книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfПри написании матрицы учтено, что для однозначного определения ко эффициентов необходимо, чтобы число строчек матрицы было равно чис лу столбцов.
Выражение для ак имеет вид
где Д - определитель матрицы; Ак получается из Д путем замены А-го
столбца матрицы столбцом s(tj.
Таким образом, интерполирующая функция будет описываться выражением
(2.5)
t o А
Раскладывая определитель А к по элементам А-го столбца, выражение
для ак запишем в виде
1 N |
(2.6) |
я * = - 2 > ('* ) Д * л , |
|
АА Л=0 |
|
где Акл - соответствующее алгебраическое дополнение.
С учетом (2.6) из (2.5) получим другую форму записи интерполяцион ного многочлена
N
<Р(0 = £ ^ ) Ф * ( 0 |
(2.7) |
к=О |
|
Как следует из (2.7), коэффициенты ряда представляют значения сигна
ла s(t) в узлах интерполяции. Очевидно равенство |
|
|||
* ( 0 = 1 > ( О М |
О > И = 0,1,2...., |
(2.8) |
||
|
*=0 |
|
|
|
Функция Фк(0 должна удовлетворять условию |
|
|||
« М О |
1, к = п |
(2.9) |
||
0, А |
и |
|||
|
|
|||
Качество интерполяции функции при заданных узлах интерполяции за висит только от выбора системы интерполяционных многочленов. В каче стве интерполяционных многочленов выбираются степенные и ортогональ ные многочлены и сплайновые функции. В радиотехнике чаще всего - ряд Котельникова.
В дальнейшем рассматривается классический вариант - многочлены Лагранжа, а также ряд Котельникова и сплайновая интерполяция. Совмес тное рассмотрение различных видов интерполирующих функций позво ляет дать их сравнительный анализ и оценить их достоинства и удобство использования.
2.2.С те п е н н ы е м ногочлены , м ногочлены Лагранжа
Простейшим видом интерполирующей функции (2.2) является степен ной многочлен. Степенной многочлен, описывающий сигнал, запишем в виде
N |
|
fl»(0 = X « / |
(2.10) |
*=0 |
|
Матрица системы уравнений (2.3) в этом случае имеет вид
'о с
',2 t?
4 tN
Матрица дает степенной определитель или определитель Вандермонда. Переходя к форме записи многочлена (2.8), выражение для базисных фун кций получим в виде (к Ф п)
ф*(о=П-?- ^ |
С-1» |
|
п=о h |
К |
|
Таким образом, интерполирующая функция (p{t) |
будет описываться |
|
выражением |
|
|
9>(0 = Х -К /* ) П т —7 |
|
|
*=0 |
п=0 h ~ |
|
представляет интерполяционный многочлен Лагранжа. При постоянном шаге по оси /
Л ^0 = ^2 Л —• • • —^ —^N-\ “ ^ »
обозначив t - 10 / Л = х , запишем
хА(хА - А)...[*А - (Л - 1)А][хА - (к + 1)А]...(д:А - NA)
«М О
k h ( k - l) h ......[-(W -yt)A ]
(2.13)
-к |
1 |
X(;C-1)...(JC- N) |
= ( - 1 Г |
Т ^ к |
ЛП |
|
Графики базисных функций при некоторых значениях N приведены на рис. 2.2.
Интерполяционный многочлен (p(t) совпадает с исходной функцией,
описывающей сигнал s(t) в узлах интерполяции tQ,tx,...tn В остальных
точках он будет отличаться от s(t). Исключение составляет тот случай, ког да сигнал описывается степенным многочленом степени не выше N. В этом
случае cp(t) и s(t) будут тождественно равны.
Отличие (p(t) от s(t) определяет ошибку интерполяции. Она оценивает-
ся неравенством
И |
'. К ' '.)••(' <„)|, |
(2.14) |
где M N+l = m ax|*(w+l)(0 |; |
te |
(2.15) |
Как следует из (2.14), ошибка интерполяции определяется произведени ем значений (N+/^-производной интерполируемой функции и многочлена
» ч о = ( ' - а ' - о - ( ' - л ) - |
(2.16) |
|
Многочлен W(t) обращается в нуль в узлах интерполяции t0J ]9...tn
Переходя через нули, меняет знак, принимая в интервалах между ними экстремальные значения (рис.2.3), значения экстремумов будут различны.
Район больших экстремумов характеризует большие значения ошибок.
Ошибка будет особенно велика для значений вне интервала [t0,tN] , т.е. в
том случае, когда многочлен Лагранжа используется для экстраполяции функции (рис. 2.3).
Примеры интерполяции сигналов, заданных своими дискретными зна чениями, с использованием многочлена Лагранжа приведены на рис. 2.4 и 2.5 (а - сигнал, б - амплитудный спектр сигнала, в - восстановленный сигнал после дискретизации) и в конце раздела 3.
Многочлен Лагранжа обладает хорошими интерполяционными свойства ми при сравнительно небольшом числе узлов интерполяции. При большой степени многочлена (на практике N> 5) могут возникать значительные ошибки вследствие «раскачки» многочлена между узлами интерполяции.
Из известных функций ортогональных систем в качестве базисных воз можно применение функций Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. Используя ортогональные системы функций, получим коэффициенты в формуле разложения (2.1). Преобразуя это выражение, как было показано, можно получить форму представления интерполирующей функции в виде (2.7). В радиотехнике в качестве интерполяционного многочлена обычно рассматривается ряд Котельникова. Удобство его использования связано с его видом: коэффициенты ряда представляют дискретные значения сигна ла, базисные функции часто встречаются в радиотехнике при анализе сиг налов и цепей.
6
о
-1.0 -0.0 -а в -0.2 о.о 0.2 ae ае î.o
б)
в)
Рис. 2.4
а) |
б) |
в)
Рис. 2.5
2.3.Ряд К отельникова
Для восстановления непрерывного сигнала s(t) по его дискретным зна чениям в радиотехнике используется ряд Котельникова (рис. 2.6,а). Выра жение для него имеет вид:
S(t)= X s ( n T ) s m c n /T ( t- n T ) , |
(2.17) |
где Т - интервал дискретизации, Т < 2/(От; сот- максимальная частота в спектре сигнала,
sinc(x) = sinx/x.
Записанное выражение может рассматриваться как разложение непре рывного сигнала в ряд по ортогональной системе функций (рис. 2.6,6)
<pn( t- n T ) = sin en / T ( t - n T ) |
(2.18) |
с коэффициентами, равными значениям сигнала в выбранные моменты времени.
Если сигнал определен на интервале [О, Г], то число интервалов разби ения равно
Рис. 2.7
.. Тс Тсот |
(2.19) |
N = -£- = -*-2-, |
Тп
авыражение для ряда Котельникова
N - \ |
|
s(t) =^ s (n T )s in c n /T (t- n T ) . |
(2.20) |
л=0
Графики базисных функций ряда Котельникова приведены на рис. 2.7. Примеры восстановления сигналов с использованием ряда Котельнико ва даны на рис. 2.8 и в конце раздела 3. На рис. 2.8 изображены сигналы после восстановления, исходные сигналы приведены на рис. 2.4,а и 2.5,а.
Ряд Котельникова может быть записан и для частотной области
N - 1/2 |
2к |
(2.21) |
S(œ)= ]jP |
S(n £ i)sm c— (co-nQ ), |
|
=—(JV—l)/2 |
Л |
|
где S(w ) - спектральная плотность сигнала s(t)\ £1<2к / Tc - интервал
дискретизации по частоте.
Общее число выборочных значений спектра определяется как
N = 2com/ Q ,
где û)m - максимальная частота в спектре сигнала.
3. СПЛАЙНОВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Одним из видов интерполирующей функции является сплайновая фун кция, или сплайн. Сплайн описывает заданную функцию на каждом част ном интервале дискретизации. Так, если функция задана на интервале [/^ tN], который разбит на частные интервалы [/^ /А+/], то сплайны дают описа ние функции на каждом частном интервале [/^ tk+l], а их совокупность опи сывает функцию на всем интервале ее задания (рис. 3.1).
Интерполирующая функция (pk (t) называется сплайном, если она не
прерывна и описывает функцию на интервале разбиения, а на концах ин тервала имеет ш непрерывных производных. Для сплайна, представляю щего степенной многочлен, эти условия сводятся к следующему:
на каждом интервале [te tk+J] функция является многочленом степени п
п
(3.1)
1=0
имеет на концах интервала (n-v) непрерывных производных, т.е.
-<5) = <jо^м)0к +<^) ПРИ5-» 0 ,11 = 0, |
и-v. |
В этом случае говорят, что сплайн обладает n-v степенью гладкости. Предельный вариант сплайна - кусочно-линейная функция, применяе
мая при линейной интерполяции. Такую функцию можно рассматривать как сплайн первой степени (и=7) дефекта 1 (v=7).
Простейшими степенными сплайнами, пригодными для использования на практике, являются кубические сплайны третьей степени дефекта 2 или 1. На их примере рассмотрим общий подход к построению сплайнов. В дальнейшем излагаются методы построения сплайнов более сложной струк-
9(0 |
<Р,(0 |
N
t
туры - локальных сплайнов, приводятся выражения для них, даются при меры их применения при восстановлении непрерывных сигналов.
Одним из достоинств сплайновой интерполяции является то, что при использовании сплайнов не требуется равномерной сетки интерполяции. В то же время на практике чаще всего используется постоянный интервал дискретизации сигнала. Вследствие этого в дальнейшем рассматривается вариант с равномерной сеткой интерполяции. Целесообразность такого рассмотрения подкрепляется еще и тем, что в этом случае выражения, опи сывающие сплайны, получаются проще.
3.1. Кубические сплайны первой с т е п е н и г л а д к о ст и
Сплайны третьей степени дефекта 2 называются кубическими сплайна ми первой степени гладкости или эрмитовыми кубическими сплайнами. Исходными данными для их получения являются значения сигнала s(tj и его первых производных в узлах интерполяции (ds/dt)( На каждом част ном интервале [/^ tk+l] сплайн описывается выражением
Фк(0 = ак0 + ак\(*-**) + ак2(*” **) ■**акЪ —h ) ^ *2) В точках дискретизации сплайн и его первая производная равны значе
ниям сигнала и его производной
<рк (h )= s(*k); <Рк (fk) = s' (tk) •
Из (3.2) и (3.3) для начала и конца каждого частного интервала [te / ] получим четыре уравнения, которые позволяют определить четыре коэф фициента (ак(Уак1, ак2, акз), задающие сплайн. С учетом значений этих коэф фициентов выражение для сплайна (3.2) примет вид
<Рк(0 = s(h )0 - г ) 2(1 + 2т) + *(**♦, )т2(3 - 2т) +
5-(tk)Аг(1 - т )2 - S' (tM )Лт2 (1 - т),
где r = ( t - t k) / h , h = tM - t k
Если функция задана только своими значениями (наиболее распростра ненный на практике случай), для задания значений на концах частного интервала [t^ tk+J] можно использовать следующее выражение:
_ s(tk) |
s(tk-\) |
h+\ h |
, s0k+\) |
h |
4-1 |
(3.5) |
s’(tk) = |
|
^t+i ~ h-\ |
h+x - h |
(t+i |
h-\ |
|
h |
h-\ |
|
На границах интервала задания функции:
Л |
^N-1 |
В практике интерполяции сигналов и их характеристик наиболее удоб ной формой представления интерполирующей функции является следую щая
<р(/)= 2 >*Ф*(0 , |
3-7) |
к=\ |
|
где sk=s(tj - дискретные значения сигнала (значения интерполируемой функции в узлах интерполяции).
Приводя выражения для сплайнов к виду (3.7), для случая tk+l - t k = h, s0 = sN= 0 получим:
на первом интервале:
Ф2(т) = т(1 + т - т 2), |
(38) |
Ф3(т) = г2(1-г),
где т = t - t k / h ,
на к-м интервале:
Ф*-1(т)=“ 0.5(1- т)2,
Ф*(т) = 1-2,5т2+1,5т\ Ф*+|(т) = т(0>5+ Зт -2,5т2), Ф*+2(т) = 0,5т2(1 -т).
на последнем интервале:
Ф_1(т)= 1—2г2+т3,
ФЛ--2(Т) = Т(1- 2 т + т 2 )-
3.2.Кубические сплайны в т о р о й с т е п е н и г л а д к о ст и
Большую гладкость интерполяции обеспечивает кубический сплайн вто рой степени гладкости (дефекта 1). Он представляет многочлен третьей сте пени (3.2), его значения в узлах интерполяции равны значениям сигнала
<P(tk) = sk , |
(3.11) |
в узлах интерполяции имеет непрерывные первые две производные |
|
<рЧ*к - 8 ) = <рЧ*к+8 ),8 ->0, AI = 1,2 . |
3.12) |
При описании сплайна на частном интервале [t^ tk+l\ используется его запись в виде (3.4).