книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

[+ & (У— У\) — О- 262. Составить уравнение прямой, проходящей через

1)Зх — у + 5 = 0, 2х + У— 7 = 0;

2)х У 2 — у ф^З — 5 = 0,

(3 + _ V5)x + (К б - УЪ)У + 7 = 0; 3) xVr3 + */V^2 - 2 = 0,

х / б - З Н 3 = 0.

41

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

У к а з а н и е . Воспользоваться формулой для определения угла между двумя прямыми, полученной в задаче 265.

267. Даны две вершины треугольника Mi(—10; 2) и Мг(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины Мз.

268.Даны две вершины .4(3; —1) и В (5; 7) тре­ угольника АВС и точка N(4; —1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треуголь­ ника.

269.В треугольнике АВС даны: уравнение стороны

двух других сторон и третьей высоты этого треуголь­ ника.

270. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин >4(1; 3) и уравнения двух медиан х — 2г/ + 1 = 0 и у — 1 = 0.

271. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В ( —4; —5) и уравнения двух высот 5х + Зу — 4 = 0 и Зх + 8у + 13 = 0.

272. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин >4(4; —1) и уравнения двух биссек­ трис х — 1 = 0 и х — у — 1 = 0.

273. Составить уравнения сторон треугольника, зная

денных из одной вершины.

274.Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; —1), а также уравнения высоты Зх— 4 # + 27 = 0 и биссектрисы х + 2у — 5 = 0, прове­ денных из различных вершин.

275.Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4; —1), а также уравнения высоты

2х — 3 //+ 1 2 = 0 и медианы 2х + 3у = 0, проведенных из одной вершины.

276. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; —7), а также уравнения высоты Зх + У + 11 «= 0 и медианы х + 2у + 7 = 0, проведен­ ных из различных вершин.

277. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4; 3), а также уравнения биссек­

42

трисы х + 2у — 5 = 0 и медианы 4л; -{- 1 Зг/ —-10 = 0, проведенных из одной вершины.

278. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину Л (3; —1), а также уравнения биссек­

щадью, равной 1,5 кв. ед.

280. Среди прямых, проходящих через точку Р ( 3;0), найти такую, отрезок которой, заключенный между пря­ мыми 2х — у — 2 = 0, х 4 - у 4 - 3 = 0, делится в точке Р пополам.

281. Через точку Р(—3; —1) проведены всевозмож­ ные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, за­ ключенный между прямыми х — 2у — 3 = 0, х — 2у + 4-5 = 0, делится в точке Р пополам.

282. Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми х — 2у — 3 = 0,

*- 2 0 + 1 7 = 0, делился бы в точке Р пополам.

283.Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заклю­

ченного между прямыми 2х — у + 5 = 0, 2х — у + 10 =*.

=0, равна У 10.

284.Составить уравнение прямой, проходящей через

точку С(—5; 4), зная что длина ее отрезка, заключен­ ного между прямыми х + 2у + 1 = 0, * + 2у — 1 = 0, равна 5.

§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «в отрезках»

один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) С — 0; уравнение имеет вид Ах + By = 0 и определяет пря­

43

быть записано в виде х — а, где а = — является величиной

отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала ко­

быть записано в виде у = Ь, где Ь = — -g- является величиной

отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала ко­

кает прямая на координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках-*.

Если две прямые даны уравнениями

А\Х А" В\у Сi = 0 и А2х + В2у + С2= О,

то могут представиться три случая:

285. Определить, при каком значении а прямая

(а + 2) х + (а2 — 9) у + За2 — 8а + 5 = 0

1) параллельна оси абсцисс;

2)параллельна оси ординат;

3)проходит через начало координат.

Вкаждом случае написать уравнение прямой.

286.Определить, при каких значениях т и п прямая

(т + 2п — 3) х + (2т — /г + 1) г/ + 6т + 9 = 0

параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат от­ резок, равный —3 (считая от начала координат). Напи­ сать уравнение этой прямой.

44

287. Определить, при каких значениях т и п прямая

(2.71 — п -j- 5) х + (m + Зп — 2) у + 2т + 7п + 19 = 0

параллельна оси ординат н отсекает на оси абсцисс от­ резок, равный + 5 (считая от начала координат). На­ писать уравнение этой прямой.

288.Доказать, что в следующих случаях две данные

45

294. Определить, при каком значении т две прямые

тх + (2 т -j- 3) у + т -f- 6 — О, (2 т + 1) х + (ш — 1) у + га — 2 = 0

пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.

300.Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой Зх — 4у — 12 = 0 от координатного угла.

301.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М i (3; —7) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).

302.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р ( 2; 3) ц отсекает на координатных осях

45

отрезки равной длины, считая каждый отрезок от на­ чала координат.

303.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С (1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2 кв. ед.

304.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку 5(5; —5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50 кв. ед.

305.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р (8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.

306.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р ( 12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 150 кв. ед.

307.Через точку М (4; 3) проведена прямая, отсе­ кающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

308.Через точку М\(Х\\ у\), где Х\у\ > 0, проведена

прямая

отсекающая от координатного угла треугольник, пло­ щадь которого равна S. Определить, при каком соот­ ношении между величинами Ль yi и 5 отрезки а и Ь бу­ дут иметь одинаковые знаки.

§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало

координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью.

(рис. 10), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

х •cos а + у ■sin а — р = 0;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая н произвольная точка М*; обозначим через d расстояние точки М* от данной прямой. Откло­ нением 6 точки М* от прямой называется число + d, если данная

точка н начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и —й, если данная точка и начало координат расположены

47

по одну сторону от данной пряной. (Для точек, лежащих на самой прямой, S = 0.) Если даны координаты х*, у* точки М* и нор­ мальное уравнение прямой х cos а + у sin а — р = 0, то отклонение б Точки М* от этой прямой может быть вычислено по формуле

б = х*соэа + р* sin а — р.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки М*

от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих коорди­ нат подставить координаты точки М*.

Полученное число будет равно искомо­ му отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки

Если дано общее уравнение прямой Ах + By + С = 0, то, чтобы привести

его к нормальному виду, нужно все чле­ ны этого уравнения умножить на нор­

мирующий множитель р, определяемый формулой

У Ж + в*

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

310. Привести общее уравнение прямой к нормаль­ ному виду в каждом из следующих случаев:

48

Определить полярный угол нормали а и отрезок р для каждой из данных прямых; по полученным значе­ ниям параметров а и р построить эти прямые на чер­ теже (в последних двух случаях построение прямой вы­

координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых: I) 2* —0 + 5 = 0; 2) * — 3 0 — 5 =

= 0 ; 3) 3* + 20— 1 = 0 ; 4) * —30 + 2 = 0; 5) 1 0 * + ;

одна из сторон которого лежит на прямой * — 2у — 7 = = 0. Вычислить площадь этого квадрата.

кает отрезок, ограниченный точками Л (—5; 1) и В (3;7),

317.Доказать, что прямая 2* — 30 + 6 = 0 не пере­ секает отрезка, ограниченного точками МД—2; —3) и М2(1; - 2).

318.Последовательные вершины четырехугольника суть точки А (—3; 5), 5 ( —1; —4), С(7; —1) и D (2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник вы­ пуклым.

319.Последовательные вершины четырехугольника суть точки Л (—1; 6), 5(1; —3), С(4; 10) и 0(9; 0). Установить, является ли этот четырехугольник вы­ пуклым.

49