книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

АО = и

и

АА' = р.

Построить ка­

I f

С'

ждый

из

следующих

векторов:

1)

т +

п +

р ;

2)

+

3) - j m + y n + p ;

4) m + й — р;

б)

~ т

— п +

\ р .

774. Три силы М, N

и

Р, при­

ложенные

к одной

точке,

имеют

взаимно

перпендикулярные

напра­

вления.

Определить

величину их

2 кГ,

равнодействующей R, если

известно, что | М | =

| J V| = 10 кГ и

| Р | =

11 кГ.

775. Даны два вектора а = {3; —2; 6} и Ъ — {—2; 1; 0).

векторов:

1) а + 6;

2) а — Ь; 3) 2а; 4)

— Ь; 5) 20+36;

6)

j a - b .

=

776. Проверить

коллинеарность

векторов а —

{2; —1;

3} и Ь =={—6; 3; —9}. Установить, какой из

777.

Определить, при каких значениях а, р векторы

а = — 2i + 3/ + |)fc и b = ai — 6/ + 2 k коллинеарны.

778.

Проверить, что четыре точки А (3; —1; 2),

В(1; 2;

—1), С ( 1; 1; —3), D (3; —5; 3) служат вер­

а =

{3; - 5 ;

8} и & =

{ -1 ;

1; -4} .

=

783. Дано разложение вектора с по базису i, j, k: с =

161 — 1 5

/+ 126. Определить разложение по

этому

же

базису

вектора

d,

параллельного вектору

с й

торами а и Ь, при условии,

что | с | =

3 \/42.

785. Векторы АВ = {2; 6;

-4 } и

ЛС = {4; 2; -2 }

тора а

в виде а — ар-\-$Я назы­

вается разложением его по ба­

зису р,

q; числа а и р

называют­

ся коэффициентами этого разло­

жения.)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Приведем

векторы

а, р и д к общему началу,

которое

обозначим буквой О (рнс. 46).

Конец вектора а обозначим буквой

А. Через точку

А проведем

с

линией действия вектора р обозначим через Ар. Аналогично, про­

водя через точку А прямую, параллельную вектору р,

получим

в

пересечении с линией действия вектора д точку Aq.

По правилу параллелограмма получим:

а=Ш ='ОАр -\-'ОАд.

(1)

может быть получен умножением вектора р на

некоторое число a

Аналогично

б Ар = ар.

(2)

____

ОАр = $д.

(3)

(а' — а)р + (Р' — Р)? = 0 или р = ",

Я

787. На плоскости даны

два вектора

р =

{2;

—3},

0 = {1; 2}. Найти разложение

вектора в =

{9; 4} по ба­

зису р, д.

три вектора

а =

{3;

—2},

788.

На плоскости даны

6 =i{—2;

1} и с = {7; —4}. Определить разложение каж­

дого

из

этих трех

векторов,

принимая в

качестве ба­

зиса

два

других.

вектора

а = {3;

—1},

6 =

{1;

—2},

789.

Даны три

с = {— 1; 7}. Определить разложение

вектора

р =

а +

+ 6 + с

по базису а, Ь.

стве базиса векторы АВ и ЛС.

д и г — какие

угодно

792. Доказать, что если р,

некомпланарные

векторы *), то

всякий

вектор

а

про­

странства

может

быть представлен

в

виде: о =

сср-4-

+ P? + Yr>

Доказать, что числа а, р,

у

векторами

а, р,

794.

Даны четыре вектора а = {2; 1; 0}, 6 = {1; —1; 2},

с — {2;

2; —1} и d = {3; 7; —7}. Определить разложение

каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве

базиса

три остальных.

равное

произведению модулей этих векторов на косинус угла между

ними.

произведение

векторов

Ь обозначается симво­

Скалярное

а,

лом аЬ

(порядок

записи

сомножителей

безразличен,

т. е. аЬ =

6а).

Если угол

между

векторами

а,

Ь

обозначить

через <р, то их

скалярное произведение

можно выразить формулой

аб =

|д | • | 6 | *cos <р.

(1)

Скалярное

произведение

векторов а,

Ь

можно выразить также

формулой

или

аб == 16 1• npft а.

аб = | а | • прЛ Ъ,

Из

формулы

(1) следует,

что

а 6 > 0 ,

если <р — острый

угол,

а 6 < 0 ,

если угол

ф —тупой;

аЬ — 0 в том

и только в том случае,

когда

векторы

а

и 6 перпендикулярны

(в частности, аЬ «= 0,

если

а = 0 или 6 =

0).

называется скалярным квадратом

Скалярное

произведение

аа

вектора и обозначается

символом

а 2. Из

формулы (1) следует, что

скалярный квадрат вектора равен

квадрату

его модуля:

а 2 =■ | а |2.

Если векторы а и 6 заданы

своими

координатами:

a = №

: E , ; ^ } ,

Ъ=

[Х2, У2; Z2},

Угол ф между векторами

а = {X,;

Уу, Z,} и

6 = {Х2; Yz; Z2}

дается формулой cos ф =

аЬ

или в координатах

1« М * Г

___ XiXo^j- Y[YZ+ ZjZ2_________

VX\+ Y] + Z\ Vxl + Yl + Z f

Проекция произвольного вектора S = № У; У} на какую-нибудь

ось и определяется формулой

при S »

Se,

где

е — единичный

вектор,

направленный

по

оси и.

Если

даны

углы а,

р, у> которые

ось

и составляет с координатными осями,

то

е = {cosa; cos3; cosy}

и

для

вычисления

проекции

вектора S

может служить формула

при S =

A' cos а +

Y cos fJ +

Z cos у.

795.

2

зная,

что

Векторы а и 6 образуют угол ф = у я ;

|а | = 3,

|6 | = 4,

вычислить:

1) аб; 2) а2; 3) 62; 4) (а+ 6)2;

5)

(За -

26) (а +

26);

6)

(а -

6)2; 7)

(За + 26)2.

796. Векторы а и 6 взаимно перпендикулярны; век­

тор с образует с ними

углы, равные

зная, что |а |=

=

3, 161 =

5, | с | = 8,

вычислить:

1)

(За — 26) (6 +

Зс);

2)

(а +

6 +

с)2;

3)

(а +

26 -

Зс)2.

(а + 6)2 -f-

+

797.

Доказать

справедливость тождества

(а — 6)2 =

2 (а2 +

62)

и выяснить

его геометрический

смысл.

гом

углы, каждый

из

которых равен 60°. Зная, что

|а | =

4, | 6 | =

2 и |с | =

6, определить

модуль вектора

р = а-\-Ъ + с.

что

| а \ — 3,

| 6 1= 5.

Определить, при

803. Дано,

каком значении а векторы а +

аб, а — аб будут взаимно

перпендикуляр ны.

804. Какому условию должны удовлетворять век­

торы а и 6, чтобы

вектор а + 6 был перпендикулярен

806.

Доказать, что вектор

р — Ь —

перпенди­

кулярен

к вектору а.

807. Даны векторы ЛВ =

6

и АС — с,

совпадающие

со сторонами треугольника

АВС. Найти разложение по

808. Векторы а

и & образуют угол ф= -5-; зная, что

| a | = V^ 3 , | 6 | = 1 ,

вычислить угол а между векторами

Вычислить:

1) ab\

2)

Y a2\

3)

У1>2\ 4) (2а — 36) (а -f- 26);

5) (а + &)2;

6)

(а -

bf.

работу

производит

сила

.J813.

Вычислить,

какую

f = {3;

—5; 2}, когда ее точка приложения переме­

щается из начала в конец вектора s ( 2 ; —5; —7)*).

814.

Даны

точки

Л (—-1; 3; —7),

В (2;

—1; 5) и

С (0,

1;

- 5 ) .

Вычислить:

1)

(2ЛВ — СВ) (2ВС +

ВА)\

2 ) V A B2I__ 3)

_ /ж ?;__4)

найти

координаты

векторов

(ABAC) ВС и АВ(АСВС).

работу

производит

сила

815.

Вычислить,

какую

f = {3; —2, —5}, когда ее

точка

приложения,

двигаясь

прямолинейно,

перемещается

из положения А (2; —3; 5)

в положение В ( 3; —2; —1).

{3; —4; 2},

/V =={2; 3; —5}

816.

Даны

три

силы Л1=

и Р =

{— 3; —2; 4}, приложенные к

одной точке.

Вы­

числить,

какую работу производит

равнодействующая

линейно, перемещается из положения

(5; 3; —7)

в положение М2(4; —1; —4).

817.

Даны

вершины

четырехугольника

.4(1; —2; 2).

5 ( 1; 4; 0), С (—4;

1; 1) и D (—5; —5; 3).

Доказать,

что

его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.

818.

Определить,

при

каком

значении

а

векторы

а — al — 3/ -f 2ft

и

ft =

i

-f 2/ — aft

взаимно

перпендику­

лярны.

819. Вычислить косинус угла, образованного векто­

рами а = {2; —4; 4} и Ь =

{—3; 2; 6}.

А ( — 1; —2; 4),

V820.

Даны

.вершины

треугольника

В (—4; —2; 0) и С(3; —2; 1). Определить его

внутренний

угол при вершине В.

треугольника

/4(3;

2; —3),

821. Даны

вершины

В{5; 1; —1) и

С(1; —2; 1).

Определить

его

внешний

угол при вершине А.

углы

треугольника

822.

Вычислив

внутренние

Л(1; 2;

1), 5(3;

—1; 7), С (7; 4; —2), убедиться, что этот

треугольник равнобедренный.

823. Вектор х, коллинеарный вектору а= {6; —8; —7,5},

образует острый

угол с осью Oz.

Зная,

что

|лс| =

50,

найти его координаты.

х,

коллинеарный

вектору

а —

824.

Найти

вектор

— {2; 1; —1} и удовлетворяющий условию ха = 3.

а =

825.

Вектор х,

перпендикулярный к

векторам

= 31 +

2/ + 2ft и Ь = 181 — 22/ — 5ft, образует с осью Оу

тупой угол. Найти его координаты, зная, что |* |= 1 4 .

826. Найти вектор *, зная, что он перпендикулярен

к векторам а =

{2; 3;

—1}

и ft =

{l; —2; 3} и удовле­

творяет условию

х (2i — / +

ft) = — 6.

(I; 2; —3}.

827.

Даны два вектора; а — {3; — 1; 5} и ft =

Найти

вектор * «при

условии, что

он перпендикулярен

V828.

Даны

три

вектора;

а =

2< —/ -f 3ft,

b = i —

— 3/ +

2ft

и с =

3i +

2/ — 4ft.

Найти вектор *,

удовле­

творяющий

условиям: ха = — 5,

хЬ = — 11,

хс — 20.

829.

Найти проекцию вектора S = {4; —3; 2} на ось,

углы a — 45°,

у — 60°, а

с осью Оу — острый

угол р.

831.

Даны

две

точки

/4(3;

—4;

—2),

5(2;

5; —2).

Найти

проекцию

вектора

АВ

на

ось,

составляющую

с

координатными осями Ох, Оу углы о = 60°, р = 120°,

а

с осью Oz — тупой угол

у>

832. Вычислить

проекцию

вектора с

— {5; 2; 5} па

ось вектора

6 = {2; —1; 2}.

а = Зг — 6/ — k,

6 — « +

833. Даны

три

вектора:

+ 4/ — Ьк

и

с = 3t — 4/ + 12k. Вычислить прс(а + 6).

834. Даны три вектора: й =

{1; —3; 4},

6 =

{3; —4; 2}

и с = {— 1;

1; 4}. Вычислить пр6+са.

1)

модуль вектора [аЬ]

равен J а ] • | ft | sin ф, где

q> — угол

между векторами а и Ь;

2)

вектор [аЬ] перпендикулярен к каждому из векторов а и 6;

3)

направление вектора

[а&]

соответствует

«правилу правой

руки».

Это означает, что если

векторы а, Ь и

(об)

приведены

l l « 4 l

= s .

Само векторное произведение

может быть выражено формулой

[ab] — Se,

где е — орт векторного

произведения.

Векторное произведение [а&] обращается в нуль тогда н только

тогда, когда векторы а

и Ь коллинеарны. В частности [аа] = 0.

а = № ;

Yi\

Z,},

6 =

{*2; Z2; Z2),

то векторное

произведение

вектора

а

на

вектор Ь

определяется

формулой

YiZt

JiZ ,

> *“

1

а д !

x 2z 2

или

Y2Z2

X2Y2

i

i

k

[«»] =

Yi

Z\

*2

Y 2

Z2

839.

Векторы а и 6

образуют

угол

<р =

-~-. Зная,

что

| а | = 6,

| 6 | =

5,

вычислить

I [аЪ] |.

Вычислить

840.

Даны:

| а | = 1 0 ,

| 6 | =

2 и

ab — 12.

I [аб] |.

Даны:

|а | =

3,

!&| =

26

и

|[а6]| =

72. Вычи­

841.

слить

аб.

что

842.

Векторы а и 6 взаимно перпендикулярны. Зная,

| а 1= 3,

| 6 | =

4,

вычислить:

26)] |.

1)

| [(а +

Ь ) ( а - 6)] |;

2) | [(За - Ь ) ( а -

843.

Векторы

а

и 6 образуют

угол

ф =

О

-=- л. Зная,

что

| а | = 1,

| 6 | =

2,

вычислить:

3) [(а + 36) (За - 6)]2.

1)

[аб]2;

2)

[(2а + 6 ) (а +

26)]2;

846. Доказать,

что [а6]2^ а 262; в

каком

случае

здесь будет знак

равенства?

q, г,

п. Дока­

v/847Даны произвольные векторы: р,

848.

Векторы

а,

Ь

и

с

удовлетворяют условию

а + Ь +

с =

0. Доказать,

что

[об] = [6с] = [со].

\3 849.

Векторы а,

Ь, с

и

d

связаны соотношениями

[а6] = [сй],

[ас] =

[&<*]. Доказать коллинеарность векто­

ров а — d

и 6 —р.

Найти координаты векторных

произведений: 1) [аб])

2) [(2а + 6) 6]; 3) [(2а - 6) (2а +

6)].

5 Д. В, Клетепик

129

853. Сила

Р = {2; —4;

5}

приложена

к

точке

М0(4; —2; 3).

Определить

момент этой силы

относи­

тельно точки Л(3; 2; —1).

—2}

приложена

к

точке

854. Сила

Q — {3; 4;

С (2; —1; —2).

Определить

величину и направляющие

мента

этой

силы

относительно

точки С (2; 4; 0).

856. Даны три силы Af = {2; —1; —3}, N = {3; 2; —1}

и Р =

{—4;

1; 3},

приложенные

к точке С (—1; 4; —2).

мента равнодействующей

этих сил относительно точки

Д(2; 3; _1).

точки А(1;

2; 0), В ( 3; 0; —3) и С(5; 2; 6).

857. Даны

Вычислить площадь треугольника АВС.

Л (1;

—1;

2),

858. Даны

вершины

треугольника

В (5; —6; 2) и

С (1; 3; —1). Вычислить

длину

его

вы­

v/859.

Вычислить синус угла, образованного векторами

о = {2;

- 2 ; 1} и

Ь = {2; 3; 6}.

а —

v860.

Вектор

х,

перпендикулярный к векторам

=*{4; —2; —3}

и Ь — {0;

1; 3}, образует

с

осью

Оу

тупой

угол. Зная,

что

| х | = 26, найти

его

коорди­

наты.

Вектор

т,

перпендикулярный к оси Ог и к век­

861.

Зная,

что |т ,| = 51, найти его координаты.

862. Найти вектор х, зная,

что он

перпендикулярен

к векторам

а = {2; —3;

1} и

b = {1; —2; 3}

и удовле­

творяет условию: x(i +

2/ — 7k) = 10.

*) Если вектор f изображает силу, приложенную к какой-нибудь

точке

М, а вектор а идет

из некоторой точки

О в точку М, то

вектор

[а/]

представляет

собой

момент

силы

/

относительно

точки

О.