книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

1)расстояние между ее вершинами равно 24 и фо­ кусы суть F i(—10; 2), F2(16;2);

2)фокусы суть Fj(3;4), F2(—3 ;—-4) и расстояние между директрисами равно 3,6;

гиперболы.

547. Составить уравнение гиперболы, если известны

няв за оси координат ее асимптоты.

550. Установив, что каждое из следующих уравне­ ний определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их па чертеже: 1) ху — 18; 2) 2ху — 9 = 0; 3) 2ху -j- 25 = 0.

81

557. Составить уравнение касательной к гиперболе

-Jr ~ -fr = 1 в ее точке M i ( x u Уд-

558. Доказать, что касательные к гиперболе, про­ веденные в концах одного и того же диаметра, парал­ лельны.

559. Составить уравнения касательных к гиперболе

JQ — -тг-=1, перпендикулярных к прямой 4а + 30 —

-7 = 0.

560.Составить уравнения касательных к гиперболе

82

от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки

с осями координат.

567. Составить уравнение гиперболы, касающейся

шинами прямоугольника, составить уравнения его

573. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото­ рой расположены на осп абсцисс симметрично относи­ тельно начала координат, если известны уравнение

83

касательной к гиперболе 15*4-16# — 36 — 0 и расстоя­ ние между ее вершинами 2а = 8.

574. Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокаль­ ными радиусами F<M, F%M и пооходит внутри угла

FxMFt.

луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

5G7. Доказать, что эллипс н гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.

ных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плос­

84

582. Определить коэффициенты qx и q2 двух после­ довательных равномерных сжатий плоскости к осям

Ох и Оу, при которых гпнербола-— — |g = 1 преобразу-

§ 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки пло­ скости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фикси­ рованной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обо­ значается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы — бук­ вой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоуголь­ ную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через

фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 19). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

Г — X

86

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью пара­ болы, с которой она пересекается в единственной точке. Т о ч к а

пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При ука занном выше выборе координатной системы ось параболы совме­ щена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс сов­ мещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но пара­ бола лежит в левой полуплоскости (рис. 20), то ее уравнение будет иметь вид

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

если она лежит в верхней полуплоскости (рис. 21), и

— если в нижней полуплоскости (рис. 22).

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравне­ ние (1), называется каноническим.

583. Составить уравнение параболы, вершина кото­ рой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и ее параметр

Р= 3;

2)парабола расположена в левой полуплоскости

симметрично относительно оси О х , и ее параметр

Р= 0,5;

3)парабола расположена в верхней полуплоскости

симметрично относительно оси Оу, и ее параметр Р= ~^\

85

4)парабола расположена в нижней полуплоскости

симметрично относительно оси Оу, и ее параметр

р= 3.

584.Определить величину параметра и расположе­ ние относительно координатных осей следующих па­

рабол:

1) у2 = 6х; 2) х2 = 5у, 3) у2 = — 4х; 4) х2 = — у.

585. Составить уравнение параболы, вершина кото­ рой находится в начале координат, зная, что:

1)парабола расположена симметрично относитель­ но оси Ох и проходит через точку А (9; 6);

2)парабола расположена симметрично относитель­

но оси Ох и проходит через точку В ( — 1; 3);

3)парабола расположена симметрично относитель­ но оси Оу и проходит через точку С(1; 1).

4)парабола расположена симметрично относитель­ но оси Оу и проходит через точку £>(4;—8).

586.Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; рас­

стояние между ними равно 20 м. Величина его про­ гиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 с м . Определить величину про­ гиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги па­

4) у = — 2 У х] 5) х — А-УЪу, 6) х = — 5 У — у,

7) х = — У'Щг, 8) * = + 4 У ^ у .

Изобразить эти линии на чертеже.

589.Найти фокус F и уравнение директрисы пара­ болы у2 = 24х.

590.Вычислить фокальный радиус точки М пара­

87

вбесконечность:

1)в положительном направлении оси Ох;

2)в отрицательном направлении оси Ох.

595.Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (а;Р), параметр равен р,

ось параллельна оси Оу и парабола простирается

вбесконечность:

1)в положительном направлении оси Оу (т. е. па­ рабола является восходящей);

2)в отрицательном направлении оси Оу (т. е. па­ рабола является нисходящей).

596.Установить, что каждое из следующих уравне­ ний определяет параболу, и найти координаты ее вер­ шины А, величину параметра р и уравнение директри­

сы: 1) у2 — 4х — 8; 2) у2 = 4 — 6х; 3) хг = 6у + 2;

4)х2 = 2 — у.

597.Установить, что каждое из следующих уравне­ ний определяет параболу, и найти координаты ее вер­

шины А и величину параметра р\ 1) у — х2 + х + 2;

2) у = 4х2 — 8х + 7; 3) у = - j х2 + 2х - 7.

598. Установить, что каждое из следующих уравне­ ний определяет параболу, и найти координаты ее вер­ шин л А и величину параметра р\ I) х — 2у2— 12у + 14;

2) х = — у2 + у; 3) х = —у2 + 2у — 1.

599. Установить, какие линии определяются следую­ щими уравнениями:

Изобразить эти линии на чертеже.

600. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса х — 5 = 0.

801. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4;3) и директриса /,/-{-1=0,

83

618. К параболе у2 = 2рх проведена касательная, Доказать, что вершина этой параболы лежит посре­

+= 1 и параболы у2 = 2Ах.

622. Определить точки пересечения гиперболы X2— ■

в некоторой точке М, составляет равные углы с фо­ кальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда

Составить уравнение прямой, на которой лежит отра­ женный луч.

626. Доказать, что две параболы, имеющие общую ось и общий фокус, расположенный между их верши­ нами, пересекаются под прямым углом.

627. Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.

§21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы

ипараболы

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви

гиперболы и параболы, имеет вид

P=s 1 - ecosO ’

90