книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 1

Таблица 2 . 2 . Таблица табулирования

Вдействительности на этом участке функция f(x) = х –

–tg(x) терпит разрыв (т.е. не выполняются условия теоремы 2.1), и это хорошо видно на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Локализация корней уравнения х – tg(x) = 0

Таким образом, искомый корень уравнения находится на отрезке [4, 4,5], где выполняются условия теоремы 2.1.

31

2.2. Второй этап. Уточнение корня

Iteration (итерация) – повто-

рение, результат повторного применения какой-либо математической операции.

Этап уточнения корня заключается в построении по-

следовательности приближенных значений (итераций)

корня уравнения (2.1) исходя из начального приближения корня x0 (нулевой итерации).

Эта последовательность

x0, x1, x2,……xn…. (2.4)

называется итерационной последовательностью.

Если существует предел этой последовательности, т.е.

n n

то говорят, что итерационный процесс (2.4) сходится и схо-

дится к точному решению уравнения x* [2].

На практике итерационный процесс ограничивают конечным числом шагов (итераций) n. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.

Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции

32

(2.1) с заданной точностью принимают n-ю итерацию, т.е.

x* xn .

Если ни одно из этих условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Рассмотрим несколько итерационных (приближенных) методов решения нелинейных уравнений. Выбор того или иного метода зависит от вида функции y = f(x).

2.2.1. Метод половинного деления (бисекции)

Пусть функция y = f(x) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 на отрезке [a, b], т.е. уравнение (2.1) имеет единственный корень на этом отрезке.

Рис. 2.5. Схема метода бисекции

33

Метод половинного деления (бисекции) это один из простейших методов решения нелинейных уравнений. Приводим алгоритм и геометрическую интерпретацию (рис. 2.5) этого метода.

Алгоритм метода бисекции

1. Делим отрезок [a, b] пополам.

имеет разные знаки.

4.Новый «суженный» отрезок [a1, b1] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.

5.В результате получаем на каком-то этапе или точ-

ный корень уравнения (2.1), или же бесконечную последо-

вательность вложенных друг в друга отрезков,

Левые концы a1, a2, ..., an,… и правые концы b1, b2, ..., bn,… этих отрезков образуют монотонные последовательности – соответственно неубывающую и невозрастающую.

Доказывается утверждение, что существует общий предел x*, который является корнем уравнения (2.1).

34

Метод половинного деления легко реализуется на ЭВМ по следующей схеме.

Для нахождения приближенного значения корня урав-

нения (2.1) с заданной точностью необходимо циклически повторить следующую последовательность действий:

1) отрезок [a, b] делим пополам x a 2 b ;

2) если | f(x)| > ε, переходим на пункт 3, иначе – на пункт 5;

3)если f(x)·f(b) ≤ 0, то принимаем a = x, иначе b = х. То есть из двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, и новый «суженный» отрезок вновь называем отрезком [a, b];

4)если |a – b| > ε, то выполняется пункт 1, иначе – пункт 5;

5)в качестве приближенного решения уравнения (2.1)

сзаданной точностью ε принимается x a 2 b .

 Замечание. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня заданного уравнения, поскольку при увеличении точности объем вычислительной работы значительно возрастает.

2.2.2. Метод хорд

Пусть функция y = f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение f(x) = 0 имеет на этом отрезке единственный корень x*.

Положим для определенности f ″(x) > 0 (рис. 2.6). Вместо деления отрезка пополам разделим его в отноше-

нии f(a): f(b).

С геометрической точки зрения способ пропорцио-

нальных частей эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки A[a, f(a)] и B[b, f(b)].

35

4. Аналогичным образом строим итерационную последовательность

х0 = b, x1, x2,……., xn,….

В математическом анализе доказывается теорема, что эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения х* (2.1).

Для получения формулы (n + 1)-й итерации хn+1 запишем уравнение хорды ABn:

Полагая х = xn+1 и y = 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды ABn с осью ОХ, т.е. (n + 1)-ю итерацию хn+1.

Вэтом случае левый конец отрезка [a, b] неподвижен,

ипоследовательные приближения (итерации) определяются по формуле

Второй случай. Полагаем f(а) < 0, f(b) > 0 и f ″(x) > 0

для x [a, b] (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Схема метода хорд (2-й случай)

37

В качестве нулевого приближения корня выбираем тот конец отрезка [a, b], для которого справедливо усло-

вие (2.11).

Для данного случая выбирается левый конец отрезка [a, b], т.е. х0 = а, а в качестве неподвижного конца х = b.

Аналогично первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному решению х* уравнения (2.1) и определяемую следующим соотношением:

Таким же образом рассматриваются еще два случая, когда вторая производная отрицательна, т.е. f ″(x) < 0 на отрезке [a, b].

Следующая теорема обобщает все четыре случая для приближенного решения нелинейного уравнения (2.1) по методу хорд.

Теорема 2.2. Пусть функция y = f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение (2.1) имеет на этом отрезке единственный корень.

Если функция y = f(x) имеет вторую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х0, удовлетворяющего условию (2.11), можно

вычислить корень уравнения (2.1) с заданной точностью по формулам (2.13) или (2.14).

2.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть уравнение (2.1) f(x) = 0 на отрезке [a, b] имеет единственный корень, причем производные f′(x) и f′′(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом отрезке.

Геометрический метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой y = f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой (рис. 2.8).

38

Полагая y = 0, x = xn+1, получим формулу для построения последовательности приближений корня уравнения (2.1):

Если в нашем случае положить x0 = а, т.е. условие (2.15) не выполняется, то, проведя касательную к кривой y = f(x) в точке (a, f(a)), мы получили бы точку х (см. рис. 2.8), лежащую вне отрезка [a, b]. Выбранное таким образом начальное приближение оказывается непрактичным. В данном случае «хорошим» начальным приближением х0 является то, для которого выполняется условие (2.15).

В математическом анализе доказывается теорема, обобщающая это правило.

Теорема 2.3. Пусть функция y = f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение (2.1) имеет на этом отрезке единственный корень.

Если функция y = f(x) имеет вторую производную, сохраняющуюзнак наэтомотрезке, то исходяизначального приближениях0, удовлетворяющего условию (2.15), можно вычислить корень урав-

нения (2.1) сзаданнойточностью поформуле (2.16).

Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ.

 Замечания

1. Из формулы (2.16) видно, что чем больше значения f ′(x) в окрестности корня х*, тем меньше поправка, которую нужно прибавить к n-му приближению, чтобы получить (n + 1)-е приближение. Поэтому метод касательных особенно удобно применять тогда, когда график функции y = f(x) имеет большую кривизну в окрестности корня соответствующего уравнения, т.е. круто меняет свое значение.

40