
|
v3 aij |
= Я*- |
|
|
|
Здесь (1.4.28) — уравнения движения, (1.4.29) — кинематиче ские соотношения, (1.4.30) — физические соотношения для ани зотропной упругой среды, Vi — ковариантные компоненты векто ра скорости, £ij — компоненты линейного тензора деформации, dt£ij — компоненты тензора скорости деформации, (1.4.32) — на чальные условия, (1.4.33) — геометрические краевые условия, за
данные |
на поверхности Su С dG, |
(1.4.34) — силовые |
краевые |
||
условия, |
заданные на |
поверхности |
Sa С dG, |
где Su П Sa = 0, |
|
ql — контравариантные |
компоненты |
главного |
вектора |
внешних |
|
сил, заданного на Sa- |
|
|
|
|
Запишем систему уравнений трехмерной задачи теории упру гости в системе криволинейных координат, связанной с базисной
поверхностью So, |
в неголономном базисе га ,п. |
|
|||||
Уравнения движения: |
|
|
|
|
|
||
pdtv 5 = |
Vаа 35 - Ь5ак |
- |
Ь%*вс |
+ dcasc + F 5; |
(1.4.35) |
||
pdtv^ = Аф |
V аа3^ + |
|
|
|
+ d^a^^ + F^. |
||
Кинематические соотношения: |
|
|
(1.4.36) |
||||
|
|
|
|||||
|
Ot&jS'y = |
^ а'^'7 |
bci'yV , |
(1.4.37) |
|||
dtepc = ^А?р V avc + blv-y |
+ |
^dcvp- |
(1.4.38) |
||||
|
|
dt£tf = |
|
|
|
(1.4.39) |
|
Уравнения состояния линейно-упругой анизотропной среды |
|||||||
запишем в следующем виде: |
|
|
|
|
|
||
а а3 = Са^ |
5е^ + 2С а^ |
се7С+ Са3и еа : |
|
||||
а аС = Ca^ se7p + 2 |
|
|
+ Са^ е а ', |
(1.4.40) |
|||
< т = С ^ 3 е1Р + 2 |
|
|
+ С С^ £ СС; |
|
|||
контравариантные |
компоненты |
тензора жесткости |
C li kl = |
||||
= Сгзк1(Мо, () |
заданы в неголономном базисе га ,п. |
|
|||||
Силовые краевые условия (1.4.34) на лицевых поверхностях |
|||||||
So оболочки приводятся к следующему виду: |
|
||||||
|
- A 3adj3h±aaS + a 5i = n±q±s, |
(1.4.41) |
|||||
|
- A 3adph±aaC + |
= n±q±<:, |
|||||
|
|
1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 35
где q±t — контравариантные компоненты главного вектора внеш них сил на лицевых поверхностях оболочки S±.
Геометрические краевые условия на лицевых поверхностях могут быть записаны в виде
Ма1г=±1 —^Oi*i ^clz=±l |
(1.4.42) |
Краевые условия на боковых поверхностях S B = Г х [—1,1] записываются в базисе т, v, п. Здесь Г = SQ П S B — граница ба зисной поверхности:
Г : г = г £‘(S),£2(S) , s G [0, /],
s — лонгальный параметр кривой Г, д3 — производная по лонгальному параметру, т — касательный вектор кривой Г, v —нор маль к боковой поверхности в точке MQ е Г (бинормаль кри вой Г):
х = а,€ “га; |
(14.43) |
V= ea^ d sC ^ > |
(1.4.44) |
еа/дз — ковариантные компоненты дискриминантного тензора. Силовые краевые условия на боковых поверхностях оболочки
S B имеют вид
aaPdse d se = яъ,
aPS£apC£7scdsCdsC = Яв, |
(1.4.45) |
<г&з£а = ЯВ’
где qTB, q^B, qB — касательная, нормальная и бинормальная со ставляющие главного вектора внешних сил на боковой поверхно сти.
Кинематические краевые условия записываются следующим
образом:
иадЙС = < в ,
u^SadcdsC = < в , |
(1.4.46) |
= и1в-
Здесь u lB, u”B, u \B — касательная, нормальная и бинормальная составляющие вектора перемещения точки боковой поверхности.
Начальные условия в базисе г“ ,п сохраняют вид (1.4.32).
2*
36 |
Гл. 1. Постановка задач дифракции |
|
|
Введем безразмерную координату г: |
|
|
* = |
(1-4.47) |
h = h (M Q) = h+{Mo]2 h- {Mo),
h= h(M 0) = h+{Mo)~ h- {Mo).
Сучетом условия невырожденности преобразования приве дем начально-краевую задачу (1.4.35)—(1.4.41) к виду, содержа щему только положительные целые степени координаты z.
Уравнения движения: |
|
|
|
|
||
pgdtvs = rp |
V a<r^S - Ь5а^С- |
|
- tpdza)35 + |
|
||
|
|
|
+ g h - ldza ^ |
+ g F 5; |
(1.4.48) |
|
pgdtvc- = r p( |
Va<JK + ba la ^ - |
|
- tpdzal3<' + |
|
||
|
|
|
+ g h ~ xdza ^ |
+ g F t . |
(1.4.49) |
|
Кинематические соотношения: |
|
|
|
|
||
gdt£jз7 = |
rp V av7 - ba l V£ |
— tpdzv^\ |
|
(1.4.50) |
||
gdte ^ = \r% |
V avc + blv1 |
- ^ t p d zvc + ^ g h xdzvp; |
||||
|
2 |
|
|
|
|
(1.4.51) |
|
|
dt£££ = d£V£. |
|
(1.4.52) |
||
Силовые краевые условия: |
|
|
|
|
||
|
- htpaps + g±<rsc = g±n±q±s, |
(1.4.53) |
||||
|
- h t p a K + g±<TCC= g±n±q±C. |
|||||
|
|
|||||
Здесь использованы следующие обозначения: |
|
|
||||
|
г | |
= <5|- h + zh |
|
b^SP-bP |
, |
|
|
|
tp = h~xrpda |
h + zh ; |
|
|
|
g = A - 2 z h B + z2h2K, |
g± = g\z=±l |
|
A = \ - 2 H h + K h 2, B = H - h K .
Таким образом, трехмерная начально-краевая задача теории упругости записана в базисе га ,п, не зависящем от безразмер ной нормальной координаты z, что дает возможность применить
1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 37
к уравнениям (1.4.48)—(1.4.53) и краевым условиям (1.4.42), (1.4.45), (1.4.46) проекционный метод приведения к системе дву мерных задач.
Общая схема применения метода Галеркина. Переход от трехмерной начально-краевой задачи теории упругости (1.4.48)- (1.4.53) к двумерной начально-краевой задаче теории оболочек относительно тензорных функций, определенных на базисной по верхности S0, основан на проекционном методе Галеркина [140] в следующей формулировке.
Исходная начально-краевая задача в криволинейной системе
координат, связанной с поверхностью SQ, |
имеет вид |
|
£ u = f, u(<0) = |
uo. # u lrx[—i,i] = b - |
В и 3± =Ъ, (1.4.54) |
u = u ( t ,M 0, z ) , |
t e [ t 0,ti] с ж, M0 e S 0, 2 € [ - 1, 1]. |
Здесь и —тензорная функция на множестве [0, оо) х 5о х [—1,1],
£(и) — линейный |
оператор, |
В(и), В(и) — линейные граничные |
||
операторы, |
определенные соответственно |
на S± и S B ■ Фикси |
||
руя точку |
Mo е |
SQ, введем |
гильбертово |
пространство Нм0 = |
= Н[—1,1] скалярных функций переменной г со скалярным про изведением
(р(г)’ф(г) dz. |
(1.4.55) |
-1 |
|
В пространстве Н[—1,1] существует система базисных функ |
|
ций: |
|
Нм0 = {P(fc)}o°> P(fe) = P(k)(z)- |
(1.4.56) |
Здесь и далее индексы, заключенные в круглые скобки, про бегают значения 0 ,1 ... оо всюду, где не оговорено иначе. Также в пространстве Н[—1,1] в силу его самосопряженности суще ствует базис взаимный p(fcp Метрика и норма в вектор ном пространстве Н[—1, 1] порождены скалярным произведением и определяются с помощью метрического тензора
G = G(km) p(fcV m) = 5 $ p(% (m) = G(fcm)P{fc)P{m). |
(1.4.57) |
Пусть линейный оператор С допускает представление в виде |
|
композиции |
(1.4.58) |
Си = CZ (CT U ) , |
где Cz — линейный оператор в пространстве Н[—1,1], Ст — ли нейный оператор в пространстве функций точки MQ е SQ и вре мени t.
38 |
Гл. 1. Постановка задач дифракции |
Рассмотрим |
далее оператор £ г : D(CZ) -»■ R{CZ), V (L Z) G |
G H[—1, 1], 1Z{Lz) G H [—l , I]. Определим образы базисных функ ций р(*.) и взаимных им р ^ :
4k) = Czp{k), r(fe) = £ 2pW. |
(1.4.59) |
Оператору Cz (1.4.58) соответствует тензор L, определяемый проекцией iy*.) на базис р ^ :
L = |
р(‘>р,т , , L«-> = r(l), р<™> ^ . |
0 4 60) |
Сопряженный оператор £* определяется соотношением |
||
|
(Сф,ф)г = (ф,С*Ф)г , |
(1.4.61) |
а его матрица в базисе р^) задается следующим образом:
Ь ^ = |
p(fc) а = £ P w ,q(^ z = L((T y |
(1-4.62) |
При замене базиса компоненты операторов (1.4.60, 1.4.62) изме няются по ковариантному или контравариантному закону.
Предположим, что все тензорные функции, заданные в базисе га ,п, покомпонентно интегрируемы с квадратом по множеству [—1,1] в соответствии с правилом (1.4.26). В этом случае для их компонентов, как скалярных функций, существуют разложения Фурье:
и 1(t , М0, z ) = |
(t, М0) P(fe) ( z ) , |
<7^ (*, Mo, z) = |
(t,M 0) p {k)(z), |
и^кЦ г ,м 0) = и{ (t,M0,z) ,p{k)(z)
2
a ij(k) (t , M0) = a ij (t , M0, z ) , p{k){z)
Тогда вектор-функция u или тензорная функция s могут быть записаны в виде
u = u (m)p{m),
(1.4.65)
( m ) |
a * i ( m ) r .r . |
8 = S(m)P(m), sv ' = |
Здесь u(m), s(m) — векторы и тензоры, определенные на поверхности So, или «тензоры поверхности» [22]. Очевидно, в смысле (1.4.65) и и s являются векторами в линейном пространстве Нм(), и в случае линейного преобразования базиса Р(т ) по ковариантному закону компоненты вектора и(т\ s
1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 39
преобразуются по контравариантному закону:
(1.4.66)
(т) (0 _ ф ) %) Р(п) = V )
Тензоры и векторы поверхности могут быть заданы и ковариантными компонентами в контравариантном базисе р(т ) про странства Н Не
(1.4.67)
соответственно линейный оператор (1.4.58) может быть за писан для контравариантных компонентов вектора поверхности в пространстве Нм0 в следующем виде:
C u = L {k)) Сти ^ , Cs = L ^{ )) CT s(m) , |
(1.4.68) |
или для ковариантных компонентов вектора поверхности в про странстве Н*щ в виде
£ u = Lj™}} Стu {m) , £s = Lj™)) £ rS (m) . |
(1.4.69) |
где Ст — линейный оператор в пространстве функций точки MQ поверхности £0 и времени t над тензорными коэффициентами Фурье функции и или функции s.
Редукция трехмерной начально-краевой задачи на основе метода Галеркина. Пусть все векторные и тензорные функции задачи в неголономном базисе га ,п определены в виде (1.4.65):
s (м, t) = s(k) (Mo, t) P(fc)(20, |
e (M, t) = e(fe) (M0, t) p( ф ) , |
u (M, t) = u « (M0, t) p(fc)(z), |
F (M, t) = F « (M0, t) щ ф ) , |
|
(1.4.70) |
u0 (M) = u Qk)( (M0) Р(*)(г), |
v0 (M) = vjfe) (M0) p( ф ) - |
Коэффициенты Фурье в (1.4.70) являются тензорами поверх ности So, их компоненты определяются соотношениями вида (1.4.64). Аналогично представим главный вектор внешних сил
40 |
Гл. 1. Постановка задач дифракции |
|
|
и вектор перемещения, заданные на боковой поверхности S B - |
|||
|
q в (M B, t ) = |
(Mr, t) p(fc)(z)> |
|
|
u* (MB,t) = uik) (Mr ,t)P(k)(z), |
(1.4.71) |
|
|
M B G S B , |
Mr € Г; |
|
|
q{B {MrA) = |
qe.P(fc) z \ |
(1.4.72) |
|
|
|
^(B {MrЛ) = VLB,P(k) z -
Вкачестве базиса в Н[—1,1] примем полиномы Лежандра Р(д.)(,г). В этом случае компоненты метрического тензора G^m) имеют вид
G{km) = 2 ( 2 k + l ) ~ l , G ^ = (2 k + l)/2 . |
(1.4.73) |
Все операторы Cz, входящие в уравнения (1.4.48)—(1.4.52), имеют общий вид
jN
z M^ , М = 0,1,2, iV = 0, 1 (1.4.74) dz
и допускают представление в виде композиции Z M |
, где |
|||
z м |
м |
V N |
dT |
(1.4.75) |
|
|
|
dzN ’ |
|
Матрица оператора (1.4.74) в общем случае М = 2, N = 1 |
||||
имеет вид |
, А |
, , |
, , |
<‘-476> |
= Z № A » |
■ |
|||
Матрицы операторов Z |
и V |
первой степени в соответствии |
||
с (1.4.60) определяются соотношениями |
[72]: |
|
(■т) |
zm , p <m) |
Z (k-) - |
|
D\ k ) = |
5JP(*).P |
|
n £ |
= (2fc+ 1) /М|™+|) + (* + l ) i (m_l) |
|
(к) |
T ^ T 1^ ( t) |
(1.4.77)
= [ 2 { k - 2 n ) - \ ] - 8 {™-2n- X\ (1.4.78) n < - (m - 1)
Производная компонентов тензоров по переменной z может быть определена в обобщенном смысле:
d z a t j = d z a t j , p W |
p(fe) = |
|
|
|
= |
|
z= 1 |
|
P(k), (1-4.79) |
a ijp{k) |
— a i j , — p(fe) |
|||
|
|
г= —1 |
dz |
|