книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfДля уравнения второй степени: |
|
dl > 0 ,d > 0, |
(9.2) |
для уравнения третьей степени: |
|
d > 0, d2d > d 0d3, d > 0 . |
(9.3) |
для уравнения четвертой степени: |
|
d>0, d}d2-d,d>0, d /d d - d 'd J - d ’d'X), d>0. |
(9.4) |
Уравнение (9.1) описывает линейную систему. Система имеет переда точную функцию
Щ , ) = Ь ±
(9.5)
d o+d]p + — + dNp
Ей соответствует частотная характеристика
= c0 +c]ico + ... + cM(i(o)M
(9.6)
d Q+d^ico + ... + dN(ico)N
Решение дифференциального уравнения (9.1) представляет сумму об щего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Получение решения связано с определенными трудностями, которые часто становятся существенными для уравнений, начиная уже со второго порядка. Вследствие этого чаще всего решение находится с при менением численного метода, связанного с использованием алгоритма цифровой фильтрации.
Для перехода к численному методу решения дифференциального урав нения (9.1) при вычислении производной функции принимают:
\u ( n T ) - u ( n T - T )
(9.7)
J i = n T
где Т - интервал дискретизации.
С учетом (9.7) можно получить расчетные выражения для производных более высоких порядков. В таблице 9.1 приведены выражения для произ водных до четвертого порядка включительно.
Таким образом, используя (9.7), от дифференциального уравнения (9.1) можем перейти к разностному уравнению. Это разностное уравнение N-го
порядка, описывающее прохождение сигнала через цепь, имеет вид |
|
ы2 (пТ) - b,u2 (пТ - Т) - ... - bNu2(пТ - NT) = |
|
= a0u, (пТ ) + о,и, ( п Т - Т ) + ... + амщ ( п Т - МТ). |
(98) |
|
Таблица 9.1 |
||
d u / |
± [ U(n T )-« (n T -T )-\ |
|
|
Vdt |
|
|
|
d 2u / |
± [ и ( п Т ) - Ъ ( " Т - Т ) + и (п Т -2 Т )\ |
|
|
Vdt1 |
|
|
|
d W |
jz [ u (nT) - Зм(nT - T) + Зм (nT - 2Г) - и (n T - |
ЗГ)] |
|
Vdt3 |
|
|
|
Л / . |
1 u (n T )-4 u (n T - Т ) +6 и (п Т -2 Т )- 4 и (п Т -З Т ) + |
||
Т*[+и(пТ-4Т) |
J |
||
Vdt |
|||
При написании разностного уравнения взяты наиболее привычные обо значения коэффициентов. Они были использованы и ранее в предыдущих разделах.
Очевидно, точность при переходе от дифференциального уравнения к разностному определяется выбором интервала I Значение Т должно вы бираться из условия:
Т<к/ (О^
где сот- максимальная частота в частотной характеристике цепи (9.6). При переходе от (9.1) к (9.8) необходимо определить соответствие ко
эффициентов этих уравнений. С учетом выражений, приведенных в табл. 9.1, соотношения между коэффициентами уравнений (9.1) и (9.8) могут быть получены в виде следующих равенств.
Для уравнений первого порядка: |
|
||
Яп = |
с ,+ с 0Г |
di+- d j , *1 = dl + d0T |
(9.9) |
di + d0T |
|||
Для уравнений второго порядка:
Al + A / + c J 2 |
_ |
d2+ dxT + d j 2 ’ |
а' " |
2d2+ d f |
Ьг |
~ d2 + dxT + d J 2 |
2сг + с,Г |
d .+ d .T + d J 2 ’ |
|
d2+ d .T + d j 2 ' |
||
d2 |
(9.10) |
|
d2 + d J + d0T 2 |
||
|
Для уравнений третьего порядка:
с 2+с2Т + с,Т2 +с0Т 2 |
a |
Зс3+2с 2T + ctT 2 |
d . + d j + d j 2 + d0T 2 ’ |
' |
d2+ d2T + d J 2 + d0T 2 ’ |
Зсг+с2Т |
_ |
с 3 |
d2+ d2T + d J 2 +d0T2 ’ |
° 3 ~ ~ d i + d2T + d] T 2+ d0T 2 ’ |
|
3</3+ 2< /2Г + </,Г2 |
|
3</3 +</2Г |
d ^ + d j + d j 1 + d j ' i ’ |
2 “ |
d . + d ^ + d.T1 + d ^ 2 ’ |
Ьу d2+d2T +d J 2+d0T3 |
(911) |
Аналогично могут быть получены соотношения для коэффициентов уравнений более высоких порядков, это будет сделано позднее.
Перепишем (9.8) в виде
u2(пТ) =aQux(пТ) + axux(пТ- T ) +... +aMux(пТ - МТ) +
+blu2(n T -T ) +... +bNu2(nT -NT). |
(912) |
Выражение (9.12) представляет алгоритм вычисления сигнала на выхо де цепи, описываемой дифференциальным уравнением (9.1). Схема реа лизации этого алгоритма представляет схему рекурсивного ЦФ (рис. 9.1).
Схема отражает последовательность операций численного решения диф ференциального уравнения, она описывает последовательность операций по определению сигнала на выходе ЦФ. Реализуя программно (9.12), мо жем определить сигнал на выходе ЦФ при заданном сигнале на входе.
Таким образом, использование алгоритма ЦФ (его программы) позво ляет получить решение исходного уравнения.
Z-преобразование левой и правой частей (9.8) дает
U2( z ) - b lz-'U1( z ) - . . . - b Nz - NU2(z) = = a0Ux(z) + alz-'Ul(z) + ... + aMz-MUl(z),
позволяет записать выражение для системной функции ЦФ в виде
Я (2 ) = ао + aiz ~' + — + aMz~t l - 6 , z _l - , . . - b Nz~N
(9.13)
(9.14)
Системная функция, как указывалось ранее, отражает структуру ЦФ. Таким образом, если от исходного дифференциального уравнения перейти к разностному, то можно определить структуру ЦФ, программа которого позволяет найти требуемое решение.
От системной функции можно перейти к частотной характеристике ЦФ
заменой z на ешТ
Выражение для АЧХ фильтра записывается в виде (Разд. 4)
N М |
|
|
|
X X aA sin[ ( " - m ) ü>r] |
|
|
|
/1=0 m=0_____________________________ |
|
(9.15) |
|
| # И = |
|
|
|
| n=0 m =0 |
|
|
|
ФЧХ фильтра: |
|
|
|
М |
|
N |
|
X |
a m sin(mcoT) |
Х А sin(/J<oT) |
|
<f>H{oi) = - a r c t g ^ ------------------+ arctg^ ----------------- . |
(9Л6) |
||
X |
а т cos(mcoT) |
X К COS(/JÛ)T) |
|
т =0 |
|
л=0 |
|
Выражения (9.15) и (9.16) описывают частотные свойства ЦФ, реали зующего алгоритм, записанный в виде разностного уравнения (9.8). Они представляют и алгоритмы численного расчета частотных характерис тик системы, описываемой дифференциальным уравнением (9.1), могут
оказаться более простыми, чем расчетные выражения, получаемые из (9.6). Особенно они удобны, если решения (9.15) и (9.16) запрограмми рованы [22].
Достаточно часто передаточная функция имеет вид (имеет только по люса)
Н (р ) = ________ ^0________ в |
(9.17) |
d o+dxp + ..- + dNp N |
|
Записываемое выражение соответствует случаю, когда уравнение (9.1) в правой части содержит только один член.
Переходя от аналоговой цепи с передаточной функцией (9.17), это часто встречающийся случай, к алгоритму ЦФ, запишем выражения для пара метров ЦФ первых четырех порядков.
Для фильтра второго порядка:
с0Т 2 d2+ dxT + d0T 2
— |
^d2 + d tT |
^ |
________ dj______ |
||
1 |
d2 + dxT + d0T 2 ’ |
2 |
d2 + dxT + d0T 2 |
||
Для фильтра третьего порядка: |
|
||||
а _ |
С«Г3 |
|
b _ |
3d3+ 2 d 2T + dxT 2 |
|
|
d3+ d2T + d xT 2 +d0T 3 ’ 1" |
d3+ d2T + dxT 2 + d ^ 3 ’ |
|||
|
3d3+ d2T |
|
|
||
ьг=- dj + d2T + dxT 2 + d <? 3 ’ "3 |
d3 + d2T + dx T 1 + d0T 3 ' |
||||
Для фильтра четвертого порядка: |
|||||
an = |
A T 4 |
|
|
||
d 4+d3T + d2T 2 + dxT 3 + dQT 4 |
’ |
||||
|
|||||
|
4d4 + 3d3T + 2d 2T 2+ dx T 3 |
|
|||
d4 +d3T + d2T 2 + dxT 3 + d (f * |
’ |
||||
|
6dA+3d3T + d2T 2 |
|
|||
d4 + d3T + d2T 2 + dxT 3 + d j * '
(9.18)
(9.19)
(9.20)
_________ Ad^+djT_________
Ь>= d ^ d ^ + d ^ + d ^ + d ^ ’
IJ _______________________ _ 4 ___________________
4 </4 + </3Г + </2Г 2 +с/,Г3+ < /07’4 '
Таким образом, переход от дифференциального уравнения к разностно му позволяет провести численное решение дифференциального уравне ния с использованием программного обеспечения цифровой фильтрации.
Такой переход в качестве иллюстрации выполнен для уравнений пер вых порядков. Теперь определим его для общего случая - любых значений
Ми N.
Исходное линейное дифференциальное уравнение запишем в виде
(9.21)
л =0 а г л =0 а 1
Введем обозначение оператора
ф Т ) - у ? Т - Т ) = А ф )
(9.22)
С учетом принятого обозначения оператор перехода от производной любого порядка к конечной разности запишется в виде
^ ^ - > Д * м ( и ) . |
(9.23) |
dt'
Запишем выражение для z-преобразований операторов. Для (9.22) по лучим (Разд.1)
z{Au(n)} = l/T U ( z ) ( \ - z ~ ') . |
(9.24) |
Z- преобразование оператора (9.23) представим в виде |
|
z{Aku(n)} = U(z) 1 IT* ( l - z~l)k = U(z) 1 / T k£ |
(-1)" Ckmz~m |
m=0
(9.25)
= 1 / Г* £ (~l)mCkmU (z)z~m
m - 0
Обратное z-преобразование (9.25) с учетом свойства z-преобразования определяется выражением
Д*и(л) = 1 / ТкX (-1)" Ckmu(n - m). |
(9.26) |
m=0 |
|
Таким образом, соответствие к-ой производной и оператора запишем в виде
|
|
-»1 / Г* X ( -l)mCkmu(n - m). |
|
|
(9.27) |
||
|
|
|
m = О |
|
|
|
|
Для правой части дифференциального уравнения имеем |
|
||||||
M |
J k |
( f \ |
M |
М |
к |
|
|
% ck |
|
|
-> |
Д \ (п) =% к1/Тк X H ) mCt-«, (!» -») = |
|
||
A=0 |
|
|
A=0 |
k=0 |
m=0 |
|
(9.28) |
M |
к |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= X |
1 |
1 / r*<r(* •- m)(-l)* Сктскщ (n-m ) = |
(я - k). |
|
|||
k=0 m=0 |
|
|
k =0 |
|
|
||
|
|
А/ |
|
|
А/ |
|
|
где a , = X l / 7 ’*<T(m-Æ)(-l)*CA'"c,n = Х ( - 1 ) * С Г а т |
(9.29) |
||||||
|
|
/п=0 |
|
|
m=Jfc |
|
|
Для левой части дифференциального уравнения получим аналогичное выражение.
Таким образом, для разностного уравнения, соответствующего исход ному дифференциальному уравнению
и2(пТ) - Х ^ и 2 (л Г - КГ) = X |
a*=eMi(лГ - АТ), |
(9.30) |
|||
|
А= |
Jt=0 |
|
|
|
получим следующие выражения для коэффициентов |
|||||
|
м |
|
N |
|
|
|
mdi____ |
|
Х Н |
) ‘ с и‘ 1 |
/ г ч |
д = |
. h |
= - F =k |
|
(9.31) |
|
ак ~ |
N |
|
|||
|
S I ! Т Ч Щ |
|
i |
i / T mdm |
|
|
/л=0 |
|
m=0 |
|
|
Алгоритм ЦФ, дающий численное решение, записывается в виде:
м |
|
м2 (пТ) = X a*M1(и:Г “ кТ) +X6*ы2(лГ - £Г). |
(9.32) |
А=0 |
А= |
на переходе от дифференциального уравнения к разностному и его расчету. Разностное уравнение определяет структуру соответствующего ЦФ. Таким образом, программа ЦФ обеспечивает численный метод решения разностного и, следовательно, исходного линейного дифференциального уравнения.
Точность расчета по полученным выражениям зависит от выбора значе ния интервала дискретизации Т Условие выбора значения интервала дис кретизации записано выше.
Пример
1. Линейная цепь второго порядка, представляющая последователь ный колебательный контур.
Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи записывается в виде
d 2u7 |
г.„ du, |
|
/ч |
||
Ь С - р г |
+ЯС— î-+ «2(0 = M,(0 |
||||
at |
|
at |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
d u-% |
_ |
du* |
2 |
.. |
2 / \ |
— - Г |
+ 2 a |
- J - |
+ ^ |
U2 (0 = <°0 U\ (0 , |
|
at |
|
at |
|
|
|
где (O0=l/y]LC - частота собственных колебаний в контуре без потерь; а
=R/2L - коэффициент затухания.
Постоянная времени контура т =1/ а Начальные условия считаются ну левыми.
Переход от дифференциального уравнения к разностному уравнению второго порядка дает следующее выражение
u2(пТ) - bxu2(п Т - Т ) - b2u2 (пТ - 2Т) = а0щ (п Т \
где коэффициенты br Ьг а0 соответствуют коэффициентам дифференци ального уравнения:
|
<4 \ Т г |
. |
2(1 + а Т ) |
0 |
1+ 2 аГ + й)02Г2 ’ |
1 |
1 + 2аГ + й)02Г2’ |
Ь2 = |
------------ 1-----г г |
|
|
|
1 + 2 a T + û)lT2 |
|
|
Системная функция ЦФ описывается выражением
H (z) =
1 - Ь р л - b 2z 2
Рис. 9.1
Схема соответствующего ЦФ изображена на рис. 9.1.
Программа ЦФ позволяет получать решения записанного дифференци ального уравнения при различных значениях параметров цепи и для раз личных видов сигналов на входе.
Изложенный метод с использованием программ ЦФ дает возможность определять характеристики систем, описываемых дифференциальными уравнениями, получать сигнал на выходе при заданном сигнале на входе.
9.2. П рактика применения м е т о д а
Рассмотренный численный метод решения дифференциальных уравне ний основан на использовании алгоритма ЦФ. Цифровой фильтр, обеспе чивающий решение уравнения, соответствует аналоговой цепи, описывае мой дифференциальным уравнением. Таким образом, ЦФ является реали зацией линейной системы, описываемой передаточной функцией.
Аналоговая линейная цепь (фильтр) чаще всего задается электрической схемой, для нее известна передаточная функция (частотная характеристи ка), которая обычно имеет вид рациональной дроби относительно пара метра р [30]:
я ы = с°- - ^ + - + с < |
(9.33) |
d 0+diP + ...+ dNp N |
|
Коэффициенты числителя и знаменателя многочлена представляют со ответствующие коэффициенты дифференциального уравнения (Приложе ние 4). Имея выражение для передаточной функции аналоговой цепи, можно реализовать ее в цифровом исполнении, получить схему ЦФ, соответству ющего ей.
В качестве примера рассмотрим линейную цепь, изображенную на рис.9.2.
Передаточная функция цепи имеет вид [30]
Н(р) = с2р г +с^р + с0 d2P2 + dlp + d0
где |
C =(RI+R2)Ci, d=(R+R})Cl-R!CY c=d0. |
Схема соответствующего ЦФ представлена на рис. 9.3. На схеме обо значено:
R,R2C,C2+ ÇR, + R2)С,Г + Т2
Л,Л2С,С2 +[(/?, + Л2)С,-R .C JT +T2’
2R\R2CXC2+ (/?, + R2)CxT RtR2C1C2 +[(Rl +R1)Ct - RXC2]T +T2’
_____________ R\R2C\C2_____________
RiR2ClC2 +[(Rl +R2)C{ - R XC2]T +T2’
Рис. 9.3