книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfРис. 6.15
При переходе от ФНЧ к ЗФ с учетом частоты среза полосы пропускания можно выполнить следующую подстановку в выражении для системной функции ФНЧ [28]:
+1 ^
1+ р
Z |
|
|
|
! z £ z - > _ ^ z - 4 i ’ |
|
|
1+р |
1+р |
где a = COS£Ü07 \ |
||
P = tg |
4 T ~ coiT |
|
|
2 |
|
|
COS |
|
* * * ? - |
О..Т + Щ Т |
|
(6.35)
(6.36)
(6.37)
cos— ------- —
я ( 2 ) = , - м а - . ) _ _ |
1 - z ~ 2L^ |
|
(6.38) |
|
l - Z |
Схема ПФ представлена на рис. 6.16.
Частотная характеристика такого фильтра описывается выражением
{ |
• |
\м |
Я(о>) = |
sm (.Lœ T) |
|
sin(co71) |
|
|
' - F |
|
- i M ( L - \ ) ( o T
(6.39)
Графики АЧХ широкополосного ПФ приведены на рис. 6.16.
При переходе от ФНЧ к полосовому фильтру с учетом частоты среза можно выполнить следующий переход в выражении для системной функции ФНЧ
2а/? |
\ |
z 2 - |
Р +1 |
/Г Й |
|
|
(6.40) |
Г д - П z -2 —f l a p ' ) z"' + 1 |
|
[ р ^ ] |
[ / Î + I J |
В (6.40): а = cos со0Т
( ù J - œ ,T . <о.Т
(6.41)
2 2
(ùnT + cù[T
cos
2
cos C0nT - (0iT
Примеры выделения гармонического сигнала из смеси сигнала и шума с использованием ПФ приведены на рис. 6.17. Графики (сверху вниз): сиг нал на входе, шум на входе, смесь сигнала и шума на входе, сигнал на выходе.
Систематизация рассмотренных схем ЦФ различных видов дана в при ложении 2.
Варьируя сочетания различных видов фильтров, можно дополнить при веденные схемы другими вариантами, увеличивающими рассмотренный набор схем. Так сочетание двух ФНЧ с различными характеристиками может позволить получить ПФ.
Взяв ФНЧ, имеющие системные функции, описываемые (6.3), можно получить ПФ с характеристикой
1 1 - z '* 1 |
1 |
1 -2 " ^ |
(6.42) |
|
# ( z ) =Ц 1 - z '1 |
L2 1 - Z ' 1 ’ |
|||
|
||||
Преобразование (6.42) дает |
|
|||
|
|
+ 1 / £ !г"Ц |
„ . .. |
|
Я ( 2 ) ------------------- 1- |
2Z - + Z - ----------------- |
<6'43) |
||
Частотная характеристика такого фильтра может быть рассчитана по (4.15).
В качестве примера на рис. 6 18 приведена АЧХ фильтра при L2-4 и L=2. Откорректировать частотную характеристику, сузить ее, позволяет кас кадное включение ячеек. Системная функция такой цепочки будет иметь
вид |
|
{L^- Ц ) ! Ц ^ - М |
+ \ I L 1z~u- |
H(z) = |
(6.44) |
|
1 —2z_1 + z”2 |
s(1 )
Рис. 6.17
6.2. Ц иф ровы е ф и л ь тр ы с идеальны ми х а р а к те р и сти к а м и
Рассмотренные схемы различных видов ЦФ являются наиболее просты ми в реализации. Характеристики таких ЦФ часто удовлетворяют требо ваниям, предъявляемым при решении задач практики; в частности, их при менение удобно при проведении сглаживающей аппроксимации осцилли рующих функций (Разд. 8). Однако в ряде случаев требования к частотным характеристикам ЦФ могут быть более жесткими, приходится рассматри-
Рис. 6.18
вать новые варианты построения схем ЦФ, обеспечивающих характерис тики близкие к идеальным для различных видов фильтров (рис. 6.19).
Один из подходов к решению указанной задачи основан на использова нии рассмотренных ранее схем ФНЧ с характеристиками, аппроксимиру ющими идеальные, и синтезе на их основе ЦФ других видов.
6.2.1.Фильтры нижних и верхних частот
Идеальная АЧХ фильтра нижних частот имеет прямоугольную форму - постоянное значение в интервале частот [0, ю], рис. 6.19. Такой вид харак теристики физически не реализуем, поэтому используемые на практике фильтры имеют характеристики только близкие к идеальной - аппрокси мирующие идеальную; это фильтры Баттерворта, Чебышева, рассмотрен ные ранее, и некоторые другие. Цифровые фильтры с такими характерис тиками выполняются по каскадной схеме (Разд.5).
При нечетном п фильтр содержит одну ячейку первого порядка и (п-1)/2 второго порядка,
_ K Af+ W Q + z - 1) W |
^ * ( l + z~') |
|
|||
H(z) = |
( л+ 1)/2 -1 |
г г |
Л) |
k -2 |
(6.45) |
\ - ь ; |
‘ i l |
1- 6. V 1- |
|||
при четном « фильтр содержит (п-1)/2 ячеек второго порядка, |
|
||||
( л- 1)/2 |
А о + ^ ) 2 |
|
|
|
|
Я(2) = ^ П |
|
|
(6.46) |
||
1- 6, V |
- 62V |
2 |
|
||
А=1 |
|
|
|||
Параметры фильтров Баттерворта и Чебышева в (6.45) и (6.46) определеляются выражениями, приведенными в разд. 5.
Записанным системным функциям соответствуют схемы ЦФ, изобра женные на рис. 6.20.
Пример АЧХ такого фильтра 20-го порядка приведен на рис. 6.21.
п - нечетное
Рис. 6.20
На основе схемы ФНЧ можно получить схему ФВЧ, аналогично тому, как это было сделано ранее - в системной функции ФНЧ производится замена z на г 1.
В результате подстановки найдем выражение для системной функции ФВЧ в виде:
для ячейки первого порядка
И’ ~
для ячейки второго порядка
( 6 ' 4 7 )
H(z) = |
Л * (1 + ^ ‘)2 |
(6.48) |
|
|
1- b ^ z - ' - b J z ' 1 ’ |
где bu = 6, / b2, b22 = 1 / Ь2.
Как следует из записанных выражений, ячейки ФВЧ имеют такую же структуру, что и ячейки ФНЧ (схема такая же, как представленная на рис. 6.20), отличие - в значениях параметров фильтра.
Схема ФВЧ представляет каскадное соединение ячеек, включает при нечетном числе ячеек: одну ячейку первого порядка и (п-1)/2 ячеек второ го порядка; при четном числе - (п-1)/2 ячеек второго порядка.
Вид АЧХ фильтра верхних частот 20-го порядка показан на рис. 6.22.
6.2.2. Заградительный и полосовой фильтры
От схем ФНЧ и ФВЧ можно перейти к схемам полосового и загради тельного фильтров - рис. 6.23, верхняя схема - ПФ, нижняя - ЗФ.
Амплитудно-частотная характеристика ПФ имеет вид, показанный на рис. 6.24, ЗФ - рис. 6.25.
Число вариантов схем ЦФ различных видов, получаемых на основе ФНЧ, может быть увеличено.
Таким образом, рассмотрены несколько подходов к получению ЦФ раз личных видов, которые дают большое разнообразие схем их реализации.
7. ОПТИМАЛЬНАЯ ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Чтобы обеспечить качественный прием сигнала на фоне шума, необхо димо прежде всего выбрать такие характеристики цепей приемника, при которых влияние сопутствующих шумов будет минимальным. Цепь с та кой характеристикой называют оптимальной. При описании цепи чаще всего используется частотная характеристика, вследствие этого оптималь ную цепь чаще всего называют оптимальным фильтром.
Критерии оптимальности фильтра могут быть различными, зависят они
впервую очередь от задач, решаемых при приеме сигнала. Если решается задача обнаружения сигнала на фоне шума, то в качестве критерия опти мальности целесообразно принять максимум отношения сигнал/шум на выходе цепи при заданном его значении на входе. С использованием этого критерия и определяются условия оптимальной фильтрации сигнала в ЦФ
вдальнейшем.
7.1.П о ста н о в к а и содерж ание задачи о п ти м и за ц и и цепей
Задача оптимизации характеристик линейной цепи в общей постановке заключается в следующем. Если на вход поступает аддитивная смесь: сиг
нал 5, (/) и шум Ç(/)
ui ( 0 =-yi ( 0 + ^ ( 0 > |
(7.1) |
то на выходе линейной цепи имеем |
|
|
м2(0 = Z |
(0 ] +1 [^1 (0 ] = ^2(0 +f l o |
(7.2) |
|
||
rae I-оператор линейной цепи; s2(/) = L[s, (<)] - сигнал на выходе цепи;
< . м - 4 й м ] - шум на выходе цепи.
Оптимизация цепи заключается в определении такой ее характеристи ки, которая обеспечивает получение максимального значения отношения сигнал/шум на выходе цепи в заданный момент времени /
9 = 4M (7.3)
где М{...} - символ усреднения.
Запишем выражения для величин, входящих в (7.3).
Сигнал на выходе линейной цепи определяется интегралом свертки
s2(t ) = l h {u )s\( t ~ u )du’ |
(7.4) |
о
где h(t) - импульсная характеристика цепи.
Шум на входе цепи чаще всего рассматривается как белый. На практике это означает, что ширина полосы частот, занимаемая шумом, значительно больше ширины полосы пропускания цепи. Это наиболее общий случай приема сигнала. Учитывая, что корреляционная функция белого шума пред ставляет импульсную функцию 7?(г) = N 05 ( г ) , выражение для мощнос
ти шума на выходе цепи запишем в виде |
|
M { t i ( t ) } = cr2 = N 0l h 1(u)du, |
(7.5) |
о |
|
где N0- спектральная плотность мощности белого шума на входе цепи. Таким образом, выражение для отношения сигнал/шум на выходе цепи
в момент времени /0 с учетом (7.4) и (7.5) запишем в виде
Jh(u)sx(t0 - u ) d u
,0
2
7V0J/iJ (u)du
С учетом (7.6) конкретизируем задачу оптимизации. Она сводится к на хождению такой импульсной характеристики цепи, которая обеспечивала бы максимальное отношения сигнал/шум, определяемое (7.6). Для этого обратимся к неравенству Буняковского-Шварца:
ь |
|
b |
b |
|
\ x [ u ) y { u) d u |
|
<JV |
[u)duJj>2 ( M)du. |
(7.7) |
_ a |
J |
a |
a |
|
Равенство в (7.7) имеет место при x(u) = ky(u), где к - постоянная вели чина. С учетом (7.7) выражение (7.6) можем записать в виде неравенства
J А2 (и ) du^s^ (/0 - u ) d u |
| / î 2 [u)du^s] (/0 - u ) d u |
(О< о________ о____________ |
о________ о____________ |
О* |
N 0J / I2(u)du |
N 0j h 2{u)du |
о |
о |