книги / Численное моделирование колебательных 2FSI-процессов в компрессорах газоперекачивающих агрегатов

– уравнение сохранения импульса:

г (a r) P τrel.

Соотношение для определения вязких напряжений в относительной системе координат τrel имеет вид:

Уравнения (2.10–2.13) также дополнены определяющими со- отношениямисостояниядляплотностииэнтальпиигаза(2.5–2.6).

Приведенные газодинамические уравнения позволяют описывать как ламинарные, так и турбулентные потоки. Тем не менее турбулентные области охватывают большой диапазон масштабов длины и времени. Как правило, характерный размер вихря намного меньше, чем конечный элемент сетки, применимый на практике. Поэтому для учета эффектов турбулентности без использования запредельно мелкой сетки и прямого численного моделирования применяются модели турбулентности.

Турбулентные потоки характеризуются пульсационной составляющей скорости. Эти пульсации перемешивают параметры переноса потока (импульса, энергии, и параметры концентрации), что приводит к пульсации самих параметров переноса. Так как эти пульсации могут быть мелкомасштабными

42

и высокочастотными, моделирование такого процесса с помощью прямого численного моделирования требует огромных вычислительных ресурсов. Вместо этого полные уравнения движения осредняются по времени и по пространству или используются другие способы исключения локальных мелкомасштабных пульсаций, получая измененные уравнения движения, которые более приемлемы для инженерных расчетов. Однако полученные уравнения движения имеют дополнительные неизвестные переменные, и для их определения используются модели турбулентности.

На данный момент не существует универсальной модели турбулентности для широкого диапазона течений. Выбор модели турбулентности зависит от характера турбулентного потока, требуемой точности, доступных вычислительных ресурсов и временных затрат, необходимых на процесс моделирования.

Модели на основе уравнения для скорости диссипации предсказывают начало отрыва потока значительно ниже по течению, чем это наблюдается в экспериментах, причем расчетный размер рециркуляционной зоны и интенсивность движения в ней оказываются заниженными.

Другой класс моделей, где вместо уравнения переноса для

используется уравнение для k (Turbulence Frequency) –

величина, обратная времени жизни крупных вихрей, использование которой приводит к лучшему согласованию с экспериментом на данном классе течений, если зона отрыва невелика. Так называемая k модель развивалась в [105] и легла в основу комбинированной модели сдвиговых напряжений, созданной позднее [106], и объединяющей k и k модели. SST-модель основана на линейной комбинации k модели в приповерхностных областях и k модели вдали от поверхностей.

43

Система уравнений механики деформируемого твердого тела

Движение ротора компрессора ГПА описывается дифференциальными уравнениями в перемещениях U в рамках линейной теории упругости (ЛТУ). Это обосновывается тем, что материал ротора принимается сплошной и однородной средой (конструкционная сталь), а также в физическом смысле является линейным [107]. При этом ротор эксплуатируется при внешних воздействиях (кинематических и силовых) в упругой области, не подразумевающей пластического течения материала в процессе работы компрессора ГПА.

Ограничиваясь ЛТУ для описания движения ротора, принимается малость возможных деформаций ε, которые определяются через градиенты перемещений:

где U – поле перемещений, представимое в виде функций изменения эйлеровых (пространственных) координат xi :

с инерциальными силами, действующими на элементы конструкции в момент вращения, и внешним воздействием, обусловленным влиянием массопереноса газа в компрессоре ГПА, на поверхности твердого тела возникают силы, называемые напряжениями . В качестве соотношения, связывающего возникающие напряжения и деформации ε, выступает изотропный закон Гука в конечной форме [107]:

где и – параметры Ламе, I1(...) – след тензора, определяемый суммой главных (диагональных) значений, I – единичный тензор.

44

Параметры Ламе определяются следующими соотношениями:

где E – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона. Поскольку соотношение (2.16) реализуется в рамках ЛТУ, то параметры Ламе являются неизменными величинами.

Дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которой является ротор компрессора ГПА, следуют из уравнений статического равновесия при учете объемных сил инерции:

где ρк – плотность материала конструкции, fм – плотность массовых (внутренных) сил, fвн – плотность внешних сил.

При этом плотность материала конструкции является неизменной величиной, поскольку материал ротора предполагается однородным, т.е. его физико-механические свойства во всех точках тела одинаковы. Плотность массовых сил в общем случае является функцией пространственных координат и формулируется из физических соображений о происходящих процессах внутри тела:

Однако в рамках настоящей монографии не подразумевается наличие внутренних массовых источников, т.е. fм 0. Внеш-

ние силы определяются из граничных условий, обусловленных внешним взаимодействием.

45

Таким образом, подставляя в соотношение (2.19) выражения (2.14, 2.16–2.18), получим дифференциальные уравнения движения ротора компрессора ГПА в перемещениях:

где – оператор Лапласа.

Начальные условия

Для численных аэроупругих 2FSI- и 1FSI-расчетов при раздельном учете газодинамики РК моделируемый отрезок времени составил 0,02 с с шагом 5·10–5 с.

Для расчетов при раздельном учете газодинамики ЛУ и РУ, а также совместном учете газодинамики РК, ЛУ, РУ, моделируемый отрезок времени составил 0,01 с с шагом 5·10–5 с.

Граничные условия

Математическая модель замыкается граничными условиями (ГУ) на входе, выходе и стенках трехмерных областей 2FSI-системы, а также на контактных поверхностях взаимодействия областей «газ – газ», «газ – конструкция» и «конструкция – конструкция».

ГУ при раздельном и совместном учете газодинамики РК, ЛУ, РУ, общие для всех 2FSI-расчетов при моделировании одной ступени компрессора, приняты следующим образом (рис. 2.3):

1. Задана скорость вращения ротора компрессора в соответствии с режимом работы (4200, 5160, 6000 об/мин)

2. Перемещения на торце вала ротора со стороны РУ Uz z 0 ограничены в осевом направлении (ближний торец на рис. 2.3)

46

Окончание табл. 2.2

j-й области Sj на границе взаимодействия (n); Si – i-я площадь.

ГУ на входе, выходе и стенках трехмерных областей 2FSI-системы при моделировании одной ступени компрессора с учетом газодинамики ЛУ представлены на рис. 2.6 и в табл. 2.3.

ГУ на контактных поверхностях взаимодействия областей «газ – конструкция» и «конструкция – конструкция» 2FSI-сис- темы при моделировании одной ступени компрессора с учетом газодинамики ЛУ представлены на рис. 2.7 и в табл. 2.4.

50